Potenza ed Energia nei circuiti

Nello studio dei circuiti elettrici ed elettronici una grandezza fondamentale è la Potenza. Quando si progetta un circuito bisogna prestare attenzione alla potenza assorbita e, soprattutto, a quanta potenza gli elementi del circuito sono in grado di gestire.

In questa lezione vedremo, a partire dalla tensione e dalla corrente, come calcolare la potenza assorbita da un bipolo. Studieremo il concetto di potenza istantanea ed energia assorbita in un intervallo.

Vedremo che gli elementi di un circuito possono essere passivi, quindi in grado esclusivamente di assorbire potenza, oppure attivi, ossia in grado di erogare potenza al resto del circuito.

Infine vedremo come la potenza totale di un circuito è sempre nulla, ossia la somma di tutte le potenze assorbite o erogate dagli elementi di un circuito è sempre pari a zero.

Potenza

Proviamo a ricavare l'espressione matematica della potenza assorbita da un elemento, o bipolo, di un circuito ai cui morsetti è stata applicata una tensione, o differenza di potenziale.

Consideriamo il bipolo nella seguente figura. Attraverso di esso fluisce una corrente $i$ ed ai suoi morsetti è applicata una differenza di potenziale. In particolare, il potenziale del morsetto $a$ è maggiore del potenziale applicato a $b$ :

**Figura 1:** Carica che attraversa un generico bipolo

Attraverso il bipolo, rappresentato nella figura di sopra, durante un intervallo di tempo $\Delta t$ scorre una quantità di carica che indichiamo con $\Delta q$ . Dato che ai morsetti del bipolo, $a$ e $b$ , è applicata una differenza di potenziale $v$ che supponiamo essere positiva, la carica, nell'attraversare il bipolo, perderà (o meglio cederà) una parte della sua energia potenziale. Questa differenza di energia potenziale perduta durante l'attraversamento può essere espressa come:

\begin{equation} \Delta w = v \cdot \Delta q \end{equation}

Sappiamo che la Potenza è definita come l'energia perduta (o ceduta) nell'unità di tempo, per cui risulta che:

\begin{equation} P = \frac{\Delta w}{\Delta t} \end{equation}

dove $P$ indica la potenza totale perduta durante l'intervallo $\Delta t$ . Volendo ottenere, invece, la Potenza Istantanea possiamo passare al limite:

\begin{equation} p(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta t} = \frac{dw}{dt} \label{eq:power_diff_energy} \end{equation}

In altre parole, la potenza istantanea è la derivata dell'energia per il tempo. Nell'espressione $\ref{eq:power_diff_energy}$ possiamo sostituire, al posto dell'energia perduta $\Delta w$ la carica perduta per la differenza di potenziale, $v \cdot \Delta q$ , ottenendo la seguente espressione:

\begin{equation} p(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{v \cdot \Delta q}{\Delta t} = v \cdot \frac{dq}{dt} \end{equation}

Ma sappiamo che $\frac{dq}{dt} = i$ , ossia la derivata della carica per il tempo è uguale alla corrente, per cui possiamo riscrivere l'espressione di sopra come:

\begin{equation} p(t) = v \cdot i \end{equation}

Dato che un bipolo, in quanto sistema fisico, deve rispettare il principio di conservazione dell'energia, l'energia perduta dalla carica durante il transito attraverso il bipolo deve, necessariamente, essere ceduta al bipolo stesso. Motivo per cui l'espressione indica anche la potenza assorbita da un bipolo.

Questo risultato prende il nome di Legge di Joule dal nome del fisico James Prescott Joule:

Definizione

Legge di Joule: Potenza assorbita da un bipolo

La potenza assorbita da un bipolo è pari al prodotto della corrente che lo attraversa per la differenza di potenziale ai suoi capi:

\begin{equation} P = V \cdot I \label{eq:power} \end{equation}

La potenza si misura in watt $\left[ W \right]$ :

\text{1 watt} = \text{1 joule} / \text{1 secondo} = \text{1 volt} \cdot \text{1 ampere}

Esempio

Proviamo a chiarire le idee con un semplice esempio.

Supponiamo di avere il bipolo nella figura seguente. Attraverso di esso scorre una corrente di $5\ A$ e ai suoi capi è presente una differenza di potenziale di $3\ V$ .

