Spazi Vettoriali

In questa lezione introdurremo il concetto di spazio vettoriale. Gli spazi vettoriali sono strutture algebriche fondamentali in algebra lineare e costituiscono il fondamento su cui si basa l'intera disciplina.

Vedremo che, per poter definire uno spazio vettoriale, dobbiamo specificare un insieme di oggetti, chiamati vettori, e due operazioni che permettono di combinare questi vettori tra loro.

Inoltre, vedremo quali sono gli assiomi che queste operazioni devono soddisfare affinché la struttura sia effettivamente uno spazio vettoriale.

Definizione di Spazio Vettoriale

Nella sua forma più generale, uno spazio vettoriale è una struttura algebrica che generalizza il concetto di vettore nello spazio euclideo. Ma, mentre in uno spazio euclideo i vettori sono rappresentati da frecce con un verso, una direzione e una lunghezza, in uno spazio vettoriale i vettori possono essere oggetti di qualunque tipo, astratti o concreti, che, tuttavia, devono rispettare gli assiomi e le definizioni che vedremo a breve.

Per poter costruire uno spazio vettoriale, quindi, abbiamo bisogno di due insiemi:

  1. Un insieme \mathbf{V} di elementi, chiamati genericamente vettori o punti;
  2. Un campo \mathbb{F} di scalari.
Definizione

Notazione per vettori e scalari

Tipicamente i vettori appartenenti all'insieme \mathbf{V} sono indicati in vari modi:

  • In grassetto \mathbf{v};
  • Con una freccia sopra \vec{v};
  • Con una riga sopra \overline{v}.

In questo corso useremo la notazione in grassetto.

Per quanto riguarda, invece, gli scalari appartenenti al campo \mathbb{F}, essi sono indicati con lettere minuscole sia latine che greche:

\alpha, \beta, \gamma, \ldots
a, b, c, \ldots

Dati l'insieme \mathbf{V} e il campo \mathbb{F}, dobbiamo definire due operazioni:

  1. Una operazione interna di somma tra vettori, che associa ad ogni coppia di vettori \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbf{V} un vettore somma \mathbf{u} + \mathbf{v} \in \mathbf{V};

    In poche parole, deve esistere una operazione, nella maggior parte dei casi chiamata addizione, che combina due vettori e restituisce un vettore appartenente allo stesso insieme. In termini formali, si diche che l'insieme \mathbf{V} è chiuso rispetto all'operazione di addizione.

    Può sembrare banale, ma è importante ribadire questo concetto in quanto, nel caso in cui dovesse esistere anche solo una coppia di vettori per i quali la somma non è definita, non si può parlare di spazio vettoriale.

  2. Una operazione esterna di moltiplicazione per scalare, che associa ad ogni scalare \alpha \in \mathbb{F} e ad ogni vettore \mathbf{v} \in \mathbf{V} un vettore \alpha \mathbf{v} \in \mathbf{V}.

    Intuitivamente, la moltiplicazione per uno scalare è un'operazione che permette di allungare o accorciare un vettore. Per questo motivo, gli elementi del campo \mathbb{F} sono chiamati scalari.

In generale il campo \mathbb{F} può essere un campo qualsiasi ma nella stragrande maggioranza dei casi si tratta del campo dei numeri reali \mathbb{R} o dei numeri complessi \mathbb{C}. Nel primo caso si parla di spazio vettoriale reale, nel secondo di spazio vettoriale complesso.

Tutto ciò non basta per definire uno spazio vettoriale. Dobbiamo, inoltre, imporre 8 proprietà o assiomi che devono essere soddisfatti affinché la struttura sia effettivamente uno spazio vettoriale.

