Prodotto tra Monomi e Polinomi

Il prodotto tra un monomio ed un polinomio è un'operazione tra polinomi che sfrutta la proprietà distributiva della moltiplicazione.

Il risultato, infatti, è un polinomio composto dalla somma ordinata dei prodotti del monomio per i termini del polinomio di partenza.

In questa lezione vedremo, attraverso alcuni esempi, come poter calcolare il polinomio risultante dalla moltiplicazione tra monomi e polinomi. Inoltre vedremo come il grado del polinomio risultante sia legato ai gradi del monomio e del polinomio di partenza.

Prodotto tra un monomio e un polinomio

L'operazione di moltiplicazione tra un monomio ed un polinomio è alla base dell'operazione di moltiplicazione tra polinomi.

Per effettuare questa operazione bisogna applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione. Infatti, provando a risolvere la seguente espressione:

A \cdot \left( B + C + D \right)

osserviamo che il risultato sarà:

= \quad A \cdot B + A \cdot C + A \cdot D

In altre parole, il risultato è composto dalla somma ordinata dei prodotti di $A$ per i singoli addendi $B$ , $C$ e $D$ .

Riportando questo procedimento al caso di una moltiplicazione tra un monomio ed un polinomio, il risultato sarà composto dalla somma ordinata dei prodotti del monomio per i singoli termini del polinomio.

Proviamo a vedere un esempio:

3xy \cdot \left( 4y^2 + 5xz - 7x \right)

Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione possiamo calcolare il risultato riscrivendo l'espressione di sopra come somma dei prodotti del monomio $3xy$ per i singoli termini del polinomio, prestando particolare attenzione ai segni:

= \quad 3xy \cdot 4y^2 + 3xy \cdot 5xz + 3xy \cdot (-7x)

A questo punto si tratta di applicare più volte l'operazione di moltiplicazione tra monomi, in questo modo:

= \quad (3 \cdot 4) xy^{1+2} + (3 \cdot 5) x^{1+1}yz + (3 \cdot -7) x^{1+1}y

= \quad 12xy^3 + 15x^2yz - 21x^2y

Il polinomio risultante è, in questo caso, già in forma normale.

Ricapitolando:

Definizione

Prodotto di un monomio per un polinomio

Il Prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio composto dalla somma ordinata dei termini risultanti dai prodotti del monomio per i singoli termini del polinomio dato.

Grado del polinomio risultante

Si può facilmente osservare che il risultato di una moltiplicazione tra un monomio ed un polinomio avrà come grado complessivo la somma dei gradi complessivi del monomio e del polinomio dati.

Ritornando all'esempio di prima, infatti, si può vedere che il monomio $3xy$ ha grado complessivo pari a 2. Per quanto riguarda il polinomio dato:

4y^2 + 5xz - 7x

I suoi termini hanno i gradi riportati in tabella:

**Tabella 1:** Termini e loro gradi del polinomio dato dell'esempio
Termine	Grado complessivo
$4y^2$	$2$
$5xz$	$2$
$-7x$	$1$

Dunque il grado del polinomio è pari a 2, ossia il grado massimo dei suoi termini.

Se prendiamo il risultato della moltiplicazione:

12xy^3 + 15x^2yz - 21x^2y

Osserviamo, come prima cosa, che questo polinomio è già in forma normale ed è composto dai seguenti termini:

**Tabella 2:** Termini e loro gradi del polinomio risultante
Termine	Grado complessivo
$12xy^3$	$4$
$15x^2yz$	$4$
$-21x^2y$	$3$

Possiamo osservare che il grado massimo dei termini del polinomio risultante è 4, che rappresenta anche il grado del polinomio ed è pari alla somma dei gradi del monomio e del polinomio di partenza: $2 + 2$ .

Definizione

Grado del prodotto di un monomio per un polinomio

Il polinomio risultante dalla moltiplicazione di un monomio ed un polinomio ha grado complessivo pari alla somma dei gradi complessivi del monomio e del polinomio dati.

Questo risultato è facilmente dimostrabile. Basta partire dalla proprietà del prodotto tra potenze. Infatti, moltiplicando tra di loro potenze con la stessa base, otteniamo come risultato una potenza con base uguale e con esponente la somma degli esponenti:

a^x \cdot a^y \quad = \quad a^{x+y}

Applicando questa proprietà al caso del prodotto tra monomi, è facile vedere come il grado del monomio risultante sia pari alla somma dei gradi. Prendiamo un esempio:

3xy \cdot 4y^2

I due monomi hanno entrambe grado 2. Nel moltiplicarli, dobbiamo sommare gli esponenti della variabile $y$ :

= \quad 12xy^{1+2} \quad = \quad 12xy^3

Per cui il risultato avrà grado 4.

