Potenza di un Segnale Periodico

Nella lezione precedente ci siamo occupati di definire e calcolare la potenza di un segnale. In questa lezione applicheremo il concetto al caso dei segnali periodici.

Calcolare la potenza di segnali periodici, infatti, risulta più semplice in quanto è sufficiente integrare il quadrato del valore assoluto di un segnale esclusivamente per un suo periodo e dividerlo per esso.

In questa lezione vedremo come si ricava la formula per il calcolo della potenza di segnali periodici. Partiremo dal caso semplice di segnali sinusoidali, poi studieremo il caso della combinazione lineare di segnali sinusoidali per poi passare al caso generale di segnali periodici generici.

Infine introdurremo il concetto di Valore efficace.

Concetti Chiave

La potenza di un segnale sinusoidale è pari alla sua ampiezza al quadrato fratto 2: $\frac{A^2}{2}$ ;
La potenza della somma di più segnali sinusoidali è data dalla somma delle singole potenze;
Per un segnale periodico generico la potenza è data dall'integrale del suo valore assoluto al quadrato effettuato su di un singolo periodo fratto il periodo stesso;
In generale la potenza di una combinazione lineare di più segnali periodici generici non è pari alla somma delle singole potenze.

Potenza di un Segnale Sinusoidale

Proviamo ad analizzare l'Energia e la Potenza di un semplice segnale sinusoidale:

x(t) = A \cdot \cos(\omega \cdot t + \phi_0)

La prima cosa da notare è che questo segnale ha Energia Infinita, infatti l'integrale dell'energia non converge:

\lim_{T \rightarrow +\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left| x^2(t) \right| dt =

= \lim_{T \rightarrow +\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left| A^2 \cdot \cos^2(\omega \cdot t + \phi_0) \right| dt = +\infty

Calcoliamone la Potenza:

P = \lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left| x^2(t) \right| dt

= \lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left| A^2 \cdot \cos^2(\omega \cdot t + \phi_0) \right| dt

Dato che si tratta di un segnale a valori reali elevato al quadrato, possiamo omettere il valore assoluto:

= \lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} A^2 \cdot \cos^2(\omega \cdot t + \phi_0) dt

Inoltre, una qualsiasi funzione reale elevata al quadrato è simmetrica rispetto all'asse delle $y$ , motivo per cui possiamo calcolare l'integrale partendo da $0$ e moltiplicando il risultato per $2$ :

= \lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{2 \cdot T} \int_{-T}^{T} A^2 \cdot \cos^2(\omega \cdot t + \phi_0) dt

= \lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{2 \cdot T} \cdot 2 \int_{0}^{T} A^2 \cdot \cos^2(\omega \cdot t + \phi_0) dt

= \lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} A^2 \cdot \cos^2(\omega \cdot t + \phi_0) dt

Sappiamo che questo segnale è periodico di periodo:

T_0 = \frac{2\pi}{\omega}

Introduciamo una nuova variabile intera $N$ che indica il numero di periodi su cui integrare. Per cui, al posto di far tendere la durata dell'intervallo all'infinito, facciamo tendere all'infinito il numero di periodi su cui andiamo ad integrare:

P = \lim_{N \rightarrow +\infty} \frac{1}{NT_0} \cdot \int_{0}^{N \cdot T_0} A^2 \cdot \cos^2(\omega \cdot t + \phi_0) dt

Ma poichè l'integrale svolto su ogni periodo è sempre uguale, possiamo riscrivere l'integrale come:

= \lim_{N \rightarrow +\infty} \frac{1}{\cancel{N}T_0} \cdot \cancel{N} \cdot \int_{0}^{T_0} A^2 \cdot \cos^2(\omega \cdot t + \phi_0) dt

= \frac{1}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0} A^2 \cdot \cos^2(\omega \cdot t + \phi_0) dt

Successivamente, portiamo il fattore $A^2$ al di fuori dell'integrale in quanto non dipende dal tempo:

