Segnali Periodici e Aperiodici

Un segnale periodico è un segnale i cui valori si ripetono a intervalli regolari di tempo. Tali intervalli sono multipli di una quantità che prende il nome di periodo fondamentale del segnale.

Analogamente, un segnale aperiodico è un segnale per cui tale proprietà non è verificata.

Una particolare classe di segnali periodici è composta dai segnali sinusoidali che costituiscono uno strumento fondamentale nell'analisi in frequenza dei sistemi.

In questa lezione vedremo i concetti fondamentali riguardanti i segnali periodici. Vedremo quali sono le condizioni da rispettare affinché un segnale sia periodico o meno.

Infine, vedremo quando combinando segnali periodici tra di loro è possibile ancora ottenere un segnale periodico.

Segnali Periodici

Un segnale periodico è un segnale i cui valori si ripetono ciclicamente, trascorso un intervallo di tempo. Si pensi al caso di una sinusoide:

\begin{equation} x(t) = \cos(2 \cdot \pi \cdot f \cdot t + \phi_0) \end{equation}

Il segnale sinusoidale assume gli stessi valori ogniqualvolta trascorre un intervallo di tempo pari all'inverso della sua frequenza $f$ . Tale intervallo di tempo prende il nome di periodo ed è definito come:

\begin{equation} \text{Periodo di un segnale sinusoidale} \quad T = \frac{1}{f} \end{equation}

In generale, affinchè un qualunque segnale $x(t)$ sia periodico, devono verificarsi alcune condizioni:

Definizione

Segnale Periodico

Un qualunque segnale $x(t)$ è periodico se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

Il segnale ha supporto infinito, ossia esso è definito per tutti i possibili valori di $t \in \mathbb{R}$ .
Deve esistere un valore reale $T_0$ , tale per cui:

x(t) = x(t + k \cdot T_0) \quad \forall k \in \mathbb{Z}

$T_0$ prende il nome di Periodo fondamentale del segnale.

Banalmente, invece, un segnale aperiodico viene definito come un segnale non periodico:

Definizione

Segnale Aperiodico

Un qualunque segnale $x(t)$ è aperiodico se non è periodico, ossia se non rispetta le due condizioni di periodicità.

La prima osservazione da fare è che i segnali periodici hanno supporto infinito, pertanto non sono realizzabili nella realtà. Tuttavia essi ci consentono di modellare segnali reali con maggiore semplicità. Inoltre, i segnali sinusoidali sono di importanza fondamentale nell'analisi della risposta in frequenza di un sistema, come vedremo nei capitoli successivi.

La seconda osservazione è che non esistono segnali periodici a supporto finito. Infatti l'unico segnale a supporto finito, ossia che valga zero al di fuori di un intervallo, che allo stesso tempo è anche periodico è esclusivamente il segnale nullo: $x(t) = 0$ .

Infine, un'ultima osservazione sui segnali costanti (spesso chiamati segnali DC, da Direct Current come vengono chiamati in ambito elettronico). Prendiamo un segnale costante di questo tipo:

\begin{equation} \label{eq:dc_signal} x(t) = A \end{equation}

Questo segnale vale $A$ qualunque sia il valore di $t$ . Formalmente, si tratta in effetti di un segnale periodico. Tuttavia per i segnali costanti non può essere definito il periodo fondamentale.

Il motivo è semplice. A prima vista sembrerebbe che possiamo scegliere come periodo fondamentale un qualunque valore reale positivo. Tuttavia, un segnale costante può essere anche definito come una sinusoide a frequenza nulla (e ciò torna utile nell'analisi di Fourier). Infatti possiamo riscrivere il segnale nell'espressione $\ref{eq:dc_signal}$ come:

\begin{equation} x(t) = A \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot 0 \cdot t) \end{equation}

Quindi la frequenza di questa sinusoide è pari a zero. Ma, volendo calcolare il periodo fondamentale di questa sinusoide otteniamo:

T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0} \quad \color{red}{!!!}

Ossia una divisione per zero! Pertanto, in tal caso il periodo fondamentale è indeterminato.

Esempio 1

Proviamo a determinare il periodo fondamentale del seguente segnale:

x(t) = sin\left(t - \frac{\pi}{6} \right)

Si tratta di un segnale sinusoidale con una fase iniziale $\phi_0 = - \frac{\pi}{6}$ .