**Figura 2:** Esempio di Potenza totale assorbita da un bipolo

Volendo calcolare la potenza totale assorbita da questo bipolo, bisogna calcolare il prodotto tra la tensione e la corrente in questo modo:

P = V \cdot I = 3 \cdot 5 = 15\ W

Per cui il bipolo assorbe $15\ W$ .

Bipoli Attivi e Bipoli Passivi

In generale, il verso della corrente che attraversa un bipolo e i segni della differenza di potenziale ad esso applicata possono essere scelti in maniera arbitraria. Tuttavia, quando si ha a che fare con la potenza bisogna prestare la massima attenzione a come tali versi sono stati scelti.

Nel definire la potenza nell'equazione $\ref{eq:power}$ abbiamo definito la potenza assorbita da un bipolo in cui abbiamo posto il verso della corrente in maniera tale che essa entri dal morsetto a potenziale più alto. In tal caso si parla di versi concordi di tensione e corrente.

**Figura 3:** Versi Concordi di Tensione e Corrente

Quindi, quando usiamo i versi concordi l'equazione $\ref{eq:power}$ indica la potenza assorbita.

Se invertiamo il verso della corrente, invece, abbiamo che l'equazione della potenza esprime la potenza ceduta dal bipolo al resto del circuito. In tal caso si parla di versi discordi.

**Figura 4:** Versi Discordi di Tensione e Corrente

La potenza risultante dall'equazione $\ref{eq:power}$ può risultare negativa o positiva. Ma l'interpretazione di questo risultato dipende dal verso della tensione e della corrente scelti.

Infatti, quando la potenza è positiva e i versi sono concordi ciò significa che il bipolo in questione sta assorbendo potenza dal resto del circuito. In tal caso, se usassimo i versi discordi l'energia sarebbe negativa e ciò equivale a dire che la potenza erogata dal bipolo è negativa. In questi casi si parla di bipolo passivo.

Tipicamente, un bipolo passivo trasforma l'energia assorbita in altre forme di energia. Ad esempio, una lampadina trasforma l'energia elettrica assorbita in energia luminosa e termica. Infatti, una lampadina accesa oltre ad illuminare un ambiente si riscalda. Un motore elettrico è un altro esempio di bipolo passivo, in quanto trasforma l'energia elettrica in energia meccanica.

In altre parole, un bipolo passivo utilizza l'energia elettrica fornita. Per questo motivo, quando si usano versi concordi di tensione e corrente si parla di Convenzione dell'Utilizzatore. La Convenzione dell'Utilizzatore si usa per tutti i bipoli passivi così che la potenza assorbita risultante sia sempre positiva.

In caso contrario, si parla di bipolo attivo. Un bipolo attivo è un bipolo che eroga energia al resto del circuito. In tal caso, se usiamo la convenzione dell'utilizzatore, ossia versi concordi, la potenza risulta negativa. Ciò indica che il bipolo non sta, in effetti, assorbendo energia. Se usassimo, invece, i versi discordi la potenza risultante sarebbe positiva. Per questo motivo quando si usano i versi discordi, si parla di Convenzione del Generatore.

In generale, quindi, quando abbiamo a che fare con un bipolo passivo usiamo la Convenzione dell'Utilizzatore mentre quando usiamo un bipolo attivo usiamo la Convenzione del Generatore. In questo modo, la potenza risulta positiva in ogni caso.

Ricapitolando:

Definizione

Convenzione dell' Utilizzatore

La Convenzione dell'Utilizzatore consiste nello scegliere i versi di tensione e corrente di un bipolo in maniera tale che la corrente entri dal morsetto a potenziale più alto.

In tal caso si parla di Versi Concordi di Tensione e Corrente.

Convenzione Utilizzatore

Usando questa convenzione, una potenza risultante positiva indica che il bipolo sta assorbendo energia.

Questa convenzione viene utilizzata per i bipoli passivi.

Invertendo i versi otteniamo:

Definizione

Convenzione del Generatore

La Convenzione del Generatore consiste nello scegliere i versi di tensione e corrente di un bipolo in maniera tale che la corrente esca dal morsetto a potenziale più alto.