Quindi la definizione formale di spazio vettoriale è la seguente:

Definizione

Spazio Vettoriale

Uno Spazio Vettoriale sul campo \mathbb{F} è un insieme \mathbf{V} di elementi, detti vettori o punti, dotato di due operazioni:

  • Un'operazione interna che associa ad una coppia di vettori \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbf{V} un vettore chiamato vettore somma e indicato con \mathbf{u} + \mathbf{v} \in \mathbf{V};

  • Un'operazione esterna che associa ad uno scalare \alpha \in \mathbb{F} e ad un vettore \mathbf{v} \in \mathbf{V} un vettore \alpha \mathbf{v} \in \mathbf{V}. Questo vettore è detto prodotto di \mathbf{v} per lo scalare \alpha.

Per queste due operazioni devono essere soddisfatti 8 assiomi.

Adesso vediamo quali sono questi assiomi.

Assiomi degli Spazi Vettoriali

Definizione

Assioma 1: Proprietà commutativa dell'addizione

Per ogni coppia di vettori \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbf{V} vale la seguente uguaglianza:

\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbf{V}
Definizione

Assioma 2: Proprietà associativa dell'addizione

Dati tre vettori qualsiasi \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \in \mathbf{V} vale la seguente uguaglianza:

(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) + \mathbf{v}_3 = \mathbf{v}_1 + (\mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3) \quad \forall \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \in \mathbf{V}
Definizione

Assioma 3: Esistenza dell'elemento neutro della somma

Esiste un vettore \mathbf{0} \in \mathbf{V}, chiamato vettore nullo, tale che per ogni vettore \mathbf{v} \in \mathbf{V} vale la seguente uguaglianza:

\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} \quad \forall \mathbf{v} \in \mathbf{V}
Nota

Notazione per il vettore nullo

Il vettore nullo è indicato con \mathbf{0} (in grassetto) e non con 0 per evitare confusione con lo scalare 0.

Esistono altre notazioni alternative:

  • \mathbf{0}_{\mathbf{V}} per esplicitare che si tratta del vettore nullo appartenente all'insieme \mathbf{V};
  • \overline{0};
  • \vec{0}.

Analogamente, per evitare ambiguità, lo scalare 0 è indicato a volte con 0_{\mathbb{F}} per specificare che si tratta dello scalare nullo del campo \mathbb{F}.

Definizione

Assioma 4: Esistenza dell'opposto di un vettore

Per ogni vettore \mathbf{v} \in \mathbf{V} esiste un vettore indicato con -\mathbf{v} \in \mathbf{V} e chiamato opposto di \mathbf{v} tale che vale la seguente uguaglianza:

\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}
Definizione

Assioma 5: Proprietà distributiva del prodotto per uno scalare rispetto alla somma dei vettori

Per ogni coppia di vettori \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbf{V} e per ogni scalare \alpha \in \mathbb{F} vale la seguente uguaglianza:

\alpha (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \alpha \mathbf{u} + \alpha \mathbf{v}
\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbf{V}, \quad \forall \alpha \in \mathbb{F}
Definizione

Assioma 6: Proprietà distributiva del prodotto per uno scalare rispetto alla somma degli scalari

Per ogni vettore \mathbf{v} \in \mathbf{V} e per ogni coppia di scalari \alpha, \beta \in \mathbb{F} vale la seguente uguaglianza:

(\alpha + \beta) \mathbf{v} = \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{v}
\forall \mathbf{v} \in \mathbf{V}, \quad \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}
Definizione

Assioma 7: Proprietà associativa del prodotto per uno scalare

Per ogni vettore \mathbf{v} \in \mathbf{V} e per ogni coppia di scalari \alpha, \beta \in \mathbb{F} vale la seguente uguaglianza:

\alpha (\beta \mathbf{v}) = (\alpha \beta) \mathbf{v}
\forall \mathbf{v} \in \mathbf{V}, \quad \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}
Definizione

Assioma 8: Esistenza dell'elemento neutro del prodotto per uno scalare

Esiste uno scalare 1 \in \mathbb{F} tale che per ogni vettore \mathbf{v} \in \mathbf{V} vale la seguente uguaglianza:

1 \mathbf{v} = \mathbf{v}
\forall \mathbf{v} \in \mathbf{V}

Osservazioni

Abbiamo detto in precedenza che l'insieme \mathbb{F} può essere un campo qualsiasi. In realtà, potremmo generalizzare ulteriormente la definizione di spazio vettoriale e considerare \mathbb{F} come un corpo. Un corpo è, in sostanza, un campo dove, tuttavia, la proprietà commutativa della moltiplicazione non è soddisfatta.

