Scomposizione in Fattori Primi

La scomposizione in fattori primi è un concetto fondamentale della matematica di base. In questa lezione, esploreremo come ogni numero naturale maggiore di 1 può essere scomposto in un prodotto di numeri primi.

Questo processo non solo ci aiuta a comprendere meglio la struttura dei numeri, ma è anche alla base di molti algoritmi e applicazioni matematiche. Attraverso esempi pratici e un procedimento passo-passo, impareremo a scomporre i numeri in fattori primi e a comprendere il teorema fondamentale dell'aritmetica, che garantisce l'unicità di questa scomposizione.

Scomposizione in fattori primi

Un numero naturale, che non sia ne 0 ne 1, se non è primo viene chiamato composto.

I numeri composti prendono il nome dal fatto che possono essere scritti come prodotto di numeri primi. Questa rappresentazione è chiamata scomposizione in fattori primi.

Vediamo qualche esempio:

Il numero $12$ è un numero composto in quanto può essere scritto come:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Il numero $20$ è un numero composto in quanto può essere scritto come:

$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

La scomposizione di un numero in fattori primi deve contenere esclusivamente potenze di numeri primi. Ad esempio, prendiamo il numero $30$ .

Questa scomposizione:

30 = 3 \cdot 10

non è una scomposizione corretta in quanto $10$ non è un numero primo. La scomposizione corretta di $30$ è:

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

Procedimento di scomposizione in fattori primi

Per scomporre un numero naturale in fattori primi, esiste un procedimento molto semplice.

Per comprendere i passaggi, proviamo a scomporre in fattori il numero $420$ .

Il primo passo consiste nello scrivere il numero da scomporre e tracciare una linea verticale alla sua destra, in questo modo:

$\begin{array}{r|l} 420 & \\ & \\ & \\ \end{array}$

A destra della riga inseriremo tutti i fattori trovati mano a mano.
Si prende il primo numero primo, ossia $2$ e si verifica se il numero in questione sia divisibile per esso. In tal caso, $420$ è un numero pari per cui è divisibile per $2$ . Quindi, segniamo $2$ alla destra della riga alla stessa altezza del numero:

$\begin{array}{r|l} 420 & \color{red}{2} \\ & \\ & \\ \end{array}$
Dividiamo $420$ per $2$ e scriviamo il quoziente, $210$ , al di sotto:

$\begin{array}{r|l} 420 & 2 \\ 210 & \\ & \\ \end{array}$
Ripetiamo lo stesso identico procedimento considerando, però, il quoziente appena trovato. $210$ è divisibile per $2$ ed il quoziente della divisione è $105$ :

$\begin{array}{r|l} 420 & 2 \\ 210 & \color{red}{2} \\ 105 & \\ \end{array}$
Adesso, abbiamo ottenuto $105$ che non è divisibile per $2$ . Quindi dobbiamo passare al numero primo successivo: $3$ . Ripetendo il procedimento vediamo che $105$ è divisibile per $3$ ed il quoziente della divisione è $35$ :

$\begin{array}{r|l} 420 & 2 \\ 210 & 2 \\ 105 & \color{red}{3} \\ 35 & \\ \end{array}$
$35$ non è divisibile per $3$ . Passiamo al numero primo successivo: $5$ . $35$ è divisibile per $5$ ed il quoziente della divisione è $7$ :

$\begin{array}{r|l} 420 & 2 \\ 210 & 2 \\ 105 & 3 \\ 35 & \color{red}{5} \\ 7 & \\ \end{array}$
$7$ è un numero primo, quindi lo segniamo direttamente a destra come divisore. In tal caso il quoziente è $1$ e la scomposizione in fattori termina:

$\begin{array}{r|l} 420 & 2 \\ 210 & 2 \\ 105 & 3 \\ 35 & 5 \\ 7 & \color{red}{7} \\ 1 & \end{array}$
Il passo finale consiste nel raccogliere tutti i fattori trovati e raggruppare quelli uguali sfruttando le proprietà delle potenze:

$420 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

Poiché $2$ compare due volte, possiamo scrivere la scomposizione in fattori primi di $420$ come:

$420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

Ricapitolando:

Definizione

Procedimento di scomposizione in fattori primi

Si scrive il numero da scomporre e si traccia una linea verticale alla sua destra;
Si parte dal numero primo $2$ e si verifica se il numero è divisibile per esso;
Se il numero è divisibile per $2$ , si scrive $2$ alla destra della riga e si calcola il quoziente;
Si ripete il procedimento considerando il quoziente appena trovato;
Si passa al numero primo successivo se il numero non è divisibile per il numero primo corrente;
Si ripete il procedimento fino a quando il quoziente è uguale a $1$ ;
Si raccolgono tutti i fattori trovati e si raggruppano quelli uguali sfruttando le proprietà delle potenze.

Esempio di scomposizione in fattori primi

Vediamo un altro esempio di scomposizione in fattori primi. Scomponiamo il numero $1240$ .

