Le Leggi di Kirchhoff

In fisica, le leggi di Kirchhoff sono una coppia di leggi complementari che descrivono il comportamento elettrico dei circuiti composti da interconnessioni di elementi.

Queste leggi prendono il nome dal fisico Gustav Robert Kirchhoff che le formulò tra il 1845 e il 1847. Insieme, tali leggi forniscono le basi per l'analisi dei circuiti elettrici e delle reti elettriche.

La Prima Legge di Kirchhoff stabilisce che la somma algebrica delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma algebrica delle correnti uscenti da esso. Essa prende anche il nome di Legge di Kirchhoff delle Correnti o, più sinteticamente, LKC.

La Seconda Legge di Kirchhoff stabilisce che la somma algebrica delle tensioni ai capi dei rami che compongono una maglia del circuito è sempre nulla. Essa viene anche chiamata Legge di Kirchhoff delle Tensioni o, più brevemente, LKT.

Queste leggi possono essere utilizzate per calcolare le grandezze che entrano in gioco in un circuito. Avendo studiato, nella lezione precedente i concetti di topologia dei circuiti: Nodi, Rami e Maglie, possiamo ora studiare queste leggi nel dettaglio.

Legge di Kirchhoff delle Correnti

Adesso che conosciamo i principali concetti topologici dei circuiti, possiamo introdurre la prima legge di Kirchhoff, detta anche Legge di Kirchhoff delle Correnti o, più sinteticamente, LKC:

Definizione

Legge di Kirchhoff delle Correnti o LKC

La somma algebrica delle correnti entranti in un nodo è sempre nulla in qualunque istante.

Proviamo considerare l'esempio nella figura che segue:

**Figura 1:** Esempio della Legge di Kirchhoff delle Correnti

In questo caso abbiamo che nel nodo $n_1$ entrano le correnti $i(t)_1$ , $i(t)_2$ e $i(t)_4$ . Analogamente, dal nodo escono le correnti $i_3(t)$ e $i_5(t)$ . Nel riportare il tutto in forma matematica usiamo la convenzione di prendere le correnti entranti con il segno positivo mentre quelle uscenti con il segno negativo. Quindi applicando la LKC e tenendo presente che si parla di somma algebrica, quindi bisogna ricordarsi dei segni delle correnti, otteniamo la seguente equazione:

i_1(t) + i_2(t) - i_3(t) + i_4(t) - i_5(t) = 0

Allo stesso modo, dato che l'equazione in questione è omogenea, ossia uguale a 0, possiamo anche invertire i segni:

- i_1(t) - i_2(t) + i_3(t) - i_4(t) + i_5(t) = 0

Per cui la prima legge di Kirchhoff si può anche esprimere dicendo che la somma algebrica delle correnti uscenti da un nodo è sempre nulla in qualunque istante.

Possiamo esprimere la LKC in maniera sintetica in questo modo:

\begin{equation} \sum_{n=1}^{N} i_n(t) = 0 \quad \forall t \end{equation}

dove $N$ rappresenta il numero di rami connessi al nodo considerato e $i_n(t)$ rappresenta la n-esima corrente entrante (o uscente) nel nodo.

In base alla LKC i versi delle correnti possono essere scelti in maniera arbitraria. Nel senso che si può decidere di dare il segno positivo alle correnti entranti e quello negativo a quelle uscenti o viceversa. Tali versi sono da considerarsi di riferimento. I versi effettivi saranno noti soltanto quando avremo calcolato gli effettivi valori numerici delle correnti in questione.

Per meglio chiarire quest'ultima affermazione, proviamo a risolvere un esempio.

Prendiamo il nodo della figura che segue.

**Figura 2:** Esempio Numerico della Legge di Kirchhoff delle Correnti

Il nodo $n_1$ nella figura è connesso a quattro bipoli. Nella figura sono indicati anche i valori di tre delle quattro correnti. Vogliamo trovare il valore della corrente $I_4$ .

