Potenza ed Energia di un Segnale

Un segnale è una grandezza fisica che trasporta informazione. Un segnale può essere una variazione di tensione, una corrente, una forza applicata e così via.

Tutti i processi fisici sono mediati attraverso trasferimenti di energia. Un sistema fisico reale risponde all'energia fornita da un'eccitazione o sollecitazione applicata ad esso. I segnali rappresentano, appunto, tali eccitazioni o sollecitazioni ed hanno, pertanto, un contenuto energetico.

Nello studio dei segnali e dei sistemi, i segnali stessi vengono, tuttavia, trattati astraendone la natura fisica. Tipicamente si descrive un segnale come una funzione che dipende dal tempo. Le proprietà fisiche vengono quindi omesse.

Il contenuto energetico di un segnale dipende dalla sua natura fisica. Ma per poter trattare un segnale in maniera generica ed astratta si definiscono le quantità di Potenza ed Energia di un segnale. Tali quantità sono differenti dalla Potenza ed Energia fisiche ma sono ad esse proporzionali.

In questa lezione definiamo i concetti astratti di Potenza di un Segnale ed Energia di un Segnale e vediamo come essi sono collegati alle Potenza ed Energia reali di un segnale fisico.

Potenza Istantanea Normalizzata di un Segnale

Spesso, i segnali vengono elaborati da sistemi elettronici. Un segnale viene acquisito e trasformato in una grandezza elettrica, ad esempio una variazione di tensione. Questa trasformazione avviene attraverso l'utilizzo di trasduttori.

Un microfono, ad esempio, trasforma le variazioni di pressione dell'aria, ossia i suoni, in variazioni di tensione. Successivamente i segnali vengono processati da circuiti che li elaborano, li filtrano e li trasformano.

Dato che nella maggior parte dei casi i segnali vengono trasdotti ed elaborati elettronicamente, proviamo a considerare cosa accade quando un segnale viene applicato ad un componente elettronico.

Supponiamo che un segnale, sotto forma di una variazione di tensione, venga applicato ai capi di un resistore di valore $R$ .

Sappiamo che per Effetto Joule il resistore dissipa, sotto forma di calore, una potenza istantanea pari a:

\begin{equation} \label{eq:joule_volt} p(t) = \frac{v^2(t)}{R} \end{equation}

La potenza viene misurata in Watt: $W$ . Possiamo anche riscrivere l'equazione $\ref{eq:joule_volt}$ riferendoci alla corrente, in quanto $v(t) = R \cdot i(t)$ :

\begin{equation} \label{eq:joule_current} p(t) = R \cdot i^2(t) \end{equation}

In ogni caso, bisogna notare che la potenza istantanea è direttamente proporzionale al quadrato del segnale a meno di un coefficiente di proporzionalità.

Nell'esempio, il coefficiente di proporzionalità dipende dalla natura fisica del segnale e del sistema a cui esso è applicato. In particolare dipende dal valore della resistenza $R$ che si misura in Ohm: $\Omega$ .

Un segnale di altra natura fisica, e quindi non elettronico, avrà di sicuro una costante di proporzionalità differente.

Lavorare direttamente con la potenza fisica di un segnale, tuttavia, ne complica l'analisi. Conviene, piuttosto, generalizzare la definizione di potenza di un segnale in maniera astratta omettendo il coefficiente di proporzionalità. Otteniamo così la Potenza normalizzata istantanea:

\begin{equation} \label{eq:normalized_power} p(t) = x^2(t) \end{equation}

Nella equazione $\ref{eq:normalized_power}$ , la funzione $x(t)$ rappresenta un segnale generico. Ovviamente, in questo caso, non possiamo utilizzare il Watt come unità di misura. La potenza normalizzata è una quantità astratta, priva di unità di misura, sebbene proporzionale alla reale potenza fisica.

Nel caso $x(t)$ si trattasse di un segnale elettronico, $p(t)$ potrebbe essere interpretata come la potenza dissipata da un resistore di valore unitario, ossia $R=1 \Omega$ . In altri casi, invece, l'interpretazione dipende dalla natura fisica del segnale in questione.

Energia di un Segnale

A partire dalla potenza istantanea normalizzata possiamo ricavare l'energia normalizzata ceduta dal segnale in un intervallo di tempo. Considerando l'intervallo di tempo di lunghezza $T$ : $[ -\frac{T}{2}, \frac{T}{2} ]$ , l'energia del segnale in tale intervallo è pari all'integrale:

\begin{equation} \label{eq:energy_in_interval} E_T = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x^2(t) dt \end{equation}

In entrambe i casi non abbiamo a che fare con l'energia e la potenza fisiche di un segnale, ma con delle quantità ad esse proporzionali. Le analisi ne risultano, tuttavia, semplificate.