In un corpo, infatti, abbiamo che, presi due elementi a, b \in \mathbb{F} in generale si ha:

a \cdot b \neq b \cdot a

Molti autori nei propri testi, infatti, preferiscono definire uno spazio vettoriale su un corpo piuttosto che su un campo.

Del resto, se osserviamo la definizione e gli assiomi di uno spazio vettoriale, vediamo che non c'è necessità che il prodotto tra due scalari debba essere commutativo. L'importante è che la somma di due scalari sia commutativa.

Nota

Spazio Vettoriale su un Campo

Molti testi ed autori definiscono uno Spazio Vettoriale su un corpo piuttosto che su un campo. Ossia, impongono che l'insieme \mathbb{F} sia un corpo e non un campo.

La differenza sostanziale tra un campo e un corpo è che nel secondo la proprietà commutativa della moltiplicazione non è necessariamente soddisfatta.

In questo corso, tuttavia, useremo la definizione di spazio vettoriale su un campo.

Un'altra importante osservazione riguarda il fatto che la moltiplicazione in uno spazio vettoriale dipende dal campo \mathbb{F}. Per cui, quando vorremo essere più precisi parleremo di spazio vettoriale su un campo \mathbb{F}. In generale, però, la scelta di \mathbb{F} è chiara dal contesto oppure è irrilevante. Per cui, ci limiteremo a parlare semplicemente di spazio vettoriale.

Nota

Notazione e Riferimento al Campo

In questo corso, quando si parla di spazi vettoriali, si sottintende sempre il riferimento al campo \mathbb{F} a cui appartengono gli scalari. Per cui, se non diversamente specificato, quando parliamo di spazio vettoriale intendiamo sempre uno spazio vettoriale su un campo \mathbb{F}.

Inoltre, nella stragrande maggioranza dei casi, gli spazi vettoriali che incontreremo saranno definiti su campi di numeri reali o complessi. Per cui, quando parliamo di spazi vettoriali, intendiamo spazi vettoriali su \mathbb{R} o \mathbb{C}.

Esempi di Spazi Vettoriali

Abbiamo definito gli spazi vettoriali e gli assiomi che essi devono soddisfare. Adesso, proviamo ad uscire dall'ambito puramente teorico e vediamo alcuni esempi concreti di spazi vettoriali.

Spazio Vettoriale Banale

Il più semplice spazio vettoriale che è possibile costruire è quello banale. Questo spazio è costituito da un insieme \mathbf{V} contenente un solo elemento, il vettore nullo \mathbf{0}:

\mathbf{V} = \{ \mathbf{0} \}

Il vettore unico deve essere necessariamente il vettore nullo in quanto, in caso contrario, violeremmo l'assioma dell'esistenza dell'elemento neutro della somma.

Risulta facile verificare che questo spazio vettoriale soddisfa tutti gli assiomi che abbiamo definito.

Cosa, invece, diversa per il caso in cui l'insieme \mathbf{V} sia vuoto. In questo caso, non possiamo parlare di spazio vettoriale in quanto non esiste nemmeno il vettore nullo e quindi l'assioma dell'esistenza dell'elemento neutro della somma sarebbe violato.

