Operazioni tra i monomi

Le operazioni con i monomi sono alla base del calcolo letterale.

In questa lezione vedremo le principali operazioni tra monomi che è possibile effettuare:

In particolare, ci interessa capire quando il risultato di un'operazione tra monomi dia come risultato sempre un monomio.

Addizione algebrica di monomi

La prima operazione con i monomi che studieremo è l'addizione di monomi.

Prima di vedere come sia possibile calcolare la somma tra monomi, partiamo da alcuni esempi. Consideriamo l'addizione seguente:

3xy^2 + 5xy^2

Proviamo per un attimo a dimenticare che si trattano di due monomi. Consideriamo il tutto semplicemente come l'addizione di due espressioni composte solo da moltiplicazioni. Possiamo notare che nei due addendi vi sono dei fattori comuni. In particolare, i fattori comuni sono x e y^2. Per questo motivo, possiamo raccogliere a fattore comune l'espressione xy^2:

3xy^2 + 5xy^2 \quad =
= \quad (3 + 5) \cdot xy^2 \quad =
= \quad 8 xy^2

Il risultato finale è un monomio.

Viceversa, Consideriamo l'esempio seguente:

5xy + 4x^2y^2

In questo caso, non possiamo semplificare l'addizione come abbiamo fatto prima. Non vi sono fattori comuni che ci permettono di semplificare in un monomio l'espressione. Ciò non vuol dire affatto che l'espressione non sia valida. La questione è che l'espressione non può essere ricondotta ad un monomio.

Se osserviamo bene, la differenza tra le due addizioni è che nel primo caso avevamo un'addizione tra monomi simili, ossia con la stessa parte letterale. Nel secondo caso, invece, i monomi non erano simili tra loro.

Da questi due esempi possiamo comprendere come la somma algebrica di due monomi è un monomio se e soltanto se i due addendi sono monomi simili. In altri termini, la somma algebrica di monomi può essere definita solo per monomi simili.

Definizione

Somma algebrica di monomi simili

La somma algebrica di due o più monomi simili è il monomio che ha:

  • la parte letterale uguale a quella degli addendi.
  • il coefficiente pari alla somma algebrica dei coefficienti degli addendi.

Vediamo un altro esempio:

3a^2 + 5a^2 - 7a^2 \quad =
= \quad (3 + 5 - 7)a^2 \quad =
= \quad a^2

Proviamo, invece, a sommare due monomi opposti:

5ab^2 - 5ab^2 \quad =
= \quad (5 - 5)ab^2 \quad =
= \quad 0 \cdot ab^2 \quad = \quad 0

Quindi la somma algebrica tra un monomio e il suo opposto è uguale a zero.

Allo stesso modo dei numeri relativi, la differenza di due monomi può essere vista come il risultato dell'addizione algebrica tra il primo monomio e il monomio opposto del secondo. Per cui:

Definizione

Differenza di monomi simili

La differenza di due monomi A e B simili è pari alla somma algebrica di A e l'opposto di B.

In particolare, la differenza di due monomi A e B simili è pari al monomio per cui:

  • la parte letterale è uguale a quella di A e B.
  • il coefficiente è pari alla somma del coefficiente di A e l'opposto del coefficiente di B.

Ad esempio:

3ab^2 - 4ab^2 \quad =
3ab^2 + (-4ab^2) \quad =
-ab^2

Così come per i numeri relativi, anche per i monomi le operazioni di addizione e sottrazione possono essere considerate come la stessa operazione da un punto di vista algebrico. Pertanto, in maniera sintetica, addizione e sottrazione di monomi sono indicate come addizione algebrica di monomi e il risultato come somma algebrica di monomi.

