La legge di Coulomb e il Campo Elettrico

Richiami sulla legge di Coulomb

Prima di introdurre il concetto di campo elettrico, è necessario fare un breve richiamo sulla legge di Coulomb.

La legge di Coulomb è una legge fondamentale della fisica che descrive la forza elettrica tra due cariche elettriche puntiformi. Fu formulata nel 1785 da Charles Augustin de Coulomb, all'epoca un colonnello dell'esercito francese.

Quando parliamo di carica puntiforme intendiamo la carica elettrica portata da un corpo le cui dimensioni sono molto più piccole rispetto alla distanza tra i corpi coinvolti. Questo significa che possiamo considerare il corpo come un punto nello spazio. Ad esempio, la carica presente sulla punta di uno spillo può essere considerata puntiforme. Analogamente, la carica posseduta da un elettrone o da un protone può essere considerata puntiforme.

La carica si misura in Coulomb (C), in onore dello scienziato francese. La carica di un elettrone è di circa $-1.6 \times 10^{-19}$ C, mentre quella di un protone è di $+1.6 \times 10^{-19}$ C. La carica elettrica è una grandezza scalare, cioè non ha direzione, ma solo intensità e segno. Essa può essere, infatti, positiva o negativa.

Un Coulomb è una quantità di carica molto grande, infatti è pari alla carica di circa $6.24 \times 10^{18}$ elettroni.

Cariche di segno uguale si respingono, mentre cariche di segno opposto si attraggono. In altre parole, tra due corpi portatori di carica elettrica si instaura una forza di natura elettrica. Questa forza è descritta dalla legge di Coulomb:

Definizione

La legge di Coulomb

Dati due corpi puntiformi portatori di carica, $Q_1$ e $Q_2$ , posti a una distanza $r$ l'uno dall'altro, tra di essi si instaura una forza $F$ con le seguenti caratteristiche:

La forza è diretta lungo la retta che congiunge i due corpi;
La forza è proporzionale al prodotto delle cariche elettriche;
La forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che separa i due corpi.

Matematicamente, la legge di Coulomb si esprime con la seguente formula:

F = k \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}

La costante di proporzionalità $k$ dipende dal sistema di misura adoperato. Nel caso del sistema internazionale di misura (SI), le cariche $Q_1$ e $Q_2$ si misurano in Coulomb, la distanza $r$ in metri e la forza $F$ in Newton. In tal caso la costante $k$ si misura in metri su Farad, $m/F$ ed è pari a:

k = 8.99 \times 10^9 \, \text{m} / \text{F}

Per semplificare i calcoli, tuttavia, si può esprimere la costante $k$ in termini della cosiddetta costante dielettrica del vuoto, $\varepsilon_0$ , che è una costante fisica universale. Questa costante si misura in Farad su metro, $F/m$ , ed è pari a:

\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \quad \approx \frac{10^{-9}}{36\pi} \, \text{F/m}

In tal caso, la costante $k$ si esprime come:

k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}

e la formula della forza di Coulomb diventa:

F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}

La costante $\varepsilon_0$ è detta costante dielettrica del vuoto perché è la costante che compare nella legge di Coulomb quando i corpi portatori di carica sono immersi nel vuoto. In altri mezzi, come ad esempio l'aria, la costante dielettrica assume un valore diverso.

La legge di Coulomb in forma vettoriale

Abbiamo detto che la forza di Coulomb è diretta lungo la retta che congiunge i due corpi portatori di carica. Una forza è una grandezza vettoriale, per cui proviamo ad esprimere la legge di Coulomb in forma vettoriale.

Prendiamo due cariche puntiformi, $Q_1$ e $Q_2$ , e prendiamone i rispettivi vettori posizione, $\mathbf{r}_1$ e $\mathbf{r}_2$ . Supponiamo che le due cariche abbiano lo stesso segno, quindi si respingono. La situazione è riportata nella figura seguente:

**Figura 1:** Legge di Coulomb in Forma Vettoriale

Vogliamo esprimere la forza che la prima carica $Q_1$ esercita sulla seconda carica $Q_2$ in forma vettoriale. Indichiamo questa forza con $\mathbf{F}_{12}$ .