\mathbf{V} = \varnothing \quad \text{non è uno spazio vettoriale} è

Spazio dei vettori colonna di due di Numeri Reali

Uno dei più semplici, ma potenti, esempi di spazi vettoriali è lo spazio dei vettori colonna di due numeri reali: \mathbb{R}^2. Ossia lo spazio così definito:

\mathbb{R}^2 = \left\{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \mid x, y \in \mathbb{R} \right\}

considerato sul campo dei numeri reali \mathbb{R}.

I vettori che compongono questo spazio sono colonne composte da due numeri reali x e y:

\mathbf{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]

Questi numeri reali prendono il nome di componenti del vettore.

Alcuni esempi di vettori appartenenti a \mathbb{R}^2 sono:

\mathbf{v}_1 = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] \quad \mathbf{v}_2 = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right]

Per i vettori di questo spazio possiamo definire la somma in questo modo:

\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{array} \right]

Ossia, il vettore somma risultante avrà come componenti la somma delle componenti dei due vettori.

Ad esempio, se abbiamo due vettori:

\mathbf{v}_1 = \left[ \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right] \quad \mathbf{v}_2 = \left[ \begin{array}{c} 7 \\ 8 \end{array} \right]

La loro somma sarà:

\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 = \left[ \begin{array}{c} 5 + 7 \\ 6 + 8 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 12 \\ 14 \end{array} \right]

Inoltre, possiamo definire il prodotto di uno scalare \alpha \in \mathbb{R} per un vettore in questo modo:

\alpha \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \alpha x \\ \alpha y \end{array} \right]

Ossia, moltiplichiamo ogni componente del vettore per lo scalare \alpha.

Ad esempio, se abbiamo il vettore:

\mathbf{v} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right]

Il prodotto per lo scalare \alpha = 2 sarà:

2 \mathbf{v} = 2 \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right]

Si può facilmente dimostrare che lo spazio delle coppie di numeri reali è uno spazio vettoriale in quanto tutti gli assiomi che abbiamo definito sono soddisfatti.

A titolo di esempio, possiamo vedere che in questo spazio è possibile definire il vettore nullo:

\mathbf{0} = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]

E l'opposto di un vettore:

-\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -x \\ -y \end{array} \right]

Spazio vettori colonna di n numeri reali

Possiamo generalizzare l'esempio di sopra al caso di n numeri reali. In questo caso, lo spazio vettoriale sarà:

\mathbb{R}^n = \left\{ \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] \mid x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{R} \right\}

Anche in questo caso possiamo definire la somma tra vettori e il prodotto di uno scalare per un vettore in modo analogo a quanto fatto per lo spazio delle coppie di numeri reali.

Ad esempio, consideriamo lo spazio \mathbb{R}^4 e i vettori:

\mathbf{v}_1 = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right] \quad \mathbf{v}_2 = \left[ \begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{array} \right]

La loro somma sarà:

\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 = \left[ \begin{array}{c} 1 + 5 \\ 2 + 6 \\ 3 + 7 \\ 4 + 8 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 6 \\ 8 \\ 10 \\ 12 \end{array} \right]

E il prodotto per lo scalare \alpha = 2 sarà:

2 \mathbf{v}_1 = 2 \cdot \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \\ 8 \end{array} \right]

Anche per lo spazio \mathbb{R}^n possiamo dimostrare che si tratta di uno spazio vettoriale in quanto tutti gli assiomi che abbiamo definito sono soddisfatti.

Spazio vettoriale delle matrici

Un altro esempio di spazio vettoriale è lo spazio delle matrici. In particolare, possiamo considerare lo spazio delle matrici di dimensione m \times n a coefficienti nel campo \mathbb{F}.

Questo spazio si indica con \mathbb{M}_{\mathbb{F}}(m, n).

I vettori di questo spazio sono le matrici del tipo:

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}

dove a_{ij} \in \mathbb{F}.

A titolo di esempio consideriamo lo spazio \mathbb{M}_{\mathbb{R}}(2, 2) sul campo dei numeri reali. Questo spazio è composto dalle matrici quadrate 2 \times 2 a coefficienti reali.

