Somma Algebrica tra Polinomi

In questa lezione vedremo le prime due operazioni che è possibile effettuare sui polinomi:

• L'addizione tra polinomi
• La sottrazione tra polinomi

Da un punto di vista algebrico, le due operazioni sono sostanzialmente identiche, in quanto, la sottrazione tra due polinomi consiste nella somma tra il primo e il polinomio opposto del secondo. Per questo motivo, si parla, genericamente, di somma algebrica tra polinomi.

Vedremo degli esempi di somma algebrica tra polinomi ed estenderemo il tutto al caso di somma algebrica di più di due polinomi.

Addizione tra due polinomi

Effettuare l'addizione tra due polinomi è abbastanza semplice. Il risultato, infatti, consiste in quel polinomio composto da tutti i termini che compongono i polinomi addendi.

Proviamo ad esaminare un esempio. Supponiamo di voler sommare tra di loro i seguenti polinomi e :

L'operazione di somma si indica in questo modo:

Il risultato, ossia il polinomio somma, è composto da tutti i termini sia di che di , per cui:

Come si può vedere, non necessariamente il polinomio somma è ridotto in forma normale. In tal caso, possiamo sommare tutti i monomi simili tra di loro:

Sottrazione tra due polinomi

La sottrazione tra due polinomi può essere ricondotta sostanzialmente ad un'addizione. Infatti, se vogliamo calcolare la differenza tra due polinomi, in particolare calcolare la differenza tra il polinomio e il polinomio , è sufficiente riscrivere l'operazione di sottrazione in questo modo:

Abbiamo cambiato il segno di e ricondotto l'operazione di sottrazione ad un'addizione. Nella pratica, tuttavia, cambiare il segno di un polinomio consiste nel sostituirlo con il suo polinomio opposto.

Polinomio Opposto

Ad esempio, dato il polinomio:

il suo polinomio opposto si ottiene invertendo i segni di tutti i termini. Il risultato sarà pertanto:

Esempio di sottrazione tra due polinomi

Avendo definito il concetto di polinomio opposto, possiamo adesso esaminare un esempio di sottrazione tra due polinomi. Supponiamo di voler determinare la differenza tra i due polinomi e seguenti:

Il polinomio differenza sarà:

Ma, come abbiamo visto, possiamo trasformare quest'operazione nella somma tra e l'opposto del polinomio :

Da cui otteniamo il risultato:

Il risultato contiene monomi simili che possono essere sommati tra loro per ridurre il polinomio in forma normale:

Somma algebrica di più polinomi

Abbiamo visto che l'operazione di sottrazione tra due polinomi può essere ricondotta all'operazione di addizione. Per questo motivo, in generale, si parla di Addizione algebrica di polinomi, senza effettuare distinzione tra le due operazioni.

In quanto tale, l'operazione di Addizione algebrica può essere estesa, sfruttando la proprietà associativa dell'addizione, al caso di più di due polinomi. Per comprendere meglio, è sufficiente esaminare un esempio.

Supponiamo di avere i seguenti polinomi:

Vogliamo determinare la seguente somma algebrica dei tre polinomi di sopra:

Per farlo, è sufficiente sostituire i polinomi nell'espressione:

Nel caso dell'ultimo polinomio, ossia il polinomio , lo sostituiamo con il suo polinomio opposto:

Da questo punto in poi, possiamo procedere normalmente sommando tra di loro i monomi simili:

Riassumendo

In questa lezione abbiamo visto che le operazioni di addizione e sottrazione tra due polinomi consistono, essenzialmente, nella stessa operazione di addizione algebrica tra polinomi.

Nel primo caso, l'addizione, la somma tra polinomi consiste in quel polinomio composto da tutti i monomi che compongono i polinomi di partenza.

Nel secondo caso della sottrazione tra polinomi, invece, si tratta di sommare il primo polinomio con l'opposto del secondo.

Ottenere il polinomio opposto di uno dato è molto semplice: si tratta di invertire i segni di tutti i monomi che lo compongono.

Infine, abbiamo esteso l'operazione di addizione algebrica tra polinomi anche al caso di addizione tra più di due polinomi.