Le due correnti $I_1 = 5\,\mathrm{ A}$ e $I_3 = 7\,\mathrm{A}$ entrano nel nodo $n_1$ , per cui le considereremo con il verso positivo. Viceversa la corrente $I_2 = 24\,\mathrm{A}$ esce dal nodo per cui la consideriamo con il verso negativo.

Per quanto riguarda $I_4$ , invece, non sappiamo ancora quanto valga. Per cui scegliamo un verso arbitrario ponendo che la corrente in questione esca dal nodo $n_1$ .

Notate che le quattro correnti sono indicate con una lettera maiuscola " $I$ ". Questo perché si tratta di correnti costanti che non variano nel tempo.

Detto questo, applichiamo la prima legge di Kirchhoff. Per cui la somma algebrica delle quattro correnti deve essere pari a zero:

I_1 - I_2 + I_3 - I_4 = 0 \quad \Rightarrow

5 -24 +7 - I_4 = 0 \quad \Rightarrow

I_4 = -12\,\mathrm{A}

Usando la LKC abbiamo trovato il valore della corrente $I_4$ che tuttavia ha valore negativo: quindi in realtà $I_4$ ha verso opposto a quello scelto ed è entrante nel nodo $n_1$ .

Dimostrazione della Legge di Kirchhoff delle Correnti

La Legge di Kirchhoff delle Correnti, o LKC, deriva direttamente dal Principio della conservazione della carica. La dimostrazione di questa legge è abbastanza semplice.

Supponiamo che un insieme di $K$ correnti $i_k(t)$ entrino in un nodo. La loro somma algebrica totale, $i_T(t)$ può essere espressa come:

\begin{equation} \label{eq:total_current} i_T(t) = \sum_{k=1}^{K} i_k(t) = i_1(t) + i_2(t) + i_3(t) + \dots \end{equation}

Ricordando che la variazione totale della carica del nodo, $q_T(t)$ è pari all'integrale nel tempo della corrente totale $i_T(t)$ :

\begin{equation} q_T(t) = \int i_T(t) dt \end{equation}

e ricordando che la variazione di carica dovuta alle singole correnti vale:

\begin{equation} q_k(t) = \int i_k(t) dt \quad \forall k \end{equation}

possiamo integrare ambo i lati dell'equazione $\ref{eq:total_current}$ in questo modo:

\int i_T(t) dt = \Large{\int} \normalsize \sum_{k=1}^{K} i_k(t) dt \quad \Rightarrow

\int i_T(t) dt = \Large{\int} \normalsize \left( i_1(t) + i_2(t) + i_3(t) + \dots \right)\; dt \quad \Rightarrow

\int i_T(t) dt = \int i_1(t) dt + \int i_2(t) dt + \int i_3(t) dt + \dots \quad \Rightarrow

\begin{equation} q_T(t) = q_1(t) + q_2(t) + q_3(t) + \dots \end{equation}

**Figura 3:** Dimostrazione della Legge di Kirchhoff delle Correnti

Tuttavia, dal principio di conservazione della carica risulta che la somma algebrica delle variazioni di carica in qualunque istante al nodo $n$ non può cambiare. Detto in altri termini, il nodo $n$ non immagazzina alcuna carica. Per cui:

q_T(t) = 0 \quad \Rightarrow \quad i_T(t) = 0

E in questo modo abbiamo confermato la validità della Legge di Kirchhoff delle Correnti.

Legge di Kirchhoff delle correnti per le superfici chiuse

Nell'enunciare la prima legge di Kirchhoff abbiamo parlato di nodi, cioè la somma algebrica delle correnti entranti in un nodo è sempre pari a zero.

Tuttavia, la LKC può essere estesa anche al caso di superfici chiuse. Del resto un nodo può essere considerato come una superficie chiusa ridotta ad un singolo punto.

Definizione

Legge di Kirchhoff delle Correnti per le superfici chiuse

La somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie chiusa è sempre nulla in qualunque istante.

Dato che negli schematici i circuiti sono rappresentati su di un piano, ogni superficie chiusa diventa una linea chiusa.

