Energia Mutua e Ortogonalità di Segnali

Questa lezione introduce i concetti di energia mutua e ortogonalità dei segnali di energia, fondamentali per comprendere come i segnali interagiscono tra loro.

Verrà mostrato come calcolare il contributo energetico che emerge quando si combinano più segnali. Inoltre, si approfondiranno le condizioni che rendono i segnali ortogonali in energia e le simmetrie che semplificano tali calcoli.

Energia e Combinazioni di Segnali

Nella lezione sull'energia di un segnale abbiamo visto che l'energia di un segnale è definita come:

E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt

dove $x(t)$ è il segnale in esame.

Inoltre abbiamo visto che un segnale la cui energia è finita prende il nome di Segnale di Energia.

Quello che ci domandiamo, adesso, è che cosa accade quando combiniamo linearmente più segnali? In particolare:

Se moltiplichiamo un segnale di energia $x(t)$ per una costante $\alpha \in \mathbf{C}$ continua ad essere un segnale di energia?
Se sommiamo algebricamente più segnali di energia $x_1(t)$ e $x_2(t)$ , il risultato è ancora un segnale di energia?

Proviamo ad esaminare singolarmente i due casi.

Nel primo caso, se moltiplichiamo un segnale di energia $x(t)$ per una costante $\alpha \in \mathbf{C}$ , otteniamo:

E_{\alpha x} = \int_{-\infty}^{+\infty} |\alpha x(t)|^2 dt = |\alpha|^2 \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt = |\alpha|^2 E_x

quindi, l'energia del segnale $\alpha x(t)$ è finita se e solo se l'energia del segnale $x(t)$ è finita. In altre parole, moltiplicare un segnale di energia per una costante non cambia la sua natura di segnale di energia.

Più complesso, invece, è determinare la natura del segnale risultante dalla somma algebrica di più segnali di energia.

Consideriamo due segnali di energia, $x_1(t)$ e $x_2(t)$ , e calcoliamo l'energia del segnale risultante dalla loro somma algebrica:

E_{x_1+x_2} = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} |x_1(t) + x_2(t)|^2 dt

Sviluppiamo il modulo al quadrato presente all'interno dell'integrale:

|x_1(t) + x_2(t)|^2 = \left(x_1(t) + x_2(t)\right) \cdot \left(x_1(t) + x_2(t)\right)^*

In questo caso abbiamo usato il coniugato complesso della somma dei segnali, che è uguale alla somma dei coniugati complessi dei segnali. L'utilizzo del coniugato complesso deriva dal fatto che stiamo considerando segnali a valori complessi, ma il ragionamento è del tutto analogo per segnali a valori reali. Infatti, se i segnali sono a valori reali, il coniugato complesso coincide con il segnale stesso.

Espandendo il prodotto, otteniamo:

= x_1(t)x_1^*(t) + x_2(t)x_2^*(t) + x_1(t)x_2^*(t) + x_2(t)x_1^*(t)

Da cui si ricava:

= |x_1(t)|^2 + |x_2(t)|^2 + x_1(t)x_2^*(t) + x_2(t)x_1^*(t)

Ma la quantità:

x_1(t)x_2^*(t) + x_2(t)x_1^*(t) = 2 \Re\{x_1(t)x_2^*(t)\}

quindi, l'energia del segnale risultante dalla somma algebrica di due segnali di energia è:

E_{x_1+x_2} = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} |x_1(t)|^2 dt + \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} |x_2(t)|^2 dt + 2\Re\left\{\lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} x_1(t)x_2^*(t) dt\right\}

E_{x_1+x_2} = E_{x_1} + E_{x_2} + 2\Re\left\{\lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} x_1(t)x_2^*(t) dt\right\}

Come si può vedere, l'energia della somma dei due segnali è data dalla somma delle energie dei singoli segnali più un terzo contributo.

Definiamo una nuova quantità che indichiamo con $E_{x_1,x_2}$ , che è definita come:

E_{x_1,x_2} = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} x_1(t)x_2^*(t) dt

Possiamo riscrivere l'energia della somma dei due segnali come:

E_{x_1+x_2} = E_{x_1} + E_{x_2} + 2\Re\{E_{x_1,x_2}\}

Questa relazione ci dimostra che l'energia della somma di due segnali di energia è data, oltre che dalla somma delle energie dei singoli segnali, da un contributo che dipende dalle relazioni energetiche reciproche o mutue dei due segnali presi in esame.

Pertanto, diamo a questa quantità il nome di Energia Mutua:

Definizione

Energia Mutua

Siano dati due segnali a tempo continuo e a valori complessi:

x(t): \mathbb{R} \to \mathbb{C}

y(t): \mathbb{R} \to \mathbb{C}

L'Energia Mutua tra i due segnali è definita come:

E_{x,y} = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} x(t)y^*(t) dt

Osserviamo alcune cose sull'energia mutua:

In primo luogo, a differenza dell'energia di un segnale che è una quantità sempre reale e non negativa, l'energia mutua è una quantità complessa.
Se i due segnali in gioco sono identici, ossia se vale:

$x(t) \equiv y(t)$

allora l'energia mutua coincide con l'energia del segnale:

$E_{x,x} = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} |x(t)|^2 dt = E_x$
Dal momento che il secondo segnale è coniugato complesso ne consegue che:

$E_{x,y}^* = E_{y,x}$
Se i due segnali in gioco sono reali, allora anche l'energia mutua è una quantità reale che può avere un segno qualunque. In tal caso abbiamo che vale la seguente uguaglianza:

$E_{x,y} = E_{y,x}$

per cui, l'espressione della somma algebrica dei segnali diventa:

$E_{x_1+x_2} = E_{x_1} + E_{x_2} + 2E_{x_1,x_2}$

che è una relazione simmetrica. Inoltre è concettualmente simile al calcolo del quadrato di un binomio.

