Prodotto tra Polinomi

La moltiplicazione tra polinomi è un'operazione il cui risultato consiste nella somma ordinata di tutti i prodotti tra i termini del primo polinomio ed i termini del secondo polinomio.

Nel calcolare il prodotto tra polinomi bisogna sfruttare la proprietà distributiva della moltiplicazione. Alla base dell'operazione c'è il calcolo di prodotto tra un monomio ed un polinomio visto nella lezione precedente.

In questa lezione vedremo i passaggi per calcolare il prodotto tra due polinomi, studieremo il grado del risultato mettendolo in relazione con i gradi dei polinomi fattori.

Inoltre, vedremo come è possibile interpretare geometricamente il prodotto tra polinomi ed estenderemo l'operazione anche al caso del prodotto tra più di due polinomi.

Prodotto di due polinomi

L'operazione di moltiplicazione tra polinomi può essere risolta applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione. La differenza rispetto al caso del prodotto tra un monomio ed un polinomio sta nel fatto che tale proprietà va applicata più volte.

Per chiarire meglio guardiamo l'espressione che segue:

(A + B) \cdot (C + D)

Applicando una prima volta la proprietà distributiva, possiamo distribuire il fattore $(C+D)$ per i termini $A$ e $B$ in questo modo:

= \quad A \cdot (C + D) + B \cdot (C + D)

A questo punto applichiamo di nuovo la proprietà distributiva, distribuendo sia $A$ che $B$ per i termini della somma $(C+D)$ , ottenendo il risultato finale:

= \quad A \cdot C + A \cdot D + B \cdot C + B \cdot D

In sostanza, il risultato è composto dalla somma ordinata dei prodotti di $A$ per i termini $C$ e $D$ e dei prodotti di $B$ per i termini $C$ e $D$ .

Dunque, moltiplicare tra loro due polinomi consiste nel ricavare un polinomio composto dalla somma ordinata dei prodotti di ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio:

Definizione

Prodotto di due polinomi

Il Prodotto di due polinomi è un polinomio composto dalla somma ordinata dei termini risultanti dai prodotti di ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio.

Proviamo a chiarire il tutto con un esempio. Supponiamo di voler moltiplicare tra loro i seguenti polinomi:

(2x - 3y) \cdot (5x + 4y)

Applichiamo, dapprima, la proprietà distributiva della moltiplicazione, distribuendo il secondo fattore per i termini del primo polinomio, in questo modo:

= \quad 2x \cdot (5x + 4y) - 3y \cdot (5x + 4y)

Successivamente, applichiamo singolarmente la proprietà distributiva della moltiplicazione ai due termini ottenuti:

= \quad 2x \cdot 5x + 2x \cdot 4y -3y \cdot 5x -3y \cdot 4y

= \quad 10x^2 + 8xy -15xy -12y^2

Il risultato ottenuto è un polinomio non in forma normale, per cui sommiamo tra loro i monomi simili:

= \quad 10x^2 + \underline{8xy} - \underline{15xy} -12y^2

= \quad 10x^2 -7xy -12y^2

Grado del polinomio risultante

Analogamente al caso di un prodotto tra un monomio ed un polinomio, anche in questo caso si può dimostrare facilmente che il grado del prodotto tra due polinomi è pari alla somma dei loro gradi.

Tornando all'esempio di prima, vediamo che il primo polinomio è composto dai seguenti termini:

2x - 3y

**Tabella 1:** Termini e loro gradi del primo polinomio fattore
Termine	Grado complessivo
$2x$	$1$
$-3x$	$1$

Per cui il grado complessivo del primo polinomio fattore è 1.

Il secondo polinomio fattore è composto dai seguenti termini:

5x + 4y

**Tabella 2:** Termini e loro gradi del secondo polinomio fattore
Termine	Grado complessivo
$5x$	$1$
$4y$	$1$

Il grado del secondo polinomio fattore è pari a 1.

Prendendo il risultato della loro moltiplicazione in forma normale abbiamo che è composto dai seguenti termini:

10x^2 -7xy -12y^2

**Tabella 3:** Termini e loro gradi del polinomio prodotto
Termine	Grado complessivo
$10x^2$	$2$
$-7xy$	$2$
$-12y^2$	$2$

In tal caso il grado massimo è pari a 2 ed è pari proprio alla somma dei gradi dei due polinomi fattori.

Definizione

Grado del prodotto di due polinomi

Il polinomio risultante dalla moltiplicazione di due polinomi ha grado complessivo pari alla somma dei gradi complessivi dei due polinomi dati.

Questo risultato è facilmente dimostrabile adoperando la proprietà del prodotto delle potenze. Per cui, moltiplicando potenze con stessa base tra di loro otteniamo come risultato una potenza con stessa base ma con esponente la somma degli esponenti:

a^x \cdot a^y \quad = \quad a^{x+y}

Da ciò è facile vedere come il grado del prodotto tra due monomi sia pari alla somma dei gradi dei monomi fattori. Ad esempio:

3xy^2 \cdot 5x^2y \quad = \quad 15x^3y^3

In questo esempio, i due monomi fattori hanno grado pari a 3, mentre il risultato ha grado pari a 6.