= \frac{A^2}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0} \cos^2(\omega \cdot t + \phi_0) dt

Applichiamo, poi, l'identità trigonometrica seguente:

\cos^2(x) = \frac{1}{2} + \frac{\cos(2 \cdot x)}{2}

Dunque, il tutto si trasforma in:

= \frac{A^2}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0} \frac{1}{2} + \frac{\cos(2 \cdot \omega \cdot t + 2 \cdot \phi_0)}{2} dt

= \frac{A^2}{T_0} \cdot \left( \left[ \frac{1}{2} \cdot t \right]_{0}^{T_0} + \left[ \frac{\sin{\left( 2 \omega t +2 \phi_0 \right) }}{4 \omega } \right]_{0}^{T_0} \right)

\begin{equation} \label{eq:power_integral} = \frac{A^2}{T_0} \cdot \left( \frac{T_0}{2} + \left( \frac{\sin(2 \omega T_0 + 2 \phi_0)}{4 \omega} - \frac{\sin(2 \phi_0)}{4 \omega} \right) \right) \end{equation}

Nell'espressione di sopra, abbiamo che:

\sin(2 \omega T_0 + 2 \phi_0) = \sin\left(2 \cdot \omega \frac{2 \pi}{\omega} + 2 \phi_0\right) = \sin(4 \pi + 2 \phi_0)

Ma il seno è una funzione periodica di periodo $2 \pi$ per cui l'espressione diventa:

\sin(4 \pi + 2 \phi_0) = \sin(2 \phi_0)

Sostituendo nell'espressione $\ref{eq:power_integral}$ otteniamo:

= \frac{A^2}{T_0} \cdot \left( \frac{T_0}{2} + \left( \frac{\sin(2 \phi_0)}{4 \omega} - \frac{\sin(2 \phi_0)}{4 \omega} \right) \right)

= \frac{A^2}{T_0} \cdot \left( \frac{T_0}{2} \right)

P = \frac{A^2}{2}

Dunque, un segnale sinusoidale è un Segnale di Potenza, in quanto l'integrale della potenza converge.

Possiamo affermare che:

Definizione

Potenza di un Segnale Sinusoidale

Dato un segnale sinusoidale con frequenza $f = \frac{\omega}{2 \cdot \pi}$ , ampiezza $A$ e fase iniziale $\phi_0$ qualsiasi:

x(t) = A \cdot \cos(\omega \cdot t + \phi_0)

La Potenza del segnale è pari alla sua ampiezza al quadrato fratto 2:

\begin{equation} \label{eq:sinusoidal_power} P = \frac{A^2}{2} \end{equation}

Esempio: Potenza di un segnale sinusoidale

Proviamo a calcolare la potenza del segnale seguente:

x(t) = 3 \cdot \sin(4 \cdot \pi \cdot t)

In questo caso abbiamo la funzione seno anzichè coseno. Tuttavia, il seno può essere visto come un coseno sfasato di 90°, per cui possiamo riscrivere il segnale come:

x(t) = 3 \cdot \cos\left(4 \cdot \pi \cdot t - \frac{\pi}{2} \right)

In ogni caso, la potenza di questo segnale è indipendente dalla frequenza e dalla sua fase iniziale e applicando la formula $\ref{eq:sinusoidal_power}$ otteniamo:

P_x = \frac{A^2}{2} = \frac{9}{2}

Potenza di una somma di sinusoidi

Proviamo, ora, a calcolare la potenza di una somma di sinusoidi o meglio di una combinazione lineare di sinusoidi.