Proviamo, adesso, ad estendere l'Energia all'intero segnale senza limitarci ad un intervallo. Per far questo, nell'equazione $\ref{eq:energy_in_interval}$ , dobbiamo far tendere la durata dell'intervallo $T$ all'infinito:

Otteniamo, così, il concetto di Energia totale di un segnale:

Definizione

Energia Totale di un Segnale

Dato un segnale $x(t)$ continuo e a valori limitati, definiamo l'Energia Totale $E_x$ come:

\begin{equation} E_x = \lim_{T \rightarrow +\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} | x^2(t) | dt \end{equation}

\begin{equation} E_x = \int_{-\infty}^{\infty} | x^2(t) | dt \end{equation}

La definizione di sopra vale purché l'integrale converga, ossia se il segnale è a quadrato sommabile.

In generale, la condizione sufficiente per cui ciò avvenga è che il segnale sia a supporto finito, ossia sia diverso da zero in un intervallo e uguale a zero al di fuori di esso. In caso contrario, non è detto che l'integrale dell'energia converga.

Nota: nella definizione di Energia Totale abbiamo messo il quadrato del segnale in valore assoluto. Questa operazione a prima vista sembra non necessaria in quanto il quadrato di un segnale a valori reali è sempre positivo. Risulta altresì obbligatoria nel caso in cui abbiamo a che fare con segnali a valori complessi. Infatti, anche se i segnali a valori complessi non hanno un corrispettivo fisico, ossia non esistono nella realtà, risultano essere utili in molti tipi di analisi.

Per tutti i segnali fisici, cioè realmente osservabili e generabili da sistemi fisici, l'integrale dell'energia è sempre convergente. Infatti, un segnale fisico è sempre portatore di energia finita.

In questo caso si parla di segnali ad energia finita o, più semplicemente, di segnali di energia.

Definizione

Segnali ad Energia Finita o Segnali di Energia

Un segnale continuo $x(t)$ si chiama Segnale di Energia se l'integrale della sua energia totale converge:

\begin{equation} E_x &lt; \infty \end{equation}

Esempio

Vogliamo calcolare l'energia totale del segnale:

x(t) = \left\{ \begin{array}{ll} e^{-at} &amp;&amp; \text{se} \quad t \geq 0 \\ 0 &amp;&amp; \text{altrimenti} \end{array} \right.

dove $a>0$ è una costante maggiore di zero. Il segnale è riportato nella seguente figura:

**Figura 1:** Segnale d'esempio di cui vogliamo calcolare l'energia

Il segnale $x(t)$ ha un supporto infinito: $\left[ 0, \infty \right)$ , quindi non possiamo sapere in anticipo se l'integrale converge. Proviamo a calcolare l'energia totale:

E_x = \int_{-\infty}^{\infty} | x^2(t) | dt

= \int_{-\infty}^{\infty} \left| \left( e^{-at} \right)^2 \right| dt

Il segnale nell'intervallo $\left( -\infty, 0 \right)$ vale 0, per cui possiamo limitare l'integrale in $\left[ 0, \infty \right)$ . Inoltre, si tratta di un segnale reale, per cui possiamo omettere il valore assoluto:

= \int_{0}^{\infty} e^{-2at} dt

= \lim_{\tau \rightarrow \infty} \left[ -\frac{1}{2a} e^{-2at} \right]_{0}^{\tau}

= \underbrace{\lim_{\tau \rightarrow \infty} \left( -\frac{1}{2a} e^{-2a\tau} \right)}_{= 0} + \frac{1}{2a} \cdot \underbrace{e^{-2a \cdot 0}}_{= 1}

= \frac{1}{2a}

L'integrale, quindi, converge e l'energia di questo segnale vale $\frac{1}{2a}$ .

Si tratta, pertanto, di un Segnale ad Energia Finita.

Potenza di un Segnale

Un segnale fisico ha sempre energia finita. Tuttavia, da un punto di vista matematico può risultare comodo utilizzare segnali che non rispettano questa condizione. Ciò risulta utile quando si vogliono modellare segnali reali con oggetti matematici più semplici.

Vediamo un esempio preso in prestito dall'ambito elettronico. Volendo modellare il segnale di una batteria che genera 5 volt possiamo usare il segnale che segue:

v(t) = 5

Questo segnale, tuttavia, non rappresenta la realtà. Da un punto di vista matematico questo segnale vale 5 da $-\infty$ a $+\infty$ : ha una durata infinita. Ma nella realtà una batteria non ha durata infinita. Questo segnale descrive, piuttosto, una batteria ideale. Scegliamo di usare un'astrazione matematica in questo caso per due motivi:

In primo luogo modellare una batteria reale non è un'operazione semplice ma, anzi, vanno considerati numerosi fattori e non idealità che complicherebbero l'analisi.
In secondo luogo, i risultati che si ottengono con questa approssimazione sono comunque molto vicini a quelli che si otterrebbero con un esperimento reale.

