Monomi

I monomi sono le espressioni matematiche letterali più semplici che è possibile scrivere. A partire da essi è possibile costruire espressioni più complesse.

Di base, un monomio è composto dal prodotto di un coefficiente, ossia un numero, ed una serie di potenze di variabili letterali con esponente naturale, che prende il nome di parte letterale.

Questa lezione funge da punto di partenza per introdurre i concetti fondamentali sui monomi necessari per poter studiare, successivamente, le operazioni che è possibile effettuare su di essi. In particolare vedremo cos'è la forma normale di un monomio. Vedremo come confrontare due monomi tra di loro introducendo i concetti di monomi simili, monomi uguali e monomi opposti.

Definiremo, inoltre, un'altra importante proprietà dei monomi: il grado di un monomio.

Tutti questi concetti ci ritorneranno utili nelle prossime lezioni in cui vedremo come lavorare ed operare con i monomi.

Che cos'è un monomio

Un monomio è un'espressione matematica composta dal prodotto di fattori che possono essere sia numerici che letterali. Essi rappresentano le espressioni letterali più semplici che è possibile scrivere.

Definizione

Monomio

Un monomio è un'espressione letterale in cui compaiono esclusivamente moltiplicazioni tra numeri e potenze di variabili letterali con esponente appartenente all'insieme dei numeri naturali, compreso lo zero.

La conseguenza della definizione di sopra è che affinché un'espressione possa essere considerata un monomio, deve accadere che essa rispetti due requisiti:

L'espressione deve contenere esclusivamente moltiplicazioni.
I fattori letterali possono comparire esclusivamente come potenze con esponente naturale compreso lo zero.

Esempi di monomi

Vediamo qualche esempio di monomio:

5 \cdot xy^2z^3

In questo caso abbiamo la parte numerica, $5$ , moltiplicata per tre potenze di letterali con esponente naturale.

-bc^3

Anche in questo caso abbiamo un monomio in cui la parte numerica è pari a $-1$ .

\frac{1}{5}g^2h^4

Sebbene la frazione possa ingannare, anche in questo caso siamo di fronte ad un monomio. Infatti $\frac{1}{5}$ rappresenta un numero razionale. Allo stesso modo l'espressione seguente rappresenta un monomio:

\sqrt{5} ab^2

Infatti, $\sqrt{5}$ è sempre un numero, in particolare un numero irrazionale, moltiplicato per potenze di variabili con esponente naturale.

Altro esempio interessante è il seguente:

\left( \frac{1}{2} + 3 \right)xy

A prima vista può non sembrare un monomio in quanto compare un'addizione. Tuttavia, dato che l'addizione è tra due numeri, possiamo ricondurla ad un monomio in quanto può essere sostituita dal suo risultato:

{\color{red}{\left(\frac{1}{2} + 3 \right)}}xy = {\color{red}{\frac{7}{2}}}xy

Di seguito sono riportati altri esempi di espressioni che sono monomi:

\left( 7 + \frac{9}{4} \right)b

-de^5f^7

4ab6a^3

I Numeri sono monomi

Dalla definizione di monomio consegue che anche la seguente espressione è un monomio:

8

Infatti, l'espressione di sopra può essere riscritta come:

8 \cdot x^0

che vale sempre $8$ . Infatti, il fattore $x^0$ vale 1 in quanto qualunque numero (diverso da 0) elevato a zero dà come risultato sempre 1. Pertanto, l'espressione di sopra può essere semplificata come $8 \cdot x^0 = 8 \cdot 1 = 8$ . Analogamente, $8$ può essere riscritto anche come:

8 \cdot x^0 y^0

che, analogamente, vale sempre $8$ .

In poche parole, qualunque numero può essere visto come un monomio. Questo perché lo possiamo sempre riscrivere come prodotto del numero stesso per potenze di variabili letterali con esponente pari a zero.