Osserviamo l'esempio che segue:

**Figura 4:** Esempio della Legge di Kirchhoff delle Correnti applicata alle Superfici Chiuse

In questo esempio la superficie chiusa è rappresentata dalla linea tratteggiata. In essa entrano le correnti $i_1$ e $i_3$ , mentre da essa escono le correnti $i_2$ e $i_4$ . Per cui, in base alla LKC deve risultare che:

i_1(t) - i_2(t) + i_3(t) - i_4(t) = 0

Sempre nell'esempio, le correnti interne alla superficie, $i_5(t)$ ed $i_6(t)$ , non influiscono sull'equazione precedente.

Prima legge di Kirchhoff e elementi circuitali

La legge di Kirchhoff delle correnti ha delle importanti conseguenze sugli elementi circuitali. Se, infatti, consideriamo gli elementi circuitali come superfici chiuse, la LKC impone dei vincoli sulle correnti che entrano o escono dagli elementi.

Partiamo dal caso più semplice: un bipolo. Consideriamo il bipolo nella figura seguente:

**Figura 5:** Legge di Kirchhoff delle Correnti applicata ad un Bipolo

Come potete osservare, sul bipolo agiscono due correnti: $i_1(t)$ che entra dal primo morsetto e $i_2(t)$ che esce dal secondo morsetto. Dato che il bipolo è tutti gli effetti una superficie chiusa, dalla LKC risulta necessariamente che:

i_1(t) - i_2(t) = 0 \quad \Rightarrow \quad i_1(t) = i_2(t)

Ossia, la corrente entrante nel bipolo è uguale a quella uscente. Espresso in altri termini, in qualunque istante se una corrente entra in uno dei morsetti di un bipolo, dall'altro morsetto esce una corrente uguale.

Definizione

Legge di Kirchhoff delle Correnti applicata ai Bipoli

In qualunque istante, la corrente che entra in un bipolo da un morsetto è uguale alla corrente uscente dall'altro morsetto.

Questo risultato può essere generalizzato anche ad elementi con più morsetti. Prendiamo ad esempio il tripolo nella figura che segue:

**Figura 6:** Legge di Kirchhoff delle Correnti applicata ad un Tripolo

Su questo tripolo agiscono tre correnti: le correnti entranti $i_1(t)$ e $i_2(t)$ e la corrente uscente $i_3(t)$ . In base alla legge di Kirchhoff delle correnti deve necessariamente risultare che:

i_1(t) + i_2(t) = i_3(t) \quad \forall t

Analogamente, lo stesso ragionamento può essere applicato anche ai quadripoli e agli elementi circuitali con più terminali.

Definizione

Legge di Kirchhoff delle Correnti applicata agli Elementi Circuitali

In qualunque istante, la somma algebrica delle correnti entranti in un elemento circuitale deve essere pari alla somma algebrica delle correnti uscenti dall'elemento.

Un'altra importante conseguenza della LKC riguarda gli elementi circuitali con uno o più terminali flottanti.

Definizione

Terminale Flottante

Un Terminale Flottante è un terminale di un elemento circuitale che non è collegato a nessun altro elemento. Attraverso un terminale flottante non può scorrere alcuna corrente sia in ingresso che in uscita.

In parole povere, un terminale flottante di un elemento circuitale è un morsetto appeso, ossia non collegato tramite un filo o conduttore a nessun altro elemento. Per tal motivo in esso non può scorrere alcuna corrente.

Prendiamo l'esempio in figura di un bipolo con un terminale flottante:

Nell'esempio, il bipolo $e_1$ ha un terminale flottante, ossia non collegato a nulla. Sebbene l'altro terminale del bipolo sia collegato al nodo $n1$ , la corrente $i_2(t)$ deve essere necessariamente pari a 0. Infatti, in base a quanto detto prima, $i_2(t) = i_1(t)$ , ma dato che $i_1(t)$ è la corrente che entra dal terminale flottante, essa vale zero, per cui:

i_2(t) = 0 \quad \forall t

Per cui possiamo dire che:

Definizione

Bipolo con un Terminale Flottante

In qualunque istante, attraverso un Bipolo con un Terminale Flottante non può scorrere alcuna corrente.