Supponiamo di voler calcolare la potenza del seguente segnale:

w(t) = A_1 \cdot \cos(2\pi f_1 t + \phi_1) + A_2 \cdot \cos(2\pi f_2 t + \phi_2)

Le due sinusoidi hanno ampiezze, frequenze e fasi differenti:

\begin{array}{c} A_1 \neq A_2 \\ f_1 \neq f_2 \\ \phi_1 \neq \phi_2 \end{array}

Applichiamo la formula della potenza di un segnale:

P_w = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} w^2(t) dt

= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left[ A_1 \cdot \cos(2\pi f_1 t + \phi_1) + A_2 \cdot \cos(2\pi f_2 t + \phi_2) \right]^2 dt

Concentriamoci un attimo sulla somma all'interno dell'integrale. Possiamo riscriverla in questo modo:

\left[ A_1 \cdot \cos(2\pi f_1 t + \phi_1) + A_2 \cdot \cos(2\pi f_2 t + \phi_2) \right]^2

\begin{array}{l} A_1^2 \cdot \cos^2(2\pi f_1 t + \phi_1) + \nonumber \\ A_2^2 \cdot \cos^2(2\pi f_2 t + \phi_2) + \nonumber \\ A_1 \cdot A_2 \cdot \cos(2\pi f_1 t + \phi_1) \cdot \cos(2\pi f_2 t + \phi_2) \nonumber \end{array}

Quindi l'integrando è dato dalla somma di tre contributi. Dato che l'operazione di limite e quella di integrale sono lineari, ossia il limite di una somma è dato dalla somma dei limiti così come l'integrale di una somma è dato dalla somma degli integrali, possiamo riscrivere la potenza come la somma che segue:

\begin{align} P_w = &amp; \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} A_1^2 \cdot \cos^2(2\pi f_1 t + \phi_1) dt \, + \nonumber\\ &amp; + \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} A_2^2 \cdot \cos^2(2\pi f_2 t + \phi_2) dt \, + \nonumber\\ &amp; \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} A_1 \cdot A_2 \cdot \cos(2\pi f_1 t + \phi_1) \cdot \cos(2\pi f_2 t + \phi_2) dt \nonumber \end{align}

Nella somma i primi due termini sono equivalenti alle potenze dei singoli segnali sinusoidali, per cui possiamo riscrivere il tutto come:

P_w = \frac{A_1^2}{2} + \frac{A_2^2}{2} + \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \left( \int_{0}^{T} A_1 \cdot A_2 \cdot \cos(2\pi f_1 t + \phi_1) \cdot \cos(2\pi f_2 t + \phi_2) dt \right) \nonumber

Ci rimane da analizzare singolarmente il termine:

\lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \left( \int_{0}^{T} A_1 \cdot A_2 \cdot \cos(2\pi f_1 t + \phi_1) \cdot \cos(2\pi f_2 t + \phi_2) dt \right)

In questo termine abbiamo il prodotto di due coseni. Possiamo applicare una delle formule di Werner, in particolare:

\cos(a) \cdot \cos(b) = \frac{\cos(a + b)}{2} + \frac{\cos(a - b)}{2}

Per cui il termine può essere riscritto in questo modo:

\begin{align} \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} &amp; \left( \int_{0}^{T} \frac{A_1 \cdot A_2}{2} \cdot \cos(2 \pi f_1 t + 2 \pi f_2 t + \phi_1 + \phi_2) \, dt \, \right) + \nonumber \\ \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} &amp; \left( \int_{0}^{T} \frac{A_1 \cdot A_2}{2} \cdot \cos(2 \pi f_1 t - 2 \pi f_2 t + \phi_1 - \phi_2) \, dt \, \right) \nonumber \end{align}

In pratica, nei due integrali abbiamo due sinusoidi. La prima ha frequenza $f_1 + f_2$ mentre la second ha frequenza $f_1 - f_2$ . Per cui possiamo riscrivere il tutto come:

\begin{align} \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} &amp; \left( \int_{0}^{T} \frac{A_1 \cdot A_2}{2} \cdot \cos(2 \pi (f_1 + f_2) t + \phi_1 + \phi_2) \, dt \, \right) + \nonumber \\ \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} &amp; \left( \int_{0}^{T} \frac{A_1 \cdot A_2}{2} \cdot \cos(2 \pi (f1 - f2) t + \phi_1 - \phi_2) \, dt \, \right) \nonumber \end{align}