Consideriamo il vettore che ha origine in $\mathbf{r}_1$ e arriva in $\mathbf{r}_2$ , cioè il vettore $\mathbf{r}_{12} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1$ . La forza $\mathbf{F}_{12}$ è diretta lungo il vettore $\mathbf{r}_{12}$ ed ha origine nel punto in cui si trova $Q_2$ . Tuttavia, dobbiamo considerare il versore associato al vettore $\mathbf{r}_{12}$ , cioè il vettore $\hat{\mathbf{r}}_{12}$ che si ottiene dividendo il vettore $\mathbf{r}_{12}$ per il suo modulo:

\hat{\mathbf{r}}_{12} = \frac{\mathbf{r}_{12}}{|\mathbf{r}_{12}|}

Fatto questo, possiamo scrivere la forza di Coulomb in forma vettoriale:

\mathbf{F}_{12} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2} \cdot \hat{\mathbf{r}}_{12}

Sostituendo l'espressione del versore $\hat{\mathbf{r}}_{12}$ all'interno della formula, otteniamo:

\mathbf{F}_{12} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2} \cdot \hat{\mathbf{r}}_{12}

= \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{\left| \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_2 \right|^2} \cdot \frac{\mathbf{r}_{12}}{|\mathbf{r}_{12}|}

= \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{\left| \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_2 \right|^2} \cdot \frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{\left| \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_2 \right|}

= \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{\left| \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_2 \right|^3} \cdot (\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)

Definizione

Forza di Coulomb in forma vettoriale

La forza di Coulomb esercitata da una carica $Q_x$ su una carica $Q$ è data da:

\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_x \cdot Q}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_x \right|^3} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_x)

Dove:

$\mathbf{r}$ è il vettore posizione della carica $Q$ su cui agisce la forza;
$\mathbf{r}_x$ è il vettore posizione della carica $Q_x$ che esercita la forza;

Facciamo qualche osservazione:

La forza $\mathbf{F}_{21}$ che la carica $Q_2$ esercita sulla carica $Q_1$ è uguale e opposta alla forza $\mathbf{F}_{12}$ che la carica $Q_1$ esercita sulla carica $Q_2$ . Infatti, possiamo scrivere:

$\mathbf{F}_{21} = - \mathbf{F}_{12}$

oppure possiamo scrivere:

$\mathbf{F}_{21} = | \mathbf{F}_{12} | \cdot \hat{\mathbf{r}}_{21}$

dove $| \mathbf{F}_{12} |$ è il modulo della forza $\mathbf{F}_{12}$ mentre $\hat{\mathbf{r}}_{21}$ è il versore associato al vettore $\mathbf{r}_{21}$ che va da $Q_2$ a $Q_1$ . Dato che $\hat{\mathbf{r}}_{21} = - \hat{\mathbf{r}}_{12}$ , possiamo scrivere:

$\mathbf{F}_{21} = | \mathbf{F}_{12} | \cdot (- \hat{\mathbf{r}}_{12}) = - \mathbf{F}_{12}$
Affinché la legge di Coulomb possa essere applicata, è necessario che le cariche siano puntiformi o quantomeno che le dimensioni dei corpi siano molto più piccole rispetto alla distanza che li separa.
Le cariche $Q_1$ e $Q_2$ devono trovarsi a riposo. Ossia le posizioni relative delle cariche devono essere costanti nel tempo.
Le cariche $Q_1$ e $Q_2$ possono essere sia positive che negative. Il loro segno deve essere preso in considerazione nella formula della forza.

