Topologia dei Circuiti Elettrici: Maglie e Nodi

Analizzare un circuito significa ricavare le grandezze che entrano in gioco: correnti e tensioni.

Per poter far questo, bisogna studiare la topologia del circuito stesso, ossia come gli elementi che lo compongono sono interconnessi tra di loro.

In questa lezione studieremo la definizione di circuito elettrico e quella di elemento circuitale. A partire da ciò introdurremo i concetti di Nodo, Ramo e Maglia di un circuito.

Un nodo è un interconnessione di due o più elementi circuitali. Un ramo è un tratto di circuito compreso tra due nodi. Una maglia è un percorso chiuso all'interno del circuito.

Questi concetti sono alla base dello studio, dell'analisi e della sintesi dei circuiti elettrici.

Circuiti elettrici ed Elementi circuitali

Prima di poter affrontare lo studio delle leggi che regolano il comportamento dei circuiti è necessario definire esattamente cos'è un circuito e soprattutto definire gli elementi che lo compongono.

Elementi Circuitali

Partiamo con il definire il concetto di Elemento circuitale. Un elemento circuitale è, in sostanza, un dispositivo elettrico o elettronico in grado di applicare delle trasformazioni sulla tensione e sulla corrente che vengono ad esso applicate.

Esempi di elementi circuitali sono i resistori, gli induttori, i generatori e così via. Nelle prossime lezioni li studieremo in dettaglio.

Un elemento circuitale può essere acceduto da dei terminali, chiamati anche morsetti. Gli elementi circuitali possono essere collegati tra di loro attraverso dei fili o collegamenti. Tipicamente, tali collegamenti sono realizzati attraverso dei materiali conduttori in grado di facilitare l'attraversamento delle cariche, come vedremo più avanti.

Definizione

Elemento Circuitale

Un elemento circuitale è un dispositivo elettrico accessibile da dei terminali, chiamati anche morsetti. Tale dispositivo è in grado di applicare delle trasformazioni alle correnti e alle tensioni ad esso impartite.

In base al numero di terminali o morsetti, un elemento circuitale può assumere diversi nomi:

Bipolo
Tripolo
Quadripolo

Definizione

Bipolo

Un bipolo è un elemento circuitale a due morsetti.

Definizione

Tripolo

Un tripolo è un elemento circuitale a tre morsetti.

Definizione

Quadripolo

Un quadripolo è un elemento circuitale a quattro morsetti.

Rete Elettrica e Circuito Elettrico

In generale, gli elementi circuitali possono essere interconnessi in svariati modi. Per questo motivo è molto importante studiare i concetti base di topologia dei circuiti.

Una qualsiasi interconnessione di elementi prende il nome di rete elettrica:

Definizione

Rete Elettrica

Una Rete Elettrica è un'interconnessione di un numero arbitrario di elementi circuitali collegati tra di loro per mezzo di fili o conduttori.

Un filo può essere considerato come un conduttore ideale, ossia equipotenziale.

Nella figura che segue è riportato un esempio di rete elettrica.

Una rete elettrica non è ancora un circuito. Per poter avere un circuito, la condizione necessaria è che la rete presenti almeno un percorso chiuso.

Proviamo ad osservare la figura che segue:

**Figura 5:** Esempio di Circuito Elettrico

In questo caso, in effetti possiamo vedere che esiste un percorso chiuso che collega gli elementi $e_1$ , $e_2$ ed $e_3$ . Per cui quello in figura è a tutti gli effetti un circuito elettrico. Viceversa, nell'esempio di rete, non esiste nessun percorso chiuso, quindi non possiamo parlare di circuito ma solo di rete elettrica.

Definizione

Circuito elettrico

Un Circuito Elettrico è una rete elettrica che presenta almeno un percorso chiuso.

Un concetto fondamentale da sottolineare è che i fili o conduttori che collegano gli elementi circuitali di un circuito sono equipotenziali, per cui le variazioni di energia avvengono soltanto all'interno degli elementi che compongono il circuito stesso. Tutti i circuiti che studieremo in questa serie di lezioni assumono vera questa ipotesi e, pertanto, prendono il nome di Circuiti a parametri concentrati:

Definizione

Circuiti a Parametri Concentrati

Un circuito si dice a parametri concentrati quando le variazioni di energia avvengono esclusivamente all'interno degli elementi circuitali che lo compongono. Pertanto, i conduttori che collegano i componenti fra di loro sono equipotenziali.

Questa assunzione non è sempre vera. Possono verificarsi dei casi in cui la lunghezza dei collegamenti tra i componenti o le caratteristiche dei collegamenti stessi non sono più trascurabili. Per il momento, tuttavia, assumeremo sempre che la condizione sia verificata.