La prima sinusoide ha un periodo $T_0$ pari a:

T_0 = \frac{1}{f_1 + f_2}

Analogamente la seconda ha periodo $T_1$ pari a:

T_1 = \frac{1}{f_1 - f_2}

A questo punto, come abbiamo fatto in precedenza, al posto di far tendere l'intervallo di integrazione $T$ all'infinito, possiamo introdurre una variabile intera $N$ che indica il numero di periodi su cui integrare e farla tendere all'infinito. Per cui possiamo riscrivere il tutto in questo modo:

\begin{align} \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N \cdot T_0} &amp; \left( \int_{0}^{N \cdot T_0} \frac{A_1 \cdot A_2}{2} \cdot \cos(2 \pi (f_1 + f_2) t + \phi_1 + \phi_2) \, dt \, \right) + \nonumber \\ \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N \cdot T_1} &amp; \left( \int_{0}^{N \cdot T_1} \frac{A_1 \cdot A_2}{2} \cdot \cos(2 \pi (f1 - f2) t + \phi_1 - \phi_2) \, dt \, \right) \, =\nonumber \end{align}

Essendo il coseno periodico, il suo integrale su $N$ periodi sarà uguale a $N$ volte l'integrale su un solo periodo, per cui:

\begin{align} = \, \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{\cancel{N} \cdot T_0} &amp; \left( \cancel{N} \cdot \int_{0}^{T_0} \frac{A_1 \cdot A_2}{2} \cdot \cos(2 \pi (f_1 + f_2) t + \phi_1 + \phi_2) \, dt \, \right) + \nonumber \\ \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{\cancel{N} \cdot T_1} &amp; \left( \cancel{N} \cdot \int_{0}^{T_1} \frac{A_1 \cdot A_2}{2} \cdot \cos(2 \pi (f1 - f2) t + \phi_1 - \phi_2) \, dt \, \right)\nonumber \end{align}

A questo punto non vi è più la dipendenza dalla variabile del limite, per cui possiamo riscrivere il tutto come:

\begin{align} = \, \frac{1}{T_0} &amp; \left( \int_{0}^{T_0} \frac{A_1 \cdot A_2}{2} \cdot \cos(2 \pi (f_1 + f_2) t + \phi_1 + \phi_2) \, dt \, \right) + \nonumber \\ \frac{1}{T_1} &amp; \left(\int_{0}^{T_1} \frac{A_1 \cdot A_2}{2} \cdot \cos(2 \pi (f1 - f2) t + \phi_1 - \phi_2) \, dt \, \right)\nonumber \end{align}

\begin{align} = \, \frac{1}{T_0} \cdot \frac{A_1 \cdot A_2}{2} \cdot \left( \int_{0}^{T_0} \cos(2 \pi (f_1 + f_2) t + \phi_1 + \phi_2) \, dt \, \right) + \nonumber \\ \frac{1}{T_1} \cdot \frac{A_1 \cdot A_2}{2} \cdot \left(\int_{0}^{T_1} \cos(2 \pi (f1 - f2) t + \phi_1 - \phi_2) \, dt \, \right)\nonumber \end{align}

I due integrali possono essere facilmente risolti. Infatti l'integrale di un coseno su di un suo periodo corrisponde a:

\int_{0}^{T} \cos(2 \pi f t + \phi) dt =

\left[ \frac{\sin(2 \pi f t + \phi)}{2\pi f} \right]_{0}^{T} =

\frac{\sin(2 \pi f \cdot T + \phi)}{2\pi f} - \frac{\sin(2 \pi f \cdot 0 + \phi)}{2\pi f} =

\frac{\sin(2 \pi f \cdot T + \phi)}{2\pi f} - \frac{\sin(\phi)}{2\pi f}

Ma sappiamo che $T$ vale:

T = \frac{1}{f}

Per cui:

= \frac{\sin(2 \pi f \cdot \frac{1}{f} + \phi)}{2\pi f} - \frac{\sin(\phi)}{2\pi f}

= \frac{\sin(2 \pi + \phi)}{2\pi f} - \frac{\sin(\phi)}{2\pi f}

Il seno ha un periodo di $2\pi$ per cui $\sin(2\pi + \phi) = \sin(\phi)$ :

= \frac{\sin(\phi)}{2\pi f} - \frac{\sin(\phi)}{2\pi f} = 0

Quindi i due integrali di sopra sono uguali a zero. Il terzo termine nella somma ottenuta per la potenza non dà contributo.