Infatti, se le cariche sono di segno opposto, la forza è attrattiva e il segno della forza è negativo:

$Q_1 \cdot Q_2 < 0 \quad \Rightarrow \quad F < 0$

Se le cariche sono di segno uguale, la forza è repulsiva e il segno della forza è positivo:

$Q_1 \cdot Q_2 > 0 \quad \Rightarrow \quad F > 0$

Principio di sovrapposizione

Quando le cariche coinvolte sono più di due, possiamo applicare il principio di sovrapposizione.

Il principio afferma che se abbiamo $N$ cariche, $Q_1, Q_2, \ldots, Q_N$ , poste in posizioni $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N$ , la forza totale che agisce su una carica $Q$ posta in una posizione $\mathbf{r}$ è data dalla somma delle forze che le singole cariche esercitano su $Q$ :

\mathbf{F} = \mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 + \ldots + \mathbf{F}_N

dove $\mathbf{F}_i$ è la forza che la carica $Q_i$ esercita su $Q$ .

Possiamo, pertanto, scrivere la forza totale in forma vettoriale come:

\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \sum_{i=1}^{N} \frac{Q_i \cdot Q}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_i \right|^3} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)

Intensità del Campo Elettrico

Partendo dalla legge di Coulomb, possiamo introdurre il concetto di intensità del campo elettrico:

Definizione

Intensità del Campo Elettrico

L'intensità del campo elettrico in un punto dello spazio è definita come la forza elettrica che agisce su una carica di prova unitaria positiva posta in quel punto:

\mathbf{E} = \lim_{Q \to 0} \frac{\mathbf{F}}{Q}

oppure, più semplicemente:

\mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{Q}

Dove:

$\mathbf{E}$ è il campo elettrico;
$\mathbf{F}$ è la forza elettrica;
$Q$ è la carica di prova.

L'intensità del campo elettrico si misura in Volt su metro, $V/m$ .

Se la carica è positiva, $Q > 0$ , il campo ha la stessa direzione della forza.

Una cosa importante da notare è che il campo elettrico è, in sostanza, una funzione vettoriale dello spazio. Questo significa che il campo elettrico è definito in ogni punto dello spazio e i suoi valori sono vettori. In altre parole, il campo elettrico è una grandezza vettoriale:

\mathbf{E}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3

Campo Elettrico generato da una carica puntiforme

Proviamo a ricavare la formula del campo elettrico generato da una carica puntiforme $Q$ .

Consideriamo una carica $Q$ posta in un punto dello spazio individuato dal vettore posizione $\mathbf{r}_Q$ . Vogliamo calcolare il campo elettrico in un punto $P$ individuato dal vettore posizione $\mathbf{r}$ .

Sfruttando la versione vettoriale della legge di Coulomb e l'espressione dell'intensità del campo elettrico, possiamo scrivere:

\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_Q \right|^3} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_Q)

Campo Elettrico generato da più cariche puntiformi

Analogamente a quanto fatto per la forza, possiamo applicare il principio di sovrapposizione per calcolare il campo elettrico generato da più cariche puntiformi.

Supponendo di avere $N$ cariche puntiformi, $Q_1, Q_2, \ldots, Q_N$ , poste in posizioni $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N$ , il campo elettrico totale in un punto $P$ individuato dal vettore posizione $\mathbf{r}$ è dato dalla somma dei campi elettrici generati dalle singole cariche:

\mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2 + \ldots + \mathbf{E}_N

dove $\mathbf{E}_i$ è il campo elettrico generato dalla carica $Q_i$ .

Possiamo, pertanto, scrivere il campo elettrico totale in forma vettoriale come:

\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \sum_{i=1}^{N} \frac{Q_i}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_i \right|^3} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)

Esempi

Vediamo qualche esempio di calcolo sia della forza che del campo elettrico generati da una o più cariche puntiformi.

Esempio

Esempio 1

Supponiamo di avere due cariche puntiformi statiche così distribuite:

Una carica $Q_1 = 1 \, \text{mC}$ posta in $\mathbf{r}_1 = (3, 2, -1)$ ;
Una carica $Q_2 = -2 \, \text{mC}$ posta in $\mathbf{r}_2 = (-1, -1, 4)$ .