Legge di Kirchhoff delle Tensioni

La seconda legge di Kirchhoff si applica alle maglie di un circuito e lega quest'ultime alle tensioni ai capi degli elementi che le compongono:

Definizione

Legge di Kirchhoff delle Tensioni o LKT

La somma algebrica delle tensioni lungo una maglia è nulla in qualunque istante.

Per meglio comprendere il tutto, consideriamo il circuito che segue:

**Figura 8:** Esempio della Legge di Kirchhoff delle Tensioni

In questo circuito abbiamo due maglie indipendenti: $M_1$ e $M_2$ . In realtà, esiste anche una terza maglia, $M_3$ , ma consideriamo l'insieme di maglie indipendenti costituite dalle due indicate prima.

Proviamo ad applicare la LKT alla maglia $M_1$ . In particolare, la maglia $M_1$ è composta dalla sequenza di nodi: $n_1$ , $n_2$ , $n_5$ , $n_6$ e di nuovo $n_1$ . Quindi, partendo dal nodo $n_1$ ed andando in senso orario andiamo a sommare algebricamente le tensioni che incontriamo lungo il percorso. Nel far questo, però, consideriamo positive le tensioni per cui, seguendo in verso orario la maglia, incontriamo prima il segno positivo. In caso contrario consideriamo le tensioni negative. Per cui risulta che:

\begin{equation} \label{eq:lkt_example} v_1(t) - v_7(t) + v_5(t) - v_6(t) = 0 \quad \forall t \end{equation}

Anche in questo caso, come per la LKC, i versi scelti per le tensioni e, soprattutto, il verso di percorrenza della maglia è arbitrario. Avremmo potuto percorrere la maglia anche in senso antiorario ottenendo la seguente equazione:

v_6(t) - v_5(t) + v_7(t) - v_1(t) = 0 \quad \forall t

Che è del tutto equivalente all'equazione trovata prima.

Ritornando all'equazione $\ref{eq:lkt_example}$ , possiamo riscriverla in questo modo:

v_1(t) + v_5(t) = v_7(t) + v_6(t)

Che può essere interpretata riformulando la Legge di Kirchhoff delle Tensioni in questo modo:

Definizione

Formulazione alternativa della LKT

In qualunque istante, la somma delle cadute di tensione lungo una maglia è sempre uguale alla somma degli aumenti di tensione lungo la stessa.

Da un punto di vista matematico, possiamo esprimere la LKT in forma compatta in questo modo:

\begin{equation} \sum_{m=1}^{M} v_m(t) = 0 \quad \forall t \end{equation}

Dove $M$ rappresenta il numero di differenze di potenziale nella maglia o, anche, il numero di rami che compongono la maglia e $v_m(t)$ è l'm-esima differenza di potenziale.

LKT ed Elementi con più di due Terminali

Nell'esempio mostrato prima per illustrare la LKT, abbiamo analizzato un circuito i cui elementi erano esclusivamente bipoli. Tuttavia, la Legge di Kirchhoff delle Tensioni si applica anche al caso in cui siano presenti tripoli, quadripoli o elementi con più terminali.

Per capire come applicare la LKT anche in questi casi proviamo ad analizzare l'esempio che segue:

**Figura 9:** Esempio di Circuito con un Tripolo

In questo circuito abbiamo un tripolo collegato a tre nodi: $n_2$ , $n_3$ e $n_5$ . Mentre nel caso di un bipolo connesso a due nodi esiste una sola differenza di potenziale, nel caso di un tripolo ne esistono ben tre, come mostrato di seguito:

**Figura 10:** Seconda Legge di Kirchhoff applicata ad un circuito con un Tripolo

Infatti, esistono le differenze di potenziale:

$v_2(t)$ tra il nodo $n_2$ e $n_5$
$v_3(t)$ tra il nodo $n_3$ e $n_5$
$v_4(t)$ tra il nodo $n_2$ e $n_3$

In pratica, quando si usa la LKT conviene ragionare in termini di nodi, quindi bisogna considerare la differenza di potenziale tra due nodi.