Nel caso di un prodotto tra un monomio ed un polinomio, basta applicare iterativamente questo ragionamento ai singoli prodotti tra il monomio e i termini del polinomio.

Ulteriori esempi

Vediamo qualche altro esempio.

Esempio 1

Proviamo a calcolare il risultato della seguente moltiplicazione:

\left( 5x^2 + 2xy -3y^2 \right) \cdot \left( - 3x^2y^2 \right)

Prima di effettuare i calcoli, vediamo quali sono i gradi complessivi del monomio e del polinomio. Il monomio $-3x^2y^2$ ha grado 4. Il polinomio invece è già in forma normale ed è composto dai seguenti termini:

**Tabella 3:** Termini e loro gradi del polinomio di partenza
Termine	Grado complessivo
$5x^2$	$2$
$2xy$	$2$
$-3y^2$	$2$

Dunque, il polinomio ha grado complessivo pari a 2. Da ciò ne consegue che il polinomio risultante avrà grado pari a $6 = 2 + 4$ .

Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione e prestando attenzione ai segni, possiamo riscrivere la moltiplicazione come:

= \quad ( - 3x^2y^2) \cdot (5x^2) + ( - 3x^2y^2) \cdot (2xy) + ( - 3x^2y^2) \cdot (-3y^2)

Successivamente, andiamo a calcolare i singoli prodotti tra monomi per ottenere il risultato finale:

= \quad (-3 \cdot 5) x^{2+2}y^2 + (-3 \cdot 2) (x^{2+1}y^{2+1}) + (-3 \cdot -3) (x^2y^{2+2})

= \quad -15x^4y^2 -6x^3y^3 +9x^2y^4

Il risultato è già in forma normale ed è composto dai seguenti termini:

**Tabella 4:** Termini e loro gradi del polinomio risultante
Termine	Grado complessivo
$-15x^4y^2$	$6$
$-6x^3y^3$	$6$
$+9x^2y^4$	$6$

Per cui il risultato ha grado complessivo pari a 6, come abbiamo anticipato sopra.

Esempio 2

Proviamo a calcolare il risultato della seguente moltiplicazione:

\left( \frac{3}{8}ab \right) \cdot \left( 16ab^2 -3a^2b^2 \right)

Come nell'esempio precedente, vediamo quali sono i gradi complessivi del monomio e del polinomio. Il monomio $\frac{3}{8}ab$ ha grado 2. Il polinomio, invece, risulta già in forma normale ed è composto dai seguenti termini:

**Tabella 5:** Termini e loro gradi del polinomio di partenza
Termine	Grado complessivo
$16ab^2$	$3$
$-3a^2b^2$	$4$

Dunque, il polinomio ha grado complessivo pari a 4. Da ciò ne consegue che il polinomio risultante avrà grado pari a $6 = 2 + 4$ .

Passiamo, adesso, ad applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione:

= \quad \left( \frac{3}{8}ab \right) \cdot (16ab^2) + \left( \frac{3}{8}ab \right) \cdot (-3a^2b^2)

Successivamente, andiamo a calcolare i singoli prodotti tra monomi per ottenere il risultato finale:

= \quad \left( \frac{3}{\cancel{8}} \cdot \cancelto{2}{16} \right) a^{1+1}b^{1+2} + \left( \frac{3}{8} \cdot -3 \right) a^{1+2}b^{1+2}

= \quad 6a^2b^3 -\frac{9}{8}a^3b^3

Il risultato, anch'esso già in forma normale è composto dai seguenti termini:

**Tabella 6:** Termini e loro gradi del polinomio risultante
Termine	Grado complessivo
$6a^2b^3$	$5$
$-\frac{9}{8}a^3b^3$	$6$

Per cui il risultato ha grado complessivo pari a 6.

Riassumendo

Abbiamo visto in questa lezione come sia possibile moltiplicare tra di loro un monomio ed un polinomio.

Il risultato sarà sempre un polinomio che ha come termini i prodotti del monomio dato per i termini del polinomio dato. Il grado complessivo del risultato sarà pari alla somma dei gradi complessivi del monomio e del polinomio di partenza.

L'operazione di moltiplicazione tra un monomio ed un polinomio è alla base dell'operazione di moltiplicazione tra polinomi che vedremo nella prossima lezione.

Lezione Precedente Indice del capitolo Lezione Successiva