Vogliamo calcolare, dapprima, la forza di Coulomb che una carica $Q = 10 \, \text{nC}$ posta in $\mathbf{r} = (0, 3, 1)$ subisce a causa delle due cariche $Q_1$ e $Q_2$ .

Successivamente, vogliamo calcolare il campo elettrico generato dalle due cariche nello stesso punto.

La situazione è mostrata nella figura che segue:

Calcoliamo dapprima la forza di Coulomb. Sfruttando il principio di sovrapposizione, possiamo scrivere:

\mathbf{F} = \mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2

dove $\mathbf{F}_1$ è la forza che la carica $Q_1$ esercita su $Q$ e $\mathbf{F}_2$ è la forza che la carica $Q_2$ esercita su $Q$ .

Possiamo, quindi, scrivere:

\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \sum_{i=1}^{2} \frac{Q_i \cdot Q}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_i \right|^3} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)

= \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Q_1}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_1 \right|^3} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_1) + \frac{Q_2}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_2 \right|^3} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_2) \right]

= \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{10^{-3} \cdot \left[ (0, 3, 1) - (3, 2, -1) \right]}{ \left| (0, 3, 1) - (3, 2, -1) \right|^3 } + \frac{-2 \times 10^{-3} \cdot \left[ (0, 3, 1) - (-1, -1, 4) \right]}{ \left| (0, 3, 1) - (-1, -1, 4) \right|^3 } \right]

= \frac{10 \times 10^{-9} \cdot 10^{-3}}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(-3, 1, 2)}{(3^2 + 1^2 + 2^2)^{3/2}} - \frac{2 \cdot (1, 4, -3)}{(1^2 + 4^2 + 3^2)^{3/2}} \right]

= \frac{10^{-11}}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{14^{3/2}} \cdot (-3, 1, 2) - \frac{2}{26^{3/2}} \cdot (1, 4, -3) \right]

= 8.99 \times 10^{-2} \cdot \left[ 0.019090 \cdot (-3, 1, 2) - 0.015086 \cdot (1, 4, -3) \right]

\mathbf{F} = \left( -6.512, -3.713, 7.509 \right) \, \text{mN}

che possiamo scrivere, usando i versori, come:

\mathbf{F} = -6.512 \, \hat{\mathbf{i}} - 3.713 \, \hat{\mathbf{j}} + 7.509 \, \hat{\mathbf{k}} \quad \text{mN}

Il risultato è mostrato nella figura seguente:

**Figura 3:** Risultato dell'Esempio 1: Forza risultante sulla carica Q

Calcoliamo, ora, il campo elettrico generato dalle due cariche $Q_1$ e $Q_2$ nel punto $P$ . In tal caso è sufficiente dividere la forza per la carica di prova $Q$ :

\mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{Q}

= \frac{\left( -6.512 \, \hat{\mathbf{i}} - 3.713 \, \hat{\mathbf{j}} + 7.509 \, \hat{\mathbf{k}} \right) \cdot 10^{-3}}{10 \times 10^{-9}}

= -651.2 \, \hat{\mathbf{i}} - 371.3 \, \hat{\mathbf{j}} + 750.9 \, \hat{\mathbf{k}} \quad \text{kV/m}

Esempio

Esempio 2

Supponiamo di avere due cariche puntiformi statiche così distribuite:

Una carica $Q_1 = 5 \, \text{nC}$ posta in $\mathbf{r}_1 = (2, 0, 4)$ ;
Una carica $Q_2 = -2 \, \text{nC}$ posta in $\mathbf{r}_2 = (-3, 0, 5)$ .

Vogliamo determinare:

La forza esercitata dalle due cariche su di una carica $Q = 1 \, \text{nC}$ posta in $\mathbf{r} = (1, -3, 7)$ ;
Il campo elettrico generato dalle due cariche nel punto in cui è posta la carica $Q$ .