In tal caso si parla di Versi Discordi di Tensione e Corrente.

Convenzione Generatore

Usando questa convenzione, una potenza risultante positiva indica che il bipolo sta erogando energia al resto del circuito.

Questa convenzione viene utilizzata per i bipoli attivi.

Potenza istantanea e Energia in un intervallo di tempo

La potenza espressa nell'equazione $\ref{eq:power}$ è il prodotto della tensione ai capi del bipolo e della corrente che fluisce attraverso di esso. Queste due quantità, tuttavia, dipendono in generale dal tempo, per cui la potenza è anch'essa una grandezza che dipende dal tempo e si parla in tal caso di Potenza istantanea:

Definizione

Potenza Istantanea

La potenza istantanea assorbita da un bipolo è definita come:

p(t) = v(t) \cdot i(t)

In generale, quindi, l'energia assorbita da un bipolo nel tempo può essere ricavata attraverso l'integrazione della potenza istantanea:

w(t) = \int_{-\infty}^{t} p(\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{t} v(\tau) \cdot i(\tau) d\tau

Nella formula precedente, per ricavare l'energia istantanea dobbiamo integrare partendo da $-\infty$ , in quanto l'energia dipende dagli istanti precedenti. Ovviamente, esisterà un istante $t_0$ prima del quale tensione e corrente valgono 0.

Sfruttando questa formula possiamo ricavare l'energia che un bipolo ha assorbito in un intervallo di tempo $\left[ t_1, t_2 \right]$ :

Definizione

Energia assorbita da un bipolo in un intervallo di tempo

L'energia assorbita da un bipolo in un intervallo di tempo $[t_1, t_2]$ è definita come:

\begin{equation} \label{eq:energy} W_{t_1, t_2} = \int_{t_1}^{t_2} v(\tau) \cdot i(\tau) d\tau = \int_{t_1}^{t_2} p(\tau) d\tau \end{equation}

L'energia si misura in joule $[J]$ .

Da un punto di vista grafico, l'energia assorbita da un bipolo in un intervallo può essere vista come l'area sottesa dalla curva della potenza istantanea, come mostrato nella figura che segue:

**Figura 5:** Interpretazione grafica dell'Energia assorbita da un bipolo in un intervallo di tempo

Esempio

Proviamo a chiarire il tutto con un esempio.

Supponiamo che ai capi di un bipolo sia applicata una differenza di potenziale di $10 V$ . Supponiamo, inoltre, che il bipolo sia attraversato da una corrente, entrante dal morsetto a potenziale più alto, descritta dalla funzione:

i(t) = 6 \cdot e^{-2 \cdot t} \quad A

Vogliamo conoscere:

(a) la potenza istantanea assorbita dal bipolo.
(b) l'energia assorbita tra gli istanti 0 e 3 secondi.

Ricaviamo, dapprima, la potenza istantanea. Per far questo bisogna semplicemente moltiplicare tra di loro la tensione applicata ai capi del bipolo e la corrente che lo attraversa:

p(t) = v(t) \cdot i(t) = 10 \cdot 6 \cdot e^{-2 \cdot t}

p(t) = 60 \cdot e^{-2 \cdot t} \quad W

A questo punto, per calcolare l'energia assorbita tra $0s$ e $3s$ dobbiamo integrare $p(t)$ tra $0$ e $3$ :

W_{0,3} = \int_{0}^{3} 60 \cdot e^{-2 \cdot t} dt

= 60 \cdot \int_{0}^{3} e^{-2 \cdot t} dt

= 60 \cdot \left[ - \frac{1}{2} \cdot e^{-2 \cdot t} \right]_{0}^{3}

= -30 \cdot \left( e^{-6} - 1 \right)

\approx -30 \cdot \left( 0.002 - 1 \right) \approx 29.9\ J

Per cui, nell'intervallo tra 0 e 3 secondi, il bipolo assorbe un'energia pari a circa 29.9 Joule.

Potenza costante

Nel caso in cui la potenza assorbita sia costante, l'equazione che esprime l'energia $\ref{eq:energy}$ si semplifica.