Alla fine la potenza della somma di due sinusoidi è pari alla somma delle loro potenze:

P_w = \frac{A_1^2}{2} + \frac{A_2^2}{2}

Definizione

Potenza della somma di due sinusoidi

Dato un segnale $w(t)$ ottenuto dalla somma di due sinusoidi, ossia come combinazione lineare di due sinusoidi:

w(t) = A_1 \cdot \cos(2\pi f_1 t + \phi_1) + A_2 \cdot \cos(2\pi f_2 t + \phi_2)

La sua potenza è pari alla somma delle potenze delle singole sinusoidi:

P_w = \frac{A_1^2}{2} + \frac{A_2^2}{2}

La potenza è indipendente dalle frequenze delle singole sinusoidi e dalle loro fasi iniziali.

Il concetto può essere esteso al caso di una somma di più sinusoidi o combinazione lineare di più sinusoidi:

Definizione

Potenza della combinazione lineare di più sinusoidi

Dato un segnale $w(t)$ ottenuto dalla combinazione lineare di più sinusoidi:

w(t) = \sum_{n=1}^{N} A_n \cdot \cos(2\pi f_n t + \phi_n)

La sua potenza è pari alla somma delle potenze delle singole sinusoidi:

P_w = \sum_{n=1}^{N} \frac{A_n^2}{2}

La potenza è indipendente dalle frequenze delle singole sinusoidi e dalle loro fasi iniziali.

Potenza di un Segnale Periodico

Adesso, proviamo a generalizzare il calcolo della potenza al caso di un qualunque segnale periodico di periodo $T_0$ .

Sia $x(t)$ un qualunque segnale periodico di periodo $T_0$ . Di conseguenza, vale che:

x(t + k \cdot T_0) = x(t) \quad \forall k \in \mathbb{Z}

Si può facilmente intuire che un segnale periodico ha energia infinita.

Per calcolare la potenza, applichiamo gli stessi ragionamenti fatti per un segnale sinusoidale e limitiamo l'integrale ad un solo periodo:

P = \lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left| x^2(t) \right| dt

= \frac{1}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0} \left| x^2(t) \right| dt

Ossia, la potenza totale di un segnale periodico è equivalente alla sua potenza media in un singolo periodo.

Definizione

Potenza di un Segnale Periodico

Dato un qualunque segnale periodico con periodo pari a $T_0$ :

x(t) = x(t + k \cdot T_0) \quad \forall k \in \mathbb{Z}

La Potenza del segnale è pari alla sua potenza media calcolata in un singolo periodo:

\begin{equation} \label{eq:periodic_power} P_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0} \left| x^2(t) \right| dt \end{equation}

Tuttavia, nel caso di generici segnali periodici non vale più il ragionamento sulla combinazione lineare di segnali:

Nota

La potenza della somma di due o più segnali periodici generici non è uguale alla somma delle singole potenze.

Prendiamo un segnale $w(t)$ dato dalla somma di $N$ segnali periodici generici e non necessariamente sinusoidali:

w(t) = \sum_{n=1}^{N} x_n(t)

dove ogni $x_n(t)$ è un segnale periodico di periodo $T_n$ .