Quando un circuito è a parametri concentrati si ha un'importante conseguenza: la disposizione nello spazio degli elementi che compongono il circuito e la lunghezza dei collegamenti tra di essi sono trascurabili. Ciò che conta è esclusivamente la topologia del circuito stesso, ossia il modo in cui gli elementi sono collegati tra di loro.

In base a quanto detto, i circuiti che seguono sono esattamente equivalenti tra di loro:

Se osserviamo bene le due figure, infatti, il circuito A e il circuito B sono esattamente equivalenti fra di loro. Sebbene i tre elementi $e_1$ , $e_2$ ed $e_3$ sono disposti spazialmente in maniera diversa nei due circuiti, i morsetti dei tre elementi sono collegati allo stesso modo.

Nel circuito A, infatti, il morsetto 2 di $e_1$ è collegato al morsetto 1 di $e_2$ . Analogamente il morsetto 2 di $e_2$ è collegato al morsetto 1 di $e_3$ . Infine, il morsetto 2 di $e_3$ è collegato al morsetto 1 di $e_1$ . Osservando il circuito B, vediamo che tali collegamenti sono identici.

Quindi contano solo le interconnessioni, ossia la topologia, e non la disposizione spaziale.

Definizione

Circuiti a Parametri Concentrati e Topologia

Nel caso di circuiti a parametri concentrati ciò che conta è la topologia dei circuiti stessi, ossia le interconnessioni tra gli elementi. In tal caso la disposizione spaziale degli elementi e la lunghezza dei conduttori che li collegano non importa.

Relazione caratteristica di un elemento

Ogni elemento circuitale effettua una trasformazione tra le correnti ad esso applicate e le tensioni. Tale trasformazione è descritta da una relazione matematica che prende il nome di relazione caratteristica dell'elemento.

Ogni tipologia di elemento come, ad esempio, i resistori, gli induttori o i condensatori, hanno una propria relazione caratteristica che ne descrive il comportamento. Nel seguito delle lezioni vedremo tali relazioni e le studieremo in dettaglio.

In questo momento, ciò che è importante da capire è che tali relazioni matematiche dipendono soltanto da variabili esterne all'elemento in questione. In particolare dipendono da:

Le tensioni applicate ai morsetti dell'elelemento
Le correnti che scorrono nei terminali.

Prendiamo, ad esempio il bipolo che segue:

**Figura 8:** Bipolo con tensione applicata ai suoi morsetti e corrente che lo attraversa

In questo caso abbiamo che al bipolo, tra i morsetti $a$ e $b$ è applicata una tensione che può variare nel tempo $v(t)$ . Analogamente, nel terminale $a$ entra una corrente che può variare nel tempo: $i(t)$ .

Il comportamento di questo bipolo sarà descritto da una relazione matematica che lega $v(t)$ a $i(t)$ . A seconda di tale legame, la relazione potrà essere:

v(t) = F\left( i(t) \right)

Nel caso in cui la tensione dipenda dalla corrente. In tal caso, si parla quindi di elemento controllato in corrente.

Viceversa, se la corrente dipende dalla tensione, la relazione potrà essere:

i(t) = G\left( v(t) \right)

In tal caso si parla di elemento controllato in tensione.

Spesso, $F$ e $G$ sono legate da una proprietà di invertibilità. Ossia, per alcune tipologie di elementi, F può essere calcolata a partire da G invertendo la relazione:

F = G^{-1} \Leftrightarrow G = F^{-1}

Per altre tipologie di elementi circuitali, in particolare per gli elementi non lineari, ciò non è possibile.

Analizzare un circuito significa, quindi, determinare le grandezze in gioco (correnti e tensioni) una volta che è stabilita la topologia del circuito.

Viceversa, Sintetizzare un circuito significa determinare una topologia di circuito che ci permetta di ottenere le grandezze desiderate.

Rami, Nodi e Maglie

Dal momento che gli elementi che compongono un circuito possono essere interconnessi in svariati modi, risulta necessario, come prima cosa, studiare alcuni concetti di topologia dei circuiti.

Concetto di Nodo di un circuito

Il primo concetto fondamentale da introdurre è quello di Nodo:

Definizione

Nodo di un circuito

Un nodo è il punto di un circuito al quale sono connessi due o più elementi circuitali.

Negli schemi circuitali, tipicamente i nodi sono indicati attraverso un pallino. Quando un nodo interconnette due soli elementi, il pallino si omette.