La situazione è mostrata nella figura che segue:

Calcoliamo dapprima la forza di Coulomb. Sfruttando il principio di sovrapposizione, possiamo scrivere:

\mathbf{F} = \mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2

dove $\mathbf{F}_1$ è la forza che la carica $Q_1$ esercita su $Q$ e $\mathbf{F}_2$ è la forza che la carica $Q_2$ esercita su $Q$ .

Possiamo, quindi, scrivere:

\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \sum_{i=1}^{2} \frac{Q_i \cdot Q}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_i \right|^3} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)

= \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Q_1}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_1 \right|^3} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_1) + \frac{Q_2}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_2 \right|^3} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_2) \right]

= \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{5 \times 10^{-9} \cdot \left[ (1, -3, 7) - (2, 0, 4) \right]}{ \left| (1, -3, 7) - (2, 0, 4) \right|^3 } + \frac{-2 \times 10^{-9} \cdot \left[ (1, -3, 7) - (-3, 0, 5) \right]}{ \left| (1, -3, 7) - (-3, 0, 5) \right|^3 } \right]

= \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{5 \times 10^{-9} \cdot (-1, -3, 3)}{ \left| (-1, -3, 3) \right|^3 } + \frac{-2 \times 10^{-9} \cdot (4, -3, 2)}{ \left| (4, -3, 2) \right|^3 } \right]

= \frac{10^{-9} \cdot 10^{-9}}{4 \pi \cdot 8.854 \cdot 10^{-12}} \left[ \frac{(-5, -15, 15)}{ 82.8191 } - \frac{(8, -6, 4)}{ 156.1698 } \right]

\mathbf{F} = (-1.003, -1.283, 1.398) \, \text{nN}

che possiamo scrivere, usando i versori, come:

\mathbf{F} = -1.003 \, \hat{\mathbf{i}} - 1.283 \, \hat{\mathbf{j}} + 1.398 \, \hat{\mathbf{k}} \quad \text{nN}

Il risultato è mostrato nella figura seguente:

**Figura 5:** Risultato dell'Esempio 2: Forza risultante sulla carica Q

Calcoliamo, ora, il campo elettrico generato dalle due cariche $Q_1$ e $Q_2$ nel punto in cui è posta la carica $Q$ . In tal caso è sufficiente dividere la forza per la carica di prova $Q$ :

\mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{Q}

= \frac{\left( -1.003 \, \hat{\mathbf{i}} - 1.283 \, \hat{\mathbf{j}} + 1.398 \, \hat{\mathbf{k}} \right) \cdot 10^{-9}}{1 \times 10^{-9}}

= -1.003 \, \hat{\mathbf{i}} - 1.283 \, \hat{\mathbf{j}} + 1.398 \, \hat{\mathbf{k}} \quad \text{V/m}

In Sintesi

In questa lezione introduttiva ai campi elettrostatici abbiamo ripreso alcuni concetti per ottenere la forza e il campo elettrico generati da cariche puntiformi.

In particolare abbiamo visto che:

La legge di Coulomb descrive la forza elettrica tra due cariche puntiformi;
La forza elettrica è diretta lungo la retta che congiunge le due cariche, proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza;
La costante di proporzionalità $k$ dipende dal sistema di misura adoperato;
La costante dielettrica del vuoto $\varepsilon_0$ è una costante fisica universale;
La forza di Coulomb può essere espressa in forma vettoriale;
Il campo elettrico è definito come la forza elettrica che agisce su una carica di prova unitaria positiva.

Inoltre abbiamo visto come calcolare la forza e il campo elettrico generati da una o più cariche puntiformi.

In questa lezione ci siamo concentrati sul caso di cariche puntiformi, ossia su corpi dotati di carica elettrica le cui dimensioni sono molto più piccole rispetto alla distanza che li separa.

A partire dalle prossime lezioni, inizieremo a studiare i campi elettrici generati da distribuzioni di cariche più complesse abbandonando, quindi, l'ipotesi di cariche puntiformi.

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