Abbiamo che in generale la potenza non è uguale alla somma delle potenze:

P_w \neq \sum_{n=1}^{N} P_{x_n}

Esempio: Potenza di un segnale a dente di sega

Proviamo a calcolare la potenza di un'onda a dente di sega positiva con periodo $T_0$ , rappresentata nella figura seguente:

Il segnale può essere scritto come:

\begin{equation} x(t) = \frac{t}{T_0} - \left\lfloor \frac{t}{T_0} \right\rfloor \end{equation}

Nella sua definizione abbiamo usato la funzione Parte intera, chiamata in inglese Floor:

\left\lfloor x \right\rfloor = \max \left\{ k \in \mathbb{Z}: k \leq x \right\}

In poche parole, la funzione Parte Intera associa ad ogni numero reale il numero intero senza la parte decimale.

Il segnale a dente di sega positivo è un segnale periodico, per cui è ad Energia infinita.

Proviamo a calcolare la potenza usando la formula $\ref{eq:periodic_power}$ :

P_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0} \left| x^2(t) \right| dt

$x(t)$ è un segnale a valori reali per cui il suo quadrato è sempre positivo e possiamo eliminare il valore assoluto:

P_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0} \left( \frac{t}{T_0} - \left\lfloor \frac{t}{T_0} \right\rfloor \right)^2 dt

Inoltre, nell'intervallo $\left[ 0, T_0 \right]$ la parte intera di $\frac{t}{T_0}$ vale $0$ :

\left\lfloor \frac{t}{T_0} \right\rfloor = 0 \quad \forall t \in \left[ 0, T_0 \right]

Quindi l'integrale della potenza diventa:

P_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0} \left( \frac{t}{T_0} \right)^2 dt

= \frac{1}{T_0} \cdot \frac{1}{{T_0}^2} \int_{0}^{T_0} t^2 dt

= \frac{1}{{T_0}^3} \cdot \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{T_0}

= \frac{1}{{T_0}^3} \cdot \frac{{T_0}^3}{3}

= \frac{1}{3}

Quindi un'onda a dente di sega positiva è un Segnale di Potenza e la sua potenza vale $\frac{1}{3}$ .

Valore Efficace di un Segnale

Un utile concetto spesso usato in ingegneria e nella teoria dei segnali è quello del Valore efficace.

Dato un segnale di potenza $x(t)$ , il suo valore efficace, chiamato anche Root Mean Square in inglese (abbreviato come RMS) si definisce come:

x_{RMS} = \sqrt{P_x}

Tale valore può essere interpretato come quel valore che deve possedere un segnale continuo affinché possegga la stessa potenza del segnale in questione.

Definizione

Valore Efficace o Root Mean Square (RMS)

Il valore efficace di un segnale di potenza $x(t)$ è definito come:

x_{RMS} = \sqrt{P_x}

Un segnale di energia ha valore efficace pari a zero.

Ad esempio, nel caso di un segnale sinusoidale:

x(t) = A \cdot \cos(2 \pi f t + \phi)

Abbiamo che la potenza vale:

P_x = \frac{A^2}{2}

per cui il valore efficace è pari a:

x_{RMS} = \frac{A}{\sqrt{2}}

A volte, nel caso sinusoidale, si approssima tale valore a:

x_{RMS} \approx 0.707 \cdot A

ossia circa il $70\%$ dell'ampiezza del segnale sinusoidale.

In sintesi

Questa lezione è fondamentale nello studio dei segnali. Abbiamo visto la potenza dei segnali sinusoidali e come la potenza di una combinazione lineare di più sinusoidi possa essere calcolata.

In particolare, nel caso di segnali sinusoidali la potenza è indipendente da frequenza e fase iniziale ed è pari a $\frac{A^2}{2}$ , ossia dipende solo dall'ampiezza.

Sommando più segnali sinusoidali otteniamo che la potenza è data dalla somma delle singole potenze. Cosa che invece non è vera per segnali periodici generici.

Abbiamo ricavato la formula più semplice per calcolare la potenza di un generico segnale periodico.

Infine abbiamo visto il concetto di Valore Efficace, ossia quel valore che un segnale continuo deve possedere per avere la stessa potenza di un segnale periodico.

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