Dall'espressione dell'energia data dalla somma di due segnali possiamo facilmente inferire che anche la somma di due segnali di energia continua ad essere un segnale di energia.

Quindi, per rispondere alle due domande poste sopra, possiamo dire che:

La moltiplicazione di un segnale di energia per una costante non cambia la sua natura di segnale di energia.
La somma algebrica di due segnali di energia è ancora un segnale di energia.

La conseguenza, come vedremo, è che l'insieme dei segnali di energia rappresenta uno spazio vettoriale.

Ortogonalità dei Segnali di Energia

Riprendiamo la formula per il calcolo dell'energia della somma di due segnali di energia:

E_{x_1+x_2} = E_{x_1} + E_{x_2} + 2\Re\{E_{x_1,x_2}\}

La conseguenza è che, dal momento che il termine $2\Re\{E_{x_1,x_2}\}$ è un contributo reale ma con un segno indeterminato, possiamo avere che l'energia risultante può essere maggiore, minore o uguale alla somma delle energie dei singoli segnali.

In particolare, se il contributo $2\Re\{E_{x_1,x_2}\}$ è pari a zero, abbiamo la condizione dell'additività delle energie. Nel caso dei segnali reali, questa condizione si traduce in:

E_{x_1,x_2} = 0

In questo caso, i due segnali sono ortogonali e si dice che sono ortogonali in energia.

Definizione

Ortogonalità in Energia

Due segnali di energia $x_1(t)$ e $x_2(t)$ sono ortogonali in energia se:

E_{x_1,x_2} = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} x_1(t)x_2^*(t) dt = 0

Casi particolari

Esistono casi particolari in cui è quasi immediato determinare se due segnali sono ortogonali tra di loro in energia.

Il primo caso riguarda due segnali che non si sovrappongono nel tempo. Detto in altri termini, se prendiamo due segnali ognuno con un supporto temporale disgiunto, allora i due segnali sono ortogonali in energia.

Il perché è facile da intuire. Infatti, se i due segnali non si sovrappongono, il prodotto:

x(t) \cdot y^*(t) = 0

sarà sempre uguale a zero perché non ci sarà nessun momento nel tempo in cui i due segnali siano contemporaneamente diversi da zero.

Motivo per cui l'energia mutua:

E_{x,y} = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} x(t)y^*(t) dt = 0

sarà uguale a zero.

Definizione

Segnali di Energia Ortogonali nel Tempo

Due segnali di energia $x_1(t)$ e $x_2(t)$ sono ortogonali in energia se non si sovrappongono nel tempo, ossia se:

\forall t \in \mathbb{R} \quad x_1(t) \cdot x_2(t) = 0

Il secondo caso riguarda invece due segnali di energia qualunque ma tali che il primo sia a simmetria pari mentre il secondo sia a simmetria dispari. In questo caso, il prodotto tra i due segnali sarà sempre un segnale a simmetria dispari.

La conseguenza è che, se definiamo il segnale dato dal prodotto dei due segnali:

z(t) = x_1(t) \cdot x_2^*(t)

allora il segnale $z(t)$ è un segnale a simmetria dispari, ossia:

z(-t) = -z(t)

Per cui, l'integrale di un segnale a simmetria dispari su un intervallo simmetrico rispetto all'origine è sempre uguale a zero. Infatti:

\int_{-T}^{+T} z(t) dt = \int_{-T}^{0} z(t) dt + \int_{0}^{+T} z(t) dt

= \int_{0}^{-T} z(-t) dt + \int_{0}^{+T} z(t) dt

= \int_{0}^{-T} -z(t) dt + \int_{0}^{+T} z(t) dt

= \int_{0}^{+T} z(t) dt - \int_{0}^{+T} z(t) dt = 0

Quindi, anche in questo caso, l'energia mutua tra i due segnali è uguale a zero.

Definizione

Segnali di Energia Ortogonali per Simmetria

Due segnali di energia $x_1(t)$ e $x_2(t)$ sono ortogonali in energia se uno dei due segnali è a simmetria pari e l'altro è a simmetria dispari, ossia se:

\forall t \in \mathbb{R} \quad x_1(t) = x_1(-t) \quad \text{e} \quad x_2(t) = -x_2(-t)

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto che:

Preso un segnale di energia $x(t)$ , la moltiplicazione per una costante non cambia la sua natura di segnale di energia.
La somma algebrica di due segnali di energia è ancora un segnale di energia.
Ne consegue che l'insieme dei segnali di energia rappresenta uno spazio vettoriale.
L'energia mutua tra due segnali di energia è definita come:

$E_{x,y} = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} x(t)y^*(t) dt$
L'energia della somma di due segnali di energia è data dalla somma delle energie dei singoli segnali più un contributo che dipende dall'energia mutua:

$E_{x_1+x_2} = E_{x_1} + E_{x_2} + 2\Re\{E_{x_1,x_2}\}$
Due segnali di energia sono ortogonali in energia se:

$E_{x_1,x_2} = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} x_1(t)x_2^*(t) dt = 0$

Nella prossima lezione andremo ad estendere i concetti visti in questa lezione al caso dei segnali di potenza.

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