Dato che il prodotto di due polinomi si traduce nel calcolare iterativamente il prodotto tra monomi, e dato che il grado dei due polinomi è dato dal grado massimo dei monomi che li compongono, risulta semplice comprendere come il polinomio prodotto risultante debba avere come grado la somma dei gradi dei polinomi fattori.

Interpretazione geometrica

Al prodotto tra prolinomi può essere data un'interessante interpretazione geometrica.

Supponiamo, infatti, di voler calcolare l'area di un rettangolo che ha come base $X$ e per altezza $Y$ . Supponiamo, inoltre, che sia la base che l'altezza siano date dalla somma di due segmenti, rispettivamente:

\begin{array}{c} X= a + b \\ Y= c + d \end{array}

La base è data dalla somma dei segmenti $a$ e $b$ , mentre l'altezza dalla somma dei segmenti $c$ e $d$ , come mostrato nella figura seguente:

**Figura 1:** Rettangolo con base ed altezza composte rispettivemente da due segmenti

Per calcolare l'area del rettangolo dobbiamo moltiplicare base per altezza, quindi:

A = X \cdot Y = (a + b) \cdot (c + d)

Dunque l'area del rettangolo equivale al prodotto di due polinomi. Se andiamo a sviluppare il prodotto dei due polinomi otteniamo il risultato:

A = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d

In altre parole, l'area del rettangolo è data dalla somma di 4 termini. Osservando la figura sottostante possiamo vedere che i 4 termini corrispondono alle aree dei sotto-rettangoli la cui unione rappresenta il rettangolo principale, come mostrato nella figura che segue:

**Figura 2:** Interpretazione geometrica del prodotto tra polinomi

Ulteriori esempi

Vediamo qualche altro esempio.

Esempio 1

Proviamo a calcolare il seguente prodotto di due polinomi:

(a^2 + 4b^2) \cdot (a^2 - 2b^2)

Per prima cosa distribuiamo il secondo polinomio fattore per i due termini del primo polinomio:

= \quad a^2 \cdot (a^2 - 2b^2) + 4b^2 \cdot (a^2 - 2b^2)

Riapplicando la proprietà distributiva della moltiplicazione, distribuiamo i due fattori $a^2$ e $b^2$ per i termini del secondo polinomio:

= \quad a^2 \cdot a^2 + a^2 \cdot (-2b^2) + 4b^2 \cdot a^2 + 4b^2 \cdot (-2b^2)

Successivamente, calcoliamo singolarmente i prodotti tra monomi che compongono la somma:

= \quad a^4 -2a^2b^2 +4a^2b^2 -8b^4

Infine, riportiamo il polinomio in forma normale sommando tra loro i monomi simili:

= \quad a^4 - \underline{2a^2b^2} + \underline{4a^2b^2} -8b^4

= \quad a^4 +2a^2b^2 - 8b^4

Il risultato finale ha grado 4, infatti è composto dai seguenti termini:

**Tabella 4:** Termini e loro gradi del polinomio prodotto
Termine	Grado complessivo
$a^4$	$4$
$+2a^2b^2$	$4$
$- 8b^4$	$4$

Ciò conferma la proprietà del grado di un polinomio prodotto in quanto il grado di entrambe i polinomi fattori è 2, per cui il grado del risultato è $4=2+2$ :

a^2 + 4b^2 \quad \rightarrow \quad \text{grado 2}

a^2 - 2b^2 \quad \rightarrow \quad \text{grado 2}

Esempio 2

Osserviamo il seguente prodotto di due polinomi:

(2a + b) \cdot (4a^2 + 2ab + b^2)

Anche in questo caso applichiamo una prima volta la proprietà distributiva della moltiplicazione distribuendo il secondo polinomio fattore per entrambe i termini del primo polinomio:

= \quad 2a \cdot (4a^2 + 2ab + b^2) + b \cdot (4a^2 + 2ab + b^2)

Successivamente, distribuiamo i fattori $2a$ e $b$ per i termini del secondo polinomio:

= \quad 2a \cdot 4a^2 + 2a \cdot 2ab + 2a \cdot b^2 + b \cdot 4a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2

Calcoliamo, poi, tutti i prodotti di monomi che compongono la somma:

= \quad 8a^3 + 4a^2b +2ab^2 + 4a^2b + 2ab^2 + b^3

Infine sommiamo tra di loro i monomi simili per riportare il polinomio risultante in forma normale:

= \quad 8a^3 + \underline{4a^2b} + \underline{\underline{2ab^2}} + \underline{4a^2b} + \underline{\underline{2ab^2}} + b^3

= \quad 8a^3 + 8a^2b + 4ab^2 + b^3

Il polinomio risultante è composto dai seguenti termini:

**Tabella 5:** Termini e loro gradi del polinomio prodotto
Termine	Grado complessivo
$8a^3$	$3$
$8a^2b$	$3$
$4ab^2$	$3$
$b^3$	$3$

Come si può osservare, il grado del prodotto finale è pari a 3 che è uguale alla somma dei gradi dei due polinomi fattori di partenza:

2a + b \quad \rightarrow \quad \text{grado 1}

a^2 + 2ab + b^2 \quad \rightarrow \quad \text{grado 2}

Estensione al caso di più di due polinomi

Possiamo estendere l'operazione di moltiplicazione tra polinomi anche al caso in cui abbiamo più di due polinomi. Il procedimento è abbastanza semplice, basta eseguire le moltiplicazioni in ordine.