Per capire meglio, osserviamo il circuito che segue:

**Figura 9:** Semplice esempio di circuito elettrico con i nodi evidenziati

In questo circuito sono presenti 3 nodi. Il primo nodo, $n_1$ , è posto nel punto in cui gli elementi $e_1$ ed $e_2$ sono collegati. Analogamente il nodo $n_2$ rappresenta la connessione tra $e_2$ ed $e_3$ . Infine, il nodo $n_3$ rappresenta il collegamento tra $e_3$ ed $e_1$ .

Nell'individuare i nodi nei circuiti bisogna, tuttavia, prestare attenzione. Proviamo ad osservare, infatti, il circuito che segue:

**Figura 10:** Esempio di circuito più complesso per l'individuazione dei nodi

Potremmo essere tentati di contare i nodi in questo modo:

**Figura 11:** Individuazione Errata dei nodi

Erroneamente andremmo ad individuare 5 nodi. Ma questo è sbagliato, infatti il collegamento tra i bipoli $e_1$ , $e_3$ ed $e_4$ è equipotenziale per cui si tratta di un singolo nodo:

**Figura 12:** Individuazione Corretta dei nodi

Quindi il numero corretto di nodi è 3.

Concetto di Ramo di un circuito

Il secondo concetto di topologia dei circuiti è il Ramo.

Definizione

Ramo di un circuito

Un Ramo è un tratto di un circuito compreso tra due nodi.

Per comprendere meglio, torniamo all'esempio di prima, dove avevamo tre nodi: $n_1$ , $n_2$ ed $n_3$ :

**Figura 13:** Esempio di Rami di un circuito

Osservando la figura possiamo individuare quattro rami:

Il primo ramo, compreso tra $n_1$ ed $n_3$ che contiene l'elemento $e_1$ ;
Il secondo ramo, compreso tra $n_1$ ed $n_2$ che contiene l'elemento $e_2$ ;
Gli ultimi due rami compresi tra $n_2$ ed $n_3$ che contengono gli elementi $e_3$ ed $e_4$ .

In realtà, in base alla definizione, si potrebbe individuare un altro ramo compreso tra il nodo $n_1$ ed $n_3$ che comprende allo stesso tempo gli elementi $e_2$ , $e_3$ ed $e_4$ :

**Figura 14:** Esempio di "Super Ramo" di un circuito

Questo "Super Ramo" rispetta la definizione di ramo a tutti gli effetti. Tuttavia, quando si parla di rami di un circuito si riferisce sempre ai Rami semplici:

Definizione

Ramo semplice di un circuito

Un Ramo semplice è un ramo di un circuito compreso tra due nodi che non contiene altri nodi al suo interno.

Da questo punto in poi, quando ci riferiremo ai rami di un circuito, intenderemo sempre i rami semplici.

Concetto di Maglia

Il concetto successivo da introdurre è quello di Maglia:

Definizione

Maglia

Una Maglia di un circuito è un percorso chiuso.

In altri termini, si tratta di una sequenza di nodi che comincia e finisce nello stesso nodo iniziale. In tale sequenza ogni nodo, eccetto quello iniziale, appare una sola volta.

Proviamo a chiarire il tutto con degli esempi. Osserviamo, dapprima, il circuito che segue:

**Figura 15:** Esempio di Maglia di un Circuito

In questo circuito esiste precisamente una sola maglia: $M_1$ . Questa maglia è identificata dalla sequenza di nodi $n_1$ , $n_2$ , $n_3$ e di nuovo $n_1$ .

Leggermente più complesso è il caso che segue:

**Figura 16:** Esempio di Maglie di un circuito complesso

In questo circuito sono presenti ben tre maglie, ossia tre percorsi chiusi:

$M_1$ : che comprende gli elementi $e_1$ , $e_2$ ed $e_3$ ed è individuata dalla sequenza di nodi $n_1$ , $n_2$ , $n_3$ ed $n_1$ ;
$M_2$ : che comprende gli elementi $e_2$ ed $e_3$ ed è individuata dalla sequenza di nodi $n_2$ , $n_3$ ed $n_2$ ;
$M_3$ : che comprende gli elementi $e_1$ , $e_2$ ed $e_4$ ed è individuata dalla sequenza di nodi $n_1$ , $n_2$ , $n_3$ ed $n_1$ .

Sebbene le maglie di questo esempio siano 3, possiamo ridurre il numero di maglie necessarie considerando soltanto le maglie indipendenti.

Definizione

Maglie Indipendenti

Due maglie di un circuito si dicono indipendenti se ognuna contiene almeno un ramo che non è parte dell'altra.

Un insieme di maglie indipendenti è, quindi, un insieme di maglie del circuito che hanno almeno un ramo non contenuto in nessuna delle altre maglie dell'insieme.