Nel caso del circuito in esame, a seconda della maglia che segliamo otteniamo tre equazioni differenti:

Se scegliamo la maglia $M_1$ otteniamo la seguente equazione:

v_1(t) + v_2(t) + v_6(t) - v_5(t) = 0

Se scegliamo la maglia $M_2$ otteniamo la seguente equazione:

v_8(t) + v_7(t) - v_3(t) = 0

Infine, se scegliamo la maglia $M_3$ , riportata nella figura che segue, otteniamo un'ultima equazione:

**Figura 11:** Terza Maglia del Circuito di Esempio

v_1(t) + v_4(t) + v_8(t) + v_7(t) + v_6(t) - v_5(t) = 0

Lo stesso ragionamento si può applicare anche al caso di elementi con quattro o più terminali.

LKT e Principio di conservazione dell'energia

Anche la Legge di Kirchhoff delle Tensioni discende direttamente da un principio fisico. In questo caso, la LKT è una conseguenza diretta del Principio di Conservazione dell'Energia.

Proviamo a chiarire il tutto con un esempio. Prendiamo il circuito in figura:

**Figura 12:** Seconda Legge di Kirchhoff e Principio di Conservazione dell'Energia

Il circuito è composto da una singola maglia $M_1$ determinata dai nodi $n_1$ , $n_2$ , $n_3$ , $n_4$ e di nuovo $n_1$ . Supponiamo di avere una carica unitaria che parte dal nodo $n_1$ e, percorrendo $M_1$ in senso orario, ritorna di nuovo al nodo $n_1$ .

Questa carica, andando dal nodo $n_1$ al nodo $n_2$ subirà una variazione della sua energia potenziale pari a $V_1 = 3\,\mathrm{V}$ . Quindi cederà una parte della sua energia potenziale, in quanto $V_1$ è positiva. Successivamente, andando da $n_2$ ad $n_3$ riacquisterà parte della sua energia perduta in quanto $V_2$ è negativa. Dopo altri passaggi, la carica ritornerà al nodo $n_1$ , ossia al punto di partenza. Per cui, in base al principio di conservazione dell'energia, la sua energia finale dovrà essere necessariamente uguale alla sua energia iniziale. Da ciò otteniamo l'equazione:

V_1 - V_2 + V_3 - V_4 = 0

Tale equazione è confermata se sostituiamo i valori numerici delle tensioni riportate in figura:

3 -2 + 5 -6 = 0

Per meglio chiarire il tutto, nella figura che segue è riportato l'andamento del potenziale lungo la maglia $M_1$ . Ovviamente, il potenziale di partenza $V_0$ dipende dal potenziale del nodo $n_1$ rispetto ad un punto di riferimento:

**Figura 13:** Andamento del potenziale della Carica che attraversa il circuito

Da notare che le differenze di potenziale positivo implicano che la carica cede la sua energia, pertanto nel grafico c'è un abbassamento del suo potenziale in corrispondenza di $V_1$ e $V_3$ . Viceversa, in presenza di potenziale negativo la carica riacquista energia potenziale: ciò avviene in corrispondenza di $V_2$ e $V_4$ .

In Sintesi

In questa lezione abbiamo introdotto le due fondamentali Leggi di Kirchhoff.

In particolare, la prima legge, detta anche Legge di Kirchhoff delle Correnti, mette in relazione tutte le correnti che entrano in un nodo. Essa stabilisce che la somma algebrica di tali correnti deve essere in ogni istante sempre nulla. Nella somma bisogna considerare con attenzione i segni delle correnti. Una possibile convenzione è quella di assegnare il segno positivo alle correnti entranti nel nodo e il segno negativo alle correnti uscenti dal nodo.

Abbiamo visto che la LKC discende direttamente dal principio di conservazione della carica e può essere applicata anche al caso di superfici chiuse.

La seconda legge, detta anche Legge di Kirchhoff delle Tensioni, o LKT, discende invece dal principio di conservazione dell'energia. Essa stabilisce che la somma delle tensioni lungo una maglia deve essere in ogni istante sempre nulla.

Queste due leggi saranno fondamentali nell'analisi dei circuiti che studieremo nelle prossime lezioni.

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