La fase iniziale non incide sul periodo fondamentale. La pulsazione è pari ad 1 radiante al secondo:

\omega = 1 \quad \text{rad/s}

Sfruttando la relazione che c'è tra pulsazione, o frequenza angolare, ed il periodo di una sinusoide otteniamo:

T = \frac{2 \cdot \pi}{|\omega|} = 2 \cdot \pi \quad \text{secondi}

Quindi, il periodo fondamentale è di $2\pi$ secondi.

Esempio 2

Supponiamo di avere un segnale $x(t)$ periodico, con periodo fondamentale $T_0$ .

Vogliamo verificare se il seguente segnale sia periodico o meno:

y(t) = A + x(t)

dove $A$ è un valore reale qualsiasi.

Osserviamo, come prima cosa, che il segnale $y(t)$ è a supporto infinito come il segnale di partenza $x(t)$ . Quindi la prima condizione è verificata.

Per quanto riguarda la seconda condizione, basta osservare che aggiungere una costante ad un segnale già periodico non ne modifica la periodicità. Infatti, scegliendo un numero intero $k$ qualsiasi possiamo scrivere:

y(t + k \cdot T_0) = A + x(t + k \cdot T_0) = A + x(t) = y(t)

Quindi anche il segnale $y(t)$ è periodico di periodo fondamentale $T_0$ .

Combinazione lineare di Segnali Periodici

Proviamo a considerare, adesso, la combinazione lineare di due segnali periodici.

Dati i seguenti elementi:

\begin{array}{cl} x(t) &amp;&amp; \text{segnale periodico di periodo $T_0$}\\ y(t) &amp;&amp; \text{segnale periodico di periodo $T_1$}\\ \alpha \neq 0 &amp;&amp; \in \mathbb{R} \\ \beta \neq 0 &amp;&amp; \in \mathbb{R} \\ \end{array}

Consideriamo il segnale $w(t)$ combinazione lineare di $x(t)$ e $y(t)$ così definito:

\begin{equation} \label{eq:linear_combination_periodic_signals} w(t) = \alpha \cdot x(t) + \beta \cdot y(t) \end{equation}

Vogliamo stabilire se il segnale $w(t)$ è periodico e, in caso affermativo, stabilire il suo periodo fondamentale.

Se prendiamo singolarmente i due addendi, $\alpha \cdot x(t)$ e $\beta \cdot y(t)$ , vediamo subito che essi sono ancora periodici. Infatti, scegliendo un numero intero $k \in \mathbb{Z}$ qualsiasi, abbiamo che:

\alpha \cdot x(t + k \cdot T_0) = \alpha \cdot x(t)

Lo stesso vale per il secondo addendo:

\beta \cdot y(t + k \cdot T_1) = \beta \cdot y(t)

Moltiplicare un segnale periodico per una costante, infatti, non ne altera la periodicità.

Rimane, adesso, da capire se la somma dei due sia ancora un segnale periodico.

La condizione da soddisfare è che il rapporto tra i due periodi fondamentali, $T_0$ e $T_1$ , sia un numero razionale. In tal caso, infatti, possiamo scrivere:

\begin{equation} \frac{T_0}{T_1} = \frac{M}{N} \in \mathbb{Q} \end{equation}

Dove $M$ ed $N$ sono due numeri interi non divisibili tra di loro. In tal caso, infatti, possiamo riscrivere la relazione come:

\begin{equation} M \cdot T_1 = N \cdot T_0 \end{equation}

Sfruttando la relazione trovata possiamo scrivere:

w(t + M \cdot T_1) = \alpha \cdot x(t + M \cdot T_1) + \beta \cdot y(t + M \cdot T_1)

= \alpha \cdot x(t + N \cdot T_0) + \beta \cdot y(t + M \cdot T_1)

= \alpha \cdot x(t) + \beta \cdot y(t) = w(t)

Quindi, se viene rispettata questa condizione, il segnale $w(t)$ è periodico di periodo fondamentale:

T = M \cdot T_1 = N \cdot T_0

Il segnale $w(t)$ non sarebbe periodico se il rapporto tra i due periodi fondamentali fosse stato un numero irrazionale. In tal caso, infatti, non saremmo in grado di trovare un multiplo di $T_0$ e $T_1$ in grado di rendere periodico il segnale $w(t)$ .