Tornando all'esempio, anche se abbiamo 3 maglie, il numero di maglie indipendenti è 2. Infatti, possiamo ottenere un insieme di maglie indipendenti soltanto se le scegliamo a coppie:

$\left\{ M_1, M_2 \right\}$ , oppure
$\left\{ M_1, M_3 \right\}$ , oppure
$\left\{ M_2, M_3 \right\}$

Teorema fondamentale della topologia

Avendo introdotto i principali concetti di topologia dei circuiti, possiamo adesso enunciare il Teorema Fondamentale della topologia dei circuiti:

Definizione

Teorema Fondamentale della Topologia dei Circuiti

Sia dato un circuito con:

numero $r$ di rami,
numero $n$ di nodi,
numero $m$ di maglie indipendenti

Allora sussiste la seguente equazione tra le tre quantità:

r = m + n - 1

Ossia, il numero di rami è pari alla somma del numero di nodi e di maglie indipendenti meno uno.

Proviamo a verificare il teorema con un circuito di esempio:

**Figura 17:** Esempio del Teorema Fondamentale della Topologia dei circuiti

Nel circuito in figura abbiamo:

Numero di nodi: $n = 3$ ;
Numero di maglie indipendenti: $m = 2$ ;
Numero di rami: $r = 4$ .

Per cui, applicando il teorema abbiamo:

r = n + m - 1 \quad \Rightarrow

4 = 3 + 2 - 1 \quad \Rightarrow

4 = 4

Elementi in Serie ed elementi in Parallelo

L'ultimo concetto di topologia dei circuiti da introdurre riguarda la connessione in serie e la connessione in parallelo.

Connessione in Serie

Definizione

Connessione di due elementi in Serie

Due elementi circuitali sono connessi in serie se condividono in maniera esclusiva un singolo nodo. In particolare, a tale nodo non deve essere connesso nessun altro elemento.

Gli elementi $e_1$ ed $e_2$ della figura seguente sono connessi in serie:

**Figura 18:** Esempio di Elementi connessi in Serie

Infatti, $e_1$ e $e_2$ condividono in maniera esclusiva il nodo $n_1$ e nessun altro elemento è connesso a tale nodo.

Viceversa, nel caso seguente l'elemento $e_1$ non è in serie a $e_2$ e nemmeno ad $e_3$ :

**Figura 19:** Esempio di Elementi Non connessi in Serie

Infatti, sebbene $e_1$ condivida il nodo $n_1$ con l'elemento $e_2$ , è presente anche l'elemento $e_3$ connesso allo stesso nodo. Per cui non ci sono elementi connessi in serie.

Connessione in Parallelo

Definizione

Connessione di due elementi in Parallelo

Due elementi circuitali sono connessi in parallelo se sono connessi alla stessa coppia di nodi.

Gli elementi $e_1$ ed $e_2$ della figura seguente sono connessi in parallelo:

**Figura 20:** Esempio di Elementi connessi in Parallelo

I due elementi, infatti, sono collegati esattamente agli stessi nodi $n_1$ e $n_2$ .

Viceversa, nell'esempio che segue, l'elemento $e_1$ non è in parallelo a nessun elemento. Infatti nessun elemento è connesso alla stessa coppia di nodi:

**Figura 21:** Esempio di Elementi Non connessi in Parallelo

In sintesi

Questa lezione è fondamentale per lo studio dei circuiti elettrici.

Abbiamo visto l'importanza della topologia dei circuiti. Siamo partiti dalla definizione di elemento circuitale (bipolo, tripolo e quadripolo) per arrivare alla definizione di rete elettrica e, soprattutto, di circuito elettrico.

Un circuito, infatti, è una interconnessione di elementi che presenta almeno un ciclo chiuso.

Conoscere la topologia di un circuito risulta fondamentale soprattutto per i circuiti a parametri concentrati dove non interessa la disposizione nello spazio degli elementi, ma solo il modo in cui sono connessi.

Abbiamo introdotto, poi, i concetti di Nodi, Rami e Maglie:

Un nodo rappresenta il punto in cui due o più elementi sono collegati.
Un ramo è il tratto di circuito compreso tra due nodi.
Una maglia è un percorso chiuso all'interno del circuito.

Con il teorema fondamentale della topologia dei circuiti sappiamo che il numero di rami è pari al numero di nodi più il numero di maglie indipendenti meno uno.

Infine, abbiamo visto cosa sia una connessione in serie e una connessione in parallelo.

Tutti questi concetti di topologia dei circuiti saranno fondamentali nello studio, nell'analisi e nella sintesi dei circuiti. Ci permetteranno di trovare il valore delle grandezze fisiche, correnti e tensioni, che entrano in gioco.

Nella prossima lezione partiremo dai concetti di topologia per poter studiare le fondamentali Leggi di Kirchhoff.

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