Monomio nullo

Dato che qualunque numero può essere considerato come un monomio, ne consegue che anche lo zero è un monomio e, in particolare, lo zero prende il nome di monomio nullo.

Definizione

Monomio Nullo

Lo zero, $0$ , è un monomio in quanto è un numero e prende il nome di Monomio nullo.

Esempi di espressioni che non sono monomi

Vediamo, adesso, qualche esempio di espressioni che non sono monomi:

5\frac{a}{b}

In questo caso abbiamo che tra le variabili $a$ e $b$ non vi è una moltiplicazione, bensì una divisione. Per tal motivo, l'espressione viola la condizione 1 e non rappresenta un monomio.

5xz^{-2}

In questo caso, è presente una potenza di una variabile con esponente pari a $-2$ che non è un numero naturale. Motivo per cui la condizione 2 è violata e l'espressione non è un monomio.

Di seguito, vediamo altri esempi di espressioni che non sono monomi:

x + y^2

5 \cdot (b^2 - a^3)

\frac{ab^2c^3}{d^3e^2f}

Forma normale di un monomio

Lavorando con i monomi risulta utile, nella maggior parte dei casi, riportarli in forma normale:

Definizione

Forma normale di un monomio

Un monomio risulta essere ridotto in forma normale quando è scritto come prodotto di un solo numero e una o più potenze di variabili letterali con basi differenti.

Vediamo degli esempi di monomi in forma normale:

$3a^2b^4$ è in forma normale in quanto le potenze letterali che appaiono in esso hanno basi differenti: $a$ e $b$ . Inoltre, appare un solo fattore numerico.
$-\frac{1}{2}xyz^2$ è in forma normale.
$\sqrt{3}g^5f^2$ è in forma normale.

Adesso, invece, vediamo degli esempi di monomi non in forma normale:

${\color{red}{7}}a^2{\color{red}{4}}b^3$ non è in forma normale. Infatti appaiono due fattori numerici.
$-5{\color{red}{a}}b^2{\color{red}{a}}^2$ non è in forma normale. La variabile letterale $a$ appare due volte.

Ridurre un monomio in forma normale

Per ridurre in forma normale un monomio è sufficiente sfruttare le tre proprietà di seguito:

La proprietà commutativa della moltiplicazione
La proprietà associativa della moltiplicazione
La prima proprietà delle potenze: $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

Per comprendere meglio, vediamo un esempio. Prendiamo il seguente monomio:

5x^2y^34xy^2

Osserviamo che non è in forma normale in quanto appaiono due fattori numerici e più potenze letterali con la stessa base.

Per prima cosa sfruttiamo la proprietà commutativa della moltiplicazione, in altri termini cambiamo l'ordine dei fattori, raggruppando i fattori numerici e le potenze letterali con la stessa base tra di loro:

5x^2y^34xy^2 \quad =

= \quad 5 \cdot 4 \cdot x^2 \cdot x \cdot y^3 \cdot y^2 \quad =

Successivamente applichiamo la proprietà associativa della moltiplicazione, moltiplicando tra loro i fattori numerici e le potenze con stessa base:

= \quad (5 \cdot 4) (x^2 \cdot x) (y^3 \cdot y^2) \quad =

= \quad 20 \cdot (x^2 \cdot x) (y^3 \cdot y^2) \quad =

Infine, utilizziamo la prima proprietà delle potenze. Sostituiamo, cioè, al prodotto di potenze con la stessa base la potenza avente come esponente la somma degli esponenti:

= \quad 20 \cdot x ^ {2 + 1} y ^ {3 + 2} \quad =

= \quad 20 x^3 y^5

Coefficiente e parte letterale di un monomio

Quando un monomio è in forma normale, il suo coefficiente è la parte numerica:

Definizione

Coefficiente di un monomio

Per un monomio ridotto in forma normale si definisce coefficiente il suo fattore numerico comprensivo di segno.