Moltiplicazione di monomi

Per studiare la moltiplicazione di monomi, partiamo da un esempio. Consideriamo la moltiplicazione tra due monomi che segue:

5ab^2 \cdot 6a^2b^3c \quad =

Per prima cosa applichiamo la proprietà commutativa della moltiplicazione per raggruppare i fattori numerici e le potenze letterali con base uguale:

5 \cdot 6 \cdot a \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b^3 \cdot c \quad =

Poi usiamo la proprietà associativa della moltiplicazione per moltiplicare tra loro i fattori numerici e le potenze letterali con base uguale:

(5 \cdot 6) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b^3) \cdot c \quad =

Infine, applichiamo la prima proprietà delle potenze:

30 \cdot a^{1+2} \cdot b^{2 + 3} \cdot c \quad =
30a^3b^5c

Il risultato finale, prodotto di due monomi, è a sua volta un monomio.

Osserviamo bene che nell'esempio, nonostante i due monomi non siano simili, il risultato è sempre un monomio. Motivo per cui, a differenza dell'addizione, il prodotto di due monomi è sempre un monomio. Possiamo, a questo punto, definire la moltiplicazione di monomi:

Definizione

Prodotto di monomi

Il prodotto di due o più monomi è sempre un monomio in cui:

  • il coefficiente è pari al prodotto dei coefficienti,
  • la parte letterale è composta dall'insieme delle lettere dei monomi e ogni lettera ha come esponente la somma degli esponenti con cui la lettera appare nei fattori.

Potenza di un monomio

La potenza di un monomio è un'operazione abbastanza semplice. Proviamo ad esaminare un esempio:

\left( 5x^3y^2 \right)^3 \quad =

Per ottenere il risultato è sufficiente sfruttare due proprietà delle potenze. La prima è la proprietà della potenza di un prodotto: \left( a \cdot b \right)^n = \left( a^n \cdot b^n \right). Per cui otteniamo:

5^3 \cdot \left(x^3\right)^3 \cdot \left( y^2 \right)^3 \quad =

Successivamente, dobbiamo applicare la proprietà delle potenze di potenze: \left(a^n \right)^m = a^{n \cdot m}. Per cui l'espressione diventa:

125 \cdot x^{3 \cdot 3} \cdot y^{2 \cdot 3} \quad =

Quindi il risultato finale è:

125x^9y^6

Come possiamo osservare, il risultato di una potenza di un monomio è a sua volta un monomio. Da ciò possiamo ricavare la regola generale:

Definizione

Potenza di un monomio

Calcolare la potenza di un monomio elevato ad n significa:

  • elevare a n il coefficiente ,
  • moltiplicare per n gli esponenti delle singole lettere.

Sfruttando sempre le proprietà delle potenze, possiamo calcolare anche il caso di un monomio elevato a 0. In tal caso un qualunque monomio elevato a 0 è uguale a 1. Tutto ciò vale finché il monomio sia diverso da 0, ossia dal monomio nullo. Ad esempio:

\left( 4x^2 \right)^0 \quad = \quad 4^0 \cdot x^{2 \cdot 0} \quad =
4^0 \cdot x^0 \quad = \quad 1 \cdot 1 \quad = \quad 1

Analogamente, un qualunque monomio elevato ad 1 è uguale al monomio stesso:

\left( 5xy^2 \right)^1 \quad = \quad 5xy^2

Divisione di monomi

L'operazione di divisione di monomi è più complessa rispetto alle altre in quanto non necessariamente il risultato, quoziente, è un monomio.

Per comprendere il tutto osserviamo due esempi. Prendiamo un primo esempio:

\frac{8a^3bc^4d}{2abc} \quad =

Per poter risolvere questa divisione possiamo sfruttare due proprietà:

  1. La proprietà invariantiva della divisione: \frac{x}{y} = \frac{x \cdot a}{y \cdot a}
  2. La proprietà commutativa della moltiplicazione.