Per chiarire meglio, guardiamo l'esempio che segue:

(5a^2 + b^3) \cdot (4a^2 + b^2) \cdot (a - 3b^2)

In questo caso abbiamo a che fare con tre polinomi. Per risolvere questa moltiplicazione etichettiamo i tre polinomi con $A$ , $B$ e $C$ :

\underbrace{(5a^2 + b^3)}_{A} \cdot \underbrace{(4a^2 + b^2)}_{B} \cdot \underbrace{(a - 3b^2)}_{C}

Per cui possiamo riscrivere la moltiplicazione come:

A \cdot B \cdot C

Possiamo, dunque, sfruttare la proprietà associativa della moltiplicazione per calcolare, dapprima, il prodotto di $A \cdot B$ e successivamente calcolare il prodotto del risultato per $C$ , in questo modo:

(A \cdot B) \cdot C

Calcoliamo dapprima $A \cdot B$ utilizzando il procedimento visto sopra:

(5a^2 + b^3) \cdot (4a^2 + b^2)

= \quad 5a^2 \cdot (4a^2 + b^2) + b^3 \cdot (4a^2 + b^2)

= \quad 20a^4 + 5a^2b^2 + 4a^2b^3 + b^5

Questo polinomio è già in forma normale in quanto non contiene monomi simili tra loro.

A questo punto, moltiplichiamo il risultato appena ottenuto per il polinomio $C$ :

(20a^4 + 5a^2b^2 + 4a^2b^3 + b^5) \cdot (a - 3b^2)

Utilizzando sempre il procedimento visto sopra per il caso del prodotto di due polinomi, otteniamo:

\begin{array}{ll} = \quad 20a^4 \cdot a + 20a^4 \cdot (-3b^2) + 5a^2b^2 \cdot a + 5a^2b^2 \cdot (-3b^2) + \\ \quad \quad +4a^2b^3 \cdot a + 4a^2b^3 \cdot (-3b^2) + b^5 \cdot a + b^5 \cdot (-3b^2) \end{array}

= \quad 20a^5 - 60a^4b^2 + 5a^3b^2 - 15 a^2b^4 + 4a^3b^3 -12a^2b^5 + ab^5 - 3b^7

Il polinomio finale è già in forma normale ed è composto dai seguenti termini:

**Tabella 6:** Termini e loro gradi del polinomio prodotto
Termine	Grado complessivo
$20a^5$	$5$
$- 60a^4b^2$	$6$
$5a^3b^2$	$5$
$- 15 a^2b^4$	$6$
$4a^3b^3$	$6$
$-12a^2b^5$	$7$
$ab^5$	$6$
$- 3b^7$	$7$

Risulta, quindi, che il grado del polinomio finale è pari a 7.

Osservando i polinomi fattori di partenza vediamo che:

A: \quad 5a^2 + b^3 \quad \rightarrow \quad \text{grado 3}

B: \quad 4a^2 + b^2 \quad \quad \rightarrow \quad \text{grado 2}

C: \quad a - 3b^2 \quad \quad \rightarrow \quad \text{grado 2}

Ciò conferma la proprietà del grado del polinomio prodotto anche per il caso di più di due polinomi. Infatti il grado del polinomio risultante finale è pari a $7=3+2+2$ , ossia alla somma dei gradi dei polinomi fattori.

Riassumendo

In questa lezione abbiamo visto come calcolare il prodotto di due polinomi. Si tratta di applicare più volte la proprietà distributiva della moltiplicazione. Per cui il risultato è pari alla somma di ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio.

Abbiamo visto anche che il grado del polinomio prodotto risultante è pari alla somma dei gradi dei polinomi fattori.

Infine, abbiamo esteso l'operazione di moltiplicazione tra polinomi anche al caso di più di due polinomi sfruttando la proprietà associativa della moltiplicazione.

Il procedimento visto in questa lezione si occupa di calcolare il caso generale di prodotto tra polinomi. Esistono casi particolari di prodotti tra polinomi che prendono il nome di Prodotti Notevoli tra polinomi. In tali casi non è necessario applicare il procedimento visto, in quanto è possibile ottenere il risultato in maniera quasi immediata.

Nella prossima lezione vedremo quali sono i Prodotti Notevoli tra polinomi.

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