Le operazioni di somma e prodotto per uno scalare sono definite in modo analogo a quanto fatto per gli spazi vettoriali precedenti. Infatti, per la somma di due matrici il risultato sarà una matrice ottenuta sommando le componenti corrispondenti delle due matrici. Per il prodotto per uno scalare, invece, moltiplichiamo ogni componente della matrice per lo scalare.

Ad esempio, consideriamo le matrici:

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}

La loro somma sarà:

\mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 + 5 & 2 + 6 \\ 3 + 7 & 4 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}

E il prodotto della matrice \mathbf{A} per lo scalare \alpha = 2 sarà:

2 \mathbf{A} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}

Anche in questo caso è semplice verificare che lo spazio delle matrici è uno spazio vettoriale in quanto tutti gli assiomi che abbiamo definito sono soddisfatti.

Spazio dei Polinomi

Un esempio significativo di spazio vettoriale è lo spazio dei polinomi.

Consideriamo i polinomi a coefficienti reali in una sola variabile x. Questi polinomi possono essere scritti nella forma:

p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n

Dove a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R} sono i coefficienti del polinomio ed n rappresenta il grado del polinomio.

Questi polinomi possono essere visti come funzioni che associano ad un valore x un valore p(x). Essi costituiscono un insieme che viene solitamente indicato con \mathbb{R}[x].

Possiamo definire la somma di due polinomi p(x), q(x) \in \mathbb{R}[x] in questo modo:

p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n
q(x) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \ldots + b_n x^n
p(x) + q(x) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x^2 + \ldots + (a_n + b_n) x^n

Ossia, la somma di due polinomi è un polinomio che ha come termini la somma dei termini di pari grado dei due polinomi.

Analogamente, possiamo definire il prodotto di un polinomio per uno scalare \alpha \in \mathbb{R} in questo modo:

\alpha p(x) = \alpha a_0 + \alpha a_1 x + \alpha a_2 x^2 + \ldots + \alpha a_n x^n

Ossia, il prodotto di un polinomio per uno scalare è un polinomio che ha come termini il prodotto di ogni termine del polinomio per lo scalare \alpha.

Se poi definiamo come polinomio nullo il polinomio costante 0:

\mathbf{0}(x) = 0

e definiamo l'opposto di un polinomio p(x) come il polinomio -p(x) tale che:

-p(x) = -a_0 - a_1 x - a_2 x^2 - \ldots - a_n x^n

abbiamo definito, a tutti gli effetti, uno spazio vettoriale in cui i vettori sono i polinomi.

Possiamo estendere facilmente questa definizione ai polinomi a coefficienti complessi, ossia considerando i polinomi a coefficienti in \mathbb{C}: \mathbb{C}[x].

Definizione

Spazio dei Polinomi

Lo spazio dei polinomi \mathbb{F}[x] è l'insieme dei polinomi a coefficienti nel campo \mathbb{F} e in una sola variabile x.

Se \mathbb{F} = \mathbb{R} si parla di spazio dei polinomi reali, se \mathbb{F} = \mathbb{C} si parla di spazio dei polinomi complessi.

Per approfondire le operazioni che possiamo definire sui polinomi, rimandiamo alla sezione dedicata ai polinomi che si trova nel corso di Matematica di Base 1.

Spazio delle Funzioni

Uno spazio vettoriale di notevole importanza è lo spazio delle funzioni definite su un insieme S e a valori nel campo \mathbb{F}.

In pratica, consideriamo l'insieme delle funzioni f così definite:

f: S \to \mathbb{F}

Dove S rappresenta il dominio delle funzioni considerate.

L'insieme di queste funzioni viene indicato con \mathbb{F}^S.