In questo modo possiamo separare i coefficienti dalle parti letterali:

\frac{8}{2} \cdot \frac{a^3bc^4d}{abc} \quad =
\frac{8}{2} \cdot \frac{a^3}{a} \cdot \frac{b}{b} \cdot \frac{c^4}{c} \cdot \frac{d}{{\color{red}{d^0}}} \quad =

Da notare che nel monomio divisore, abbiamo aggiunto un nuovo fattore letterale: d^0. Questo fattore vale 1 per cui la sua aggiunta è legale. Inoltre, in questo modo abbiamo le stesse lettere sia al dividendo che al divisore e ciò ci semplifica i calcoli.

Adesso possiamo applicare la proprietà della divisione tra potenze: \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}. Per cui:

4 \cdot a^{3-1} \cdot b^{1-1} \cdot c^{4-1} \cdot d^{1-0} \quad =
4 \cdot a^2 \cdot b^0 \cdot c^3 \cdot d^1 \quad =
4a^2c^3d

Il risultato è un monomio valido.

Adesso, utilizzando lo stesso procedimento di sopra, proviamo a risolvere la divisione seguente:

\frac{9a^2b^2c^4}{3ab^3c^2} \quad =
\frac{9}{3} \cdot \frac{a^2}{a} \cdot \frac{b^2}{b^3} \cdot \frac{c^4}{c^2} \quad =
3 \cdot a^{2-1} \cdot b^{2-3} \cdot c^{4-2} \quad =
3 \cdot a \cdot {\color{red}{b^{-1}}} \cdot c^2

Il risultato che abbiamo ottenuto non è un monomio. Infatti, la lettera b ha un esponente negativo.

Quindi non sempre una divisione tra monomi dà come risultato un monomio. Notate bene che ciò non vuol dire che l'espressione risultante non ha significato, anzi, da un punto di vista matematico ha perfettamente senso.

Bisogna introdurre il concetto di divisibilità.

Divisibilità tra Monomi

Definizione

Divisibilità tra monomi

Un monomio, detto dividendo, è divisibile per un monomio, detto divisore, se e soltanto se:

  1. Nel dividendo appaiono tutte le lettere del divisore
  2. Gli esponenti delle lettere del dividendo sono maggiori o uguali ai rispettivi esponenti delle lettere del divisore.

Il monomio divisore non può essere il monomio nullo, ossia zero. Infatti, una scrittura del genere non ha significato:

{\color{red}{\frac{5ab^2}{0}}} \quad \mbox{non ha significato}

Possiamo, a questo punto, generalizzare il procedimento di divisione tra monomi:

Definizione

Divisione di monomi

Dati due monomi A e B diversi dal monomio nullo, e con A divisibile per B, si definisce il quoziente di A diviso B come il monomio per cui:

  1. il coefficiente è pari al quoziente del coefficiente di A diviso il coefficiente di B,
  2. Nella parte letterale ogni lettera ha l'esponente pari alla differenza tra l'esponente con cui appare nel monomio A e quello con cui appare nel monomio B.

Dalla definizione di divisibilità e di quoziente consegue che ogni monomio è divisibile per un numero qualunque. Ossia, è possibile dividere un monomio per un qualunque numero.

Il quoziente di un monomio diviso un numero, infatti, è semplicemente il monomio in cui la parte letterale è la stessa, mentre il coefficiente è pari al coefficiente del monomio diviso il numero in questione. Ad esempio:

\frac{8ab^2}{4} \quad = \quad \frac{8}{4}ab^2 \quad = \quad 2ab^2

In sintesi

In questa lezione abbiamo visto le varie operazioni che è possibile effettuare sui monomi:

  • Addizione algebrica di monomi
  • Moltiplicazione di monomi
  • Potenza di un monomio
  • Divisione di monomi

In particolare ci siamo concentrati sui casi in cui il risultato di tali operazioni sia esso stesso un monomio. Che per l'addizione si traduce nel caso in cui i monomi sono simili mentre per la divisione quando il dividendo è divisibile per il divisore.

Nella prossima lezione utilizzeremo le operazioni che abbiamo visto per calcolare il Minimo Comune Multiplo (MCM) e il Massimo Comune Divisore (MCD) tra monomi.

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