$1240$ è divisibile per $2$ in quanto numero pari. Il quoziente della divisione è $620$ , quindi scriviamo:

$\begin{array}{r|l} 1240 & \color{red}{2} \\ 620 & \end{array}$
$620$ è divisibile per $2$ ed il quoziente della divisione è $310$ . Aggiorniamo la tabella:

$\begin{array}{r|l} 1240 & 2 \\ 620 & \color{red}{2} \\ 310 & \end{array}$
$310$ è divisibile per $2$ ed il quoziente della divisione è $155$ .

$\begin{array}{r|l} 1240 & 2 \\ 620 & 2 \\ 310 & \color{red}{2} \\ 155 & \end{array}$
Adesso, $155$ non è divisibile per $2$ , quindi passiamo al numero primo successivo, cioè $3$ . Ma $155$ non è divisibile nemmeno per $3$ , quindi passiamo oltre al numero $5$ . $155$ è divisibile per $5$ ed il quoziente della divisione è $31$ .

$\begin{array}{r|l} 1240 & 2 \\ 620 & 2 \\ 310 & 2 \\ 155 & \color{red}{5} \\ 31 & \end{array}$
$31$ è un numero primo, quindi lo segniamo direttamente a destra come divisore. In tal caso il quoziente è $1$ e la scomposizione in fattori termina:

$\begin{array}{r|l} 1240 & 2 \\ 620 & 2 \\ 310 & 2 \\ 155 & 5 \\ 31 & \color{red}{31} \\ 1 & \end{array}$

Raccogliamo tutti i fattori trovati e raggruppiamo quelli uguali sfruttando le proprietà delle potenze:

1240 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 31

Poiché $2$ compare tre volte, possiamo scrivere la scomposizione in fattori primi di $1240$ come:

1240 = 2^3 \cdot 5 \cdot 31

Teorema fondamentale dell'aritmetica

Abbiamo visto che un qualunque numero naturale, escluso 0 e 1, può essere un numero primo, oppure un numero composto.

Un numero composto può essere scomposto nel prodotto di fattori primi. Quindi può essere riscritto come prodotto di potenze di numeri primi.

Si può dimostrare che, a meno dell'ordine dei fattori, questa scomposizione è unica. Questo teorema è chiamato teorema fondamentale dell'aritmetica.

Prendiamo, ad esempio, il numero $420$ . Abbiamo visto che la sua scomposizione in fattori primi è:

420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7

Ma possiamo riscriverla in un altro modo:

420 = 7 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot 3

Abbiamo cambiato l'ordine dei fattori ma il prodotto è lo stesso. I fattori che compaiono sono sempre gli stessi e non cambiano.

Definizione

Teorema fondamentale dell'aritmetica

Ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo, oppure può essere scritto in modo unico come prodotto di numeri primi, a meno dell'ordine dei fattori.

Da ciò traiamo un'importante conseguenza: il numero 1 non può essere considerato primo.

Finora, a parte lo 0, non abbiamo ancora spiegato perché il numero 1 non può essere considerato nè primo nè composto.

La motivazione è semplice:

Non è composto perché è divisibile solo per se stesso;
Non può essere primo per il teorema fondamentale dell'aritmetica:

Infatti, se fosse primo dovrebbe comparire nella scomposizione in fattori primi di un numero composto. Ma, se consideriamo il numero $15$ ad esempio abbiamo che, se consideriamo 1 come primo, potremmo scriverlo come:

$15 = 1 \cdot 3 \cdot 5$

ma potremmo anche scrivere:

$15 = 1^2 \cdot 3 \cdot 5$

ed anche:

$15 = 1^3 \cdot 3 \cdot 5$

Quindi la scomposizione in fattori primi non sarebbe unica violando il teorema. Per questo motivo il numero 1 non può essere considerato primo.

Definizione

Il numero 1 non può essere considerato primo nè composto

Il numero 1 non può essere considerato composto in quanto è divisibile solo per se stesso.

Il numero 1 non può essere considerato primo in quanto non rispetta il teorema fondamentale dell'aritmetica. Infatti, la scomposizione in fattori primi di un numero composto non sarebbe unica se il numero 1 fosse considerato primo.

In Sintesi

Abbiamo studiato in questa lezione che qualunque numero composto può essere scomposto in fattori primi, cioè come prodotto di potenze di numeri primi.

Abbiamo anche visto che esiste il teorema fondamentale dell'aritmetica che afferma che ogni numero naturale maggiore di 1 può essere scritto in modo unico come prodotto di numeri primi, a meno dell'ordine dei fattori. Per cui la scomposizione in fattori primi di un numero composto è unica.

Infine, abbiamo visto che il numero 1 non può essere considerato nè primo nè composto.

Sulla base di queste conoscenze, nella prossima lezione studieremo il cosiddetto test di primalità, ossia un procedimento che preso un numero qualsiasi ci permette di verificare se esso sia primo o composto.

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