Possiamo definire la somma di due funzioni f, g \in \mathbb{F}^S in questo modo:

\forall x \in S \quad (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Ossia, la somma di due funzioni è una funzione che, per ogni x \in S, restituisce la somma dei valori delle due funzioni in x.

Analogamente, possiamo definire il prodotto per uno scalare \alpha \in \mathbb{F} in questo modo:

\forall x \in S \quad (\alpha f)(x) = \alpha f(x)

Ossia, il prodotto di una funzione per uno scalare è una funzione che, per ogni x \in S, restituisce il prodotto del valore della funzione in x per lo scalare \alpha.

Ad esempio, consideriamo l'insieme delle funzioni reali definite sull'intervallo [0, 1] e a valori reali. Questo insieme è indicato con \mathbb{R}^{[0, 1]} e contiene tutte le funzioni f: [0, 1] \to \mathbb{R}.

Possiamo verificare facilmente che, se S \neq \varnothing, ossia se l'insieme S su cui sono definite le funzioni è non vuoto, allora lo spazio delle funzioni è uno spazio vettoriale in quanto tutti gli assiomi che abbiamo definito sono soddisfatti.

Le funzioni in questione sono, quindi, i vettori di questo spazio vettoriale. Possiamo identificare anche il vettore nullo di questo spazio, ossia la funzione che per ogni x \in S restituisce 0:

\mathbf{0}(x) = 0 \quad \forall x \in S

E l'opposto di una funzione f \in \mathbb{F}^S è la funzione -f tale che:

(-f)(x) = -f(x) \quad \forall x \in S

Questo esempio di spazio vettoriale è molto importante in quanto ci dimostra come i vettori di uno spazio vettoriale non siano necessariamente delle frecce nello spazio euclideo, ma possano essere oggetti molto più astratti come le funzioni.

Definizione

Spazio delle Funzioni

Lo spazio delle funzioni \mathbb{F}^S è l'insieme delle funzioni definite su un insieme S e a valori nel campo \mathbb{F}:

\mathbb{F}^S = \{ f: S \to \mathbb{F} \}

Per due funzioni f, g \in \mathbb{F}^S e uno scalare \alpha \in \mathbb{F}, la somma e il prodotto per uno scalare sono definiti come:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) \quad \forall x \in S
(\alpha f)(x) = \alpha f(x) \quad \forall x \in S

Esiste una connessione tra lo spazio delle funzioni e gli spazi vettoriali di vettori colonna visti prima. Infatti possiamo considerare \mathbb{F}^n come un caso particolare dello spazio delle funzioni \mathbb{F}^S.

Ad esempio, consideriamo il caso \mathbb{F} = \mathbb{R} e lo spazio \mathbb{R}^2. Possiamo considerare \mathbb{R}^2 come lo spazio delle funzioni definite sull'insieme S = \{1, 2\} e a valori reali.

Infatti, invece di scrivere un elemento di \mathbb{R}^2 come una coppia di numeri reali:

\mathbf{v} = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]

Possiamo considerare \mathbf{v} come una funzione v: \{1, 2\} \to \mathbb{R} tale che:

v(1) = x_1 \quad v(2) = x_2

Nelle prossime lezioni approfondiremo meglio le proprietà degli spazi delle funzioni.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo introdotto il concetto e la definizione di spazio vettoriale. Sebbene si tratti di una lezione molto teorica ed astratta, è fondamentale per comprendere i concetti che verranno trattati nelle prossime lezioni.

In particolare, si tratta del fondamento su cui si basa l'intera algebra lineare.

Abbiamo visto che per avere uno spazio vettoriale dobbiamo avere un insieme di oggetti, chiamati genericamente vettori che possono essere combinati tra loro tramite due operazioni per ottenere altri vettori. Inoltre, abbiamo visto che queste operazioni devono soddisfare 8 proprietà o assiomi.

Nella prossima lezione ricaveremo alcune proprietà algebriche fondamentali che valgono per tutti gli spazi vettoriali.

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