La Funzione Fattoriale

La Funzione Fattoriale è una funzione matematica definita solo per numeri naturali. Il fattoriale di un numero $n$ è il prodotto di tutti i numeri naturali compresi tra $1$ e $n$ .

Conoscere questa funzione è fondamentale per lo studio del calcolo combinatorio e della probabilità. In questo articolo introdurremo la funzione fattoriale e ne studieremo alcune proprietà importanti.

Introduzione

Prima di addentrarci nello studio del calcolo combinatorio, è necessario introdurre una particolare funzione che sta alla base di molte delle formule che andremo ad analizzare: la funzione fattoriale.

La funzione fattoriale è una funzione matematica che ha la particolarità di essere definita solo per numeri naturali. La funzione fattoriale di un numero naturale $n$ è indicata con il simbolo $n!$ e si legge "n fattoriale".

Il valore di tale funzione è pari al prodotto di tutti i numeri naturali compresi tra 1 e $n$ . Per cui:

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n

Ad esempio, il valore di $5!$ è pari a:

5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

Questa definizione, però, trascura due casi particolari:

Il fattoriale di $1$ , in teoria, non è valido perché un prodotto ha senso solo se è composto da almeno due fattori. Tuttavia, per convenzione, si definisce:

$1! = 1$
Analogamente, il fattoriale di $0$ non è definito, ma per convenzione si definisce:

$0! = 1$

Quindi, in generale, possiamo dire che:

Definizione

La funzione fattoriale

La Funzione Fattoriale è una funzione dai numeri naturali ai numeri naturali definita come segue:

n! \quad : \quad \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

n! = \begin{cases} 1 &amp; \text{se } n = 0 \\ 1 &amp; \text{se } n = 1 \\ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 &amp; \text{se } n &gt; 1 \end{cases}

La funzione fattoriale ha una crescita molto rapida. In altre parole, per piccoli incrementi di $n$ , il risultato aumenta di incrementi sempre più grandi.

Questo è dovuto al fatto che il fattoriale di un numero è il prodotto di tutti i numeri precedenti a esso, per cui il numero di moltiplicazioni necessarie cresce linearmente con $n$ .

Se riportiamo in tabella i valori di $n!$ per $n$ compreso tra $0$ e $20$ , possiamo notare come il valore cresca rapidamente:

**Tabella 1:** Valori della funzione fattoriale per n compreso tra 0 e 20
$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000

Proprietà della Funzione Fattoriale

Proviamo, ora, a ricavare delle importanti proprietà della funzione fattoriale.

La prima proprietà è la seguente:

Definizione

Proprietà di Ricorsività della Funzione Fattoriale

La Funzione Fattoriale gode della proprietà di ricorsività. In altre parole, il fattoriale di un numero $n$ può essere definito in funzione del fattoriale del numero naturale precedente $n-1$ :

n! = n \cdot (n-1)!

Analogamente, anche il fattoriale del numero $n+1$ può essere definito in funzione del fattoriale di $n$ :

(n+1)! = (n+1) \cdot n!

La dimostrazione di questa proprietà è molto semplice:

Dimostrazione

Dimostriamo la prima uguaglianza:

n! = n \cdot (n-1)!

Possiamo scrivere il fattoriale di $n$ come il prodotto di:

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

Ma, raggruppando i fattori, possiamo scrivere:

n! = n \cdot \underbrace{\left[ (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \right]}_{(n-1)!} = n \cdot (n-1)!

Dimostriamo, ora, la seconda uguaglianza:

(n+1)! = (n+1) \cdot n!

Possiamo scrivere il fattoriale di $n+1$ come il prodotto di:

(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

Ma, raggruppando i fattori, possiamo scrivere:

(n+1)! = (n+1) \cdot \underbrace{\left[n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1\right]}_{n!} = (n+1) \cdot n!

Il vantaggio di questa proprietà risiede nella sua caratteristica computazionale. Infatti, se vogliamo calcolare il fattoriale di un numero $n$ , ci basta conoscere il fattoriale del numero precedente $n-1$ .

Ad esempio, volendo calcolare il fattoriale di $6$ , possiamo scrivere:

6! = 6 \cdot 5! = 6 \cdot 120 = 720

Grazie a questa proprietà possiamo anche giustificare la definizione di $1! = 1$ . Infatti, se consideriamo il fattoriale di $2$ , possiamo scrivere:

2! = 2 \cdot (2 - 1)! = 2 \cdot 1!