Provando a calcolare l'energia totale di questo segnale è facile osservare come l'integrale non converga. Si tratta di un Segnale ad Energia Infinita:

E_x = \lim_{T \rightarrow +\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} | x^2(t) | dt

= \lim_{T \rightarrow +\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} 5^2 dt

= + \infty

Possiamo, però, limitare la nostra osservazione del segnale ad un intervallo $T$ , troncando il segnale. Per cui, preso un segnale $x(t)$ ad energia infinita ma a valori limitati, ne otteniamo il troncamento nell'intervallo $T$ in questo modo:

\begin{equation} x_T(t) = \left\{ \begin{array}{ll} x(t) &amp;&amp; \text{se} \quad |t| \leq \frac{T}{2} \\ 0 &amp;&amp; \text{altrimenti} \end{array} \right. \end{equation}

Di questo segnale possiamo calcolare l'energia, indicata con $E_{x_T}$ , in quanto sicuramente l'integrale converge. Al tendere dell'intervallo all'infinito $T \rightarrow \infty$ ovviamente l'energia $E_{x_T}$ tende all'infinito.

Possiamo, però, considerare la Potenza media del segnale $x_T(t)$ nell'intervallo $T$ :

\begin{equation} P_{x_T} = \frac{E_{x_T}}{T} \end{equation}

Applicando un'operazione di limite, possiamo infine estendere a tutto il segnale $x(t)$ la definizione di potenza:

\begin{equation} P_{x} = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{E_{x_T}}{T} \end{equation}

Per cui:

Definizione

Potenza di un segnale

Dato un segnale $x(t)$ continuo, ne definiamo la potenza $P_x$ come:

\begin{equation} P_{x} = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} | x^2(t) | dt \end{equation}

Non è detto che questo integrale converga.

In generale, un segnale per cui l'integrale della potenza converge prende il nome di Segnale a Potenza Finita. In tal caso, si osserva che un segnale a potenza finita ha Energia Infinita.

Definizione

Segnali a Potenza Finita o Segnali di Potenza

Un segnale continuo $x(t)$ si chiama Segnale di Potenza se l'integrale della sua potenza converge:

\begin{equation} P_x &lt; \infty \end{equation}

In tal caso, l'energia del segnale è infinita:

E_x = +\infty

Si può facilmente osservare, inoltre, che:

Definizione

I Segnali ad Energia Finita hanno Potenza nulla

Dato un segnale $x(t)$ ad Energia Finita risulta che:

E_x &lt; +\infty \quad \Rightarrow \quad P_x = 0

Esempio

Torniamo al caso della batteria da 5 volt. Il segnale generato dalla batteria vale:

v(t) = 5

Poniamo $v_0 = 5$ per cui possiamo riscrivere il segnale come:

v(t) = v_0

Questo segnale ha energia infinita, in quanto vale 5 per ogni istante di tempo, da $-\infty$ a $+\infty$ .

Proviamo a calcolarne la potenza:

P_v = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} | v^2(t) | dt

= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} | v_0^2 | dt

= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} v_0^2 dt

= v_0^2 \cdot \left( \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} dt \right)

= v_0^2 \cdot \left( \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \left[ \frac{T}{2} + \frac{T}{2} \right] \right)

= v_0^2

Quindi la potenza della batteria vale $P_v = v_0^2$ . In questo caso specifico la potenza vale $5^2 = 25$ .

In sintesi

In questa lezione abbiamo astratto il concetto fisico di Potenza ed Energia per poterlo applicare ai segnali. In questo modo abbiamo definito l'Energia e la Potenza di un segnale come quantità proporzionali al loro corrispettivo fisico senza dover preoccuparci della natura dei segnali stessi.

Abbiamo visto che il calcolo dell'Energia e della Potenza consiste nell'integrare lungo tutto l'asse dei numeri reali il valore assoluto del quadrato di un segnale. Non necessariamente questo integrale converge.

Nel caso in cui l'integrale dell'Energia converge si parla, allora, di Segnale di Energia o Segnale ad Energia Finita. In questo caso la Potenza del segnale è nulla.

Nel caso, invece, in cui l'integrale della Potenza converge, abbiamo a che fare con un Segnale di Potenza o Segnale a Potenza Finita.

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