Infatti, supponendo che la potenza sia espressa come:

\begin{equation} \label{eq:costant_power} p(t) = P \end{equation}

Sostituendo l'espressione $\ref{eq:costant_power}$ nell'espressione $\ref{eq:energy}$ , abbiamo che:

W_{t_1, t_2} = \int_{t_1}^{t_2} p(\tau) d\tau

= \int_{t_1}^{t_2} P d\tau

= P \cdot \int_{t_1}^{t_2} d\tau

= P \cdot \Delta t

Dove abbiamo posto che $\Delta t = t_2 - t_1$ ossia pari alla durata dell'intervallo di tempo. Per cui:

Definizione

Energia assorbita in caso di Potenza costante

Se la potenza istantanea assorbita da un bipolo è costante:

p(t) = P

L'energia assorbita dal bipolo in un intervallo di tempo è pari a:

W = P \cdot \Delta t

In molti casi l'energia viene misurata non in Joule ma in Watt/Ora $Wh$ oppure in Kilowatt/Ora $kWh$ . In particolare un Watt/Ora equivale all'energia assorbita da un elemeto in un'ora quando la potenza è costante ed è pari ad 1 Watt. Le compagnie elettriche usano il $kWh$ per addebitare il costo dell'energia elettrica.

Definizione

Watt/ora

Un Watt/Ora rappresenta l'energia assorbita da un elemento in un'ora assumendo che la potenza sia costante e pari ad un Watt.

Un Watt/Ora può essere convertito in Joule:

1\ Wh = 1\ W\ \cdot 3600\ s = 3.6 \times 10^3\ J

Definizione

Kilowatt/ora

Un Kilowatt/Ora rappresenta l'energia assorbita da un elemento in un'ora assumendo che la potenza sia costante e pari ad $1kW$ .

Un Kilowatt/Ora può essere convertito in Joule:

1\ kWh = 1000\ W\ \cdot 3600\ s = 3.6 \times 10^6\ J

Conservazione della potenza istantanea

Consideriamo il circuito in figura costituito dai due bipoli A e B.

**Figura 6:** Conservazione della potenza in un circuito

Ad entrambe i bipoli è applicata una differenza di potenziale pari a $v$ e attraverso di essi scorre una corrente pari ad $i$ .

Per quanto riguarda il bipolo A, abbiamo utilizzato la Convenzione del generatore, infatti la corrente esce dal morsetto a potenziale più alto.

Viceversa, per il bipolo B abbiamo utilizzato la Convenzione dell'utilizzatore per cui la corrente entra dal morsetto a potenziale più alto.

Ne consegue che la potenza assorbita dal bipolo B vale:

p_B = v \cdot i

Mentre la potenza assorbita dal bipolo A vale:

p_A = -v \cdot i

Per cui abbiamo che:

p_B = - p_A

Nel caso in cui $p_B$ è maggiore di zero ne consegue che:

Il bipolo B sta assorbendo potenza
Il bipolo A sta erogando potenza

Possiamo riscrivere l'equazione precedente in questo modo:

p_B + p_A = vi + (-vi) = 0

Detto in altri termini, la somma delle potenze istantanee assorbite dai due bipoli è nulla in qualunque istante.

Questo importante risultato può essere generalizzato anche al caso di un circuito composto da più bipoli e prende il nome di proprietà di conservazione della potenza istantanea.

Definizione

Conservazione della potenza istantanea

In un circuito qualunque, ad ogni istante di tempo $t$ la somma algebrica delle potenze assorbite da ogni singolo elemento del circuito è sempre nulla.

\sum_k p_k(t) = 0 \quad \forall t

In sintesi

In questa lezione abbiamo definito la potenza assorbita da un elemento di un circuito. In particolare la legge di Joule ci permette di legare la corrente che attraversa un bipolo e la tensione ai suoi capi alla potenza assorbita.

Abbiamo visto che esistono bipoli passivi in grado di assorbire energia e bipoli attivi in grado di erogarla. Per la potenza bisogna prestare attenzione ai versi della corrente e della tensione. Esistono, infatti, due convenzioni per i segni:

La convenzione dell'utilizzatore
La convenzione del generatore

Infine abbiamo visto che la somma totale delle potenze assorbite dagli elementi in un circuito è sempre nulla in qualunque istante di tempo.

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