Ma possiamo anche scrivere:

2! = 2 \cdot 1 = 2

Quindi:

2 = 2 \cdot 1! \quad \Rightarrow \quad 1! = 1

A partire da questa proprietà, possiamo dare una seconda definizione della funzione fattoriale:

Definizione

Definizione Ricorsiva della Funzione Fattoriale

La Funzione Fattoriale può essere definita in modo ricorsivo come segue:

n! = \begin{cases} 1 &amp; \text{se } n = 0 \\ n \cdot (n-1)! &amp; \text{se } n &gt; 0 \end{cases}

Un'altra proprietà importante della funzione fattoriale è la seguente:

Definizione

Proprietà di Sottrazione della Funzione Fattoriale

Il fattoriale di un numero $n$ sottratto al fattoriale del suo successivo $n+1$ è pari a:

(n+1)! - n! = n \cdot n!

Ad esempio:

7! - 6! = 5040 - 720 = 4320 = 6 \cdot 720 = 6 \cdot 6!

La dimostrazione di questa proprietà è molto semplice:

Dimostrazione

Prendiamo l'espressione:

(n+1)! - n!

Sfruttando la definizione Ricorsiva della Funzione Fattoriale, possiamo scrivere:

(n+1)! - n! = (n+1) \cdot n! - n!

Ma possiamo scrivere:

= n! \cdot (n+1 - 1) = n \cdot n!

Approssimazione di Stirling

La funzione fattoriale, per come è definita sopra, risulta di difficile impiego quando si vogliono studiare analiticamente le proprietà di funzioni combinatorie.

Per ovviare a questo problema, si può ricorrere al risultato ottenuto dal matematico scozzese James Stirling che, nel suo trattato Methodus Differentialis del 1730, dimostrò il seguente risultato:

Definizione

Formula di Stirling

La Formula di Stirling afferma che, per $n$ grande, il fattoriale di un numero $n$ può essere approssimato come:

n! \approx \sqrt{2 \pi n} \cdot \left( \frac{n}{e} \right)^n

dove $e$ è il numero di Eulero.

Questa formula è molto utile perché permette di approssimare il valore di $n!$ per valori molto grandi di $n$ .

Infatti, al tendere di $n$ all'infinito, il rapporto tra il fattoriale di $n$ e l'approssimazione di Stirling tende a $1$ :

\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n} = 1

Questa formula è molto utile per studiare il comportamento asintotico di funzioni combinatorie. É vero che la differenza tra $n!$ e l'approssimazione di Stirling è alta, ma ciò che interessa è l'errore relativo, che tende a $0$ al crescere di $n$ .

Infatti, nella tabella che segue sono riportati i valori di $n!$ e dell'approssimazione di Stirling e il loro rapporto:

**Tabella 2:** Valori di n!, dell'approssimazione di Stirling e del loro errore relativo per alcuni valori di n
$n$	$n!$	Approssimazione di Stirling	Errore Relativo
$1$	$1$	$0.922$	$8\%$
$2$	$2$	$1.919$	$4\%$
$5$	$120$	$118.019$	$2\%$
$10$	$3628800$	$3598695.618$	$0.8\%$
$100$	$9.332621544 \times 10^{157}$	$9.324847978 \times 10^{157}$	$0.08\%$

In Sintesi

In questo articolo abbiamo introdotto la funzione fattoriale, una funzione matematica definita solo per numeri naturali. Abbiamo visto che il fattoriale di un numero $n$ è il prodotto di tutti i numeri naturali compresi tra $1$ e $n$ .

Abbiamo dimostrato alcune proprietà importanti della funzione fattoriale, come la proprietà di ricorsività e la proprietà di sottrazione. Infine, abbiamo introdotto la Formula di Stirling, che permette di approssimare il valore di $n!$ per valori molto grandi di $n$ .

La funzione fattoriale è alla base di molte formule del calcolo combinatorio e della probabilità, per cui è importante comprenderne le proprietà e le caratteristiche.

Nella prossima lezione studieremo un altro importante concetto del calcolo combinatorio: il coefficiente binomiale.

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