Ricapitolando:

Definizione

Periodicità della combinazione lineare di due segnali periodici

Sia $w(t)$ la combinazione lineare di due segnali periodici $x(t)$ e $y(t)$ :

\begin{equation} w(t) = \alpha \cdot x(t) + \beta \cdot y(t) \end{equation}

Sia $T_0$ il periodo fondamentale di $x(t)$ e $T_1$ il periodo fondamentale di $y(t)$ . Siano, inoltre, $\alpha$ e $\beta$ due costanti appartenenti ad $\mathbb{R}$ .

Il segnale risultante $w(t)$ risulta essere periodico se e soltanto se il rapporto tra i due periodi è un numero razionale:

\begin{equation} \frac{T_0}{T_1} = \frac{M}{N} \in \mathbb{Q} \end{equation}

In tal caso il periodo fondamentale di $w(t)$ è pari a:

T = M \cdot T_1 = N \cdot T_0

Estensione al caso di più di due segnali

Il ragionamento fatto sopra per una combinazione lineare di due segnali, può essere esteso al caso di $n$ segnali.

In tal caso, infatti, basta raggruppare i segnali a due a due e studiarne le combinazioni.

Proviamo con un esempio. Supponiamo di avere tre segnali con tre periodi fondamentali diversi:

\begin{array}{cc} x_1(t) &amp;&amp; T_0 \\ x_2(t) &amp;&amp; T_1 \\ x_3(t) &amp;&amp; T_2 \\ \end{array}

Vogliamo verificare se il segnale $w(t)$ seguente sia periodico o meno:

w(t) = \alpha \cdot x_1(t) + \beta \cdot x_2(t) + \gamma \cdot x_3(t)

Raggruppiamo dapprima i segnali $x_1(t)$ e $x_2(t)$ :

w(t) = \left( \alpha \cdot x_1(t) + \beta \cdot x_2(t) \right) + \gamma \cdot x_3(t)

Definiamo $x_{12}(t)$ come il segnale risultante dalla combinazione lineare di $x_1(t)$ e $x_2(t)$ :

x_{12}(t) = \alpha \cdot x_1(t) + \beta \cdot x_2(t)

Questo segnale è periodico se e soltanto se:

\frac{T_1}{T_2} = \frac{M}{N} \in \mathbb{Q}

Nel caso in cui questa condizione è rispettata, il segnale $x_{12}(t)$ è periodico e il suo periodo fondamentale è pari a:

T_{12} = T_1 \cdot N = T_2 \cdot M

A questo punto abbiamo ricondotto il segnale $w(t)$ alla combinazione di due soli segnali:

w(t) = x_{12}(t) + \gamma \cdot x_3(t)

Dunque possiamo adesso confrontare i periodi di $x_{12}(t)$ e $x_3(t)$ . Affinché $w(t)$ sia periodico deve valere che:

\frac{T_{12}}{T_3} = \frac{T_1 \cdot N}{T_3} = \frac{T_2 \cdot M}{T_3} \in \mathbb{Q}

Nel caso in cui tale rapporto è un numero razionale, il segnale $w(t)$ risulta essere un segnale periodico.

In sintesi

In questa lezione abbiamo introdotto la possibilità di classificare un segnale come periodico o come aperiodico.

Un segnale periodico, in particolare, ha la peculiarità che i propri valori si ripetono ad intervalli regolari multipli di un periodo fondamentale $T_0$ .

Affinchè sia periodico, un segnale deve soddisfare due condizioni:

Il suo supporto deve essere infinito
Deve esistere un periodo fondamentale, $T_0 \in \mathbb{R}$ , tale per cui i valori del segnale si ripetono trascorsi multipli del periodo stesso.

Un particolare tipo di segnale periodico sono le sinusoidi che rivestono grande importanza nell'analisi in frequenza dei sistemi.

Abbiamo, inoltre, visto che aggiungere una costante ad un segnale periodico oppure moltiplicare un segnale periodico per una costante non modifica il periodo fondamentale e non ne altera la periodicità.

Infine, abbiamo visto come una combinazione lineare di due segnali periodici continua ad essere un segnale periodico se e soltanto se il rapporto tra i periodi fondamentali è un numero razionale.

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