Inoltre, quando si scrivono monomi, nel caso in cui il coefficiente è pari a $1$ o $-1$ si evita di scrivere la parte numerica e si lascia solo il segno. Ad esempio:

Invece di scrivere $1ab$ si scrive $ab$
Invece di scrivere $-1x^2y^4$ si scrive $-x^2y^4$

Viceversa, l'insieme delle potenze delle variabili letterali prende il nome di parte letterale:

Definizione

Parte letterale di un monomio

Per un monomio ridotto in forma normale si definisce parte letterale il prodotto delle sue potenze di variabili letterali.

Vediamo qualche esempio:

$5xy^2z^3$ : in questo caso $5$ è il coefficiente mentre $xy^2z^3$ è la parte letterale.
$-a^2b^6$ : in questo caso $-1$ è il coefficiente mentre $a^2b^6$ è la parte letterale.
$-\frac{1}{5}g^2h^4$ : in questo caso $-\frac{1}{5}$ è il coefficiente mentre $g^2h^4$ è la parte letterale.

Da questo momento in poi, quando parleremo di monomi intenderemo sempre monomi già in forma normale.

Monomi simili, uguali e opposti

Prima di poter studiare le operazioni che è possibile effettuare sui monomi è molto importante sapere come confrontare due o più monomi tra di loro.

Per questo motivo iniziamo con la definizione di monomi simili:

Definizione

Monomi simili

Dati due monomi qualunque in forma normale, essi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale. Viceversa, se hanno parte letterale diversa essi si dicono monomi non simili.

Come si può osservare dalla definizione, il fatto che due monomi siano simili è indipendente dal coefficiente. Vediamo qualche esempio:

$5x^2y^3$ e $-7x^2y^3$ sono due monomi simili in quanto la loro parte letterale è identica: $x^2y^3$
$\frac{2}{3}ab^5c^2$ e $-\frac{3}{7}ab^5c^2$ sono due monomi simili in quanto la loro parte letterale è identica: $ab^5c^2$
$6xy$ e $8xy^2$ non sono monomi simili: le loro parti letterali differiscono: $xy \neq xy^2$

Quando due monomi simili hanno anche il coefficiente uguale essi sono monomi uguali:

Definizione

Monomi uguali

Dati due monomi qualunque in forma normale, essi si dicono uguali se hanno la stessa parte letterale e uguale coefficiente.

Vediamo qualche esempio:

$5x^2y^3$ e $-7x^2y^3$ sono due monomi simili in quanto la loro parte letterale è identica ma non sono due monomi uguali in quanto hanno coefficiente diverso.
Viceversa $5x^2y^3$ e $5x^2y^3$ sono due monomi simili in quanto la loro parte letterale è identica e sono anche due monomi uguali in quanto hanno lo stesso coefficiente.

Analogamente possiamo definire i monomi opposti:

Definizione

Monomi opposti

Dati due monomi qualunque in forma normale, essi si dicono opposti se hanno la stessa parte letterale e coefficienti uguali in valore assoluto ma opposti in segno.

Ad esempio $3xy$ e $-3xy$ sono due monomi opposti in quanto sono monomi simili, ossia con la stessa parte letterale, e coefficienti uguali in valore assoluto ma opposti in segno: $|3| = |-3| = 3$

Grado di un monomio

Concludiamo questa lezione introduttiva sui monomi introducendo il concetto di grado di un monomio. In particolare esistono due concetti di grado ed entrambe si applicano solo al caso di monomi in forma normale:

Definizione

Grado di un monomio rispetto ad una lettera

Dato un monomio in forma normale, il suo grado rispetto ad una lettera è pari all'esponente con cui la lettera appare nel monomio.

Definizione

Grado (complessivo) di un monomio

Dato un monomio in forma normale, il suo grado, detto anche grado complessivo è pari alla somma di tutti i gradi rispetto alle lettere che lo compongono.

Per meglio chiarire il concetto, vediamo qualche esempio. Prendiamo il seguente monomio in forma normale:

5a^2b

Questo monomio ha grado 2 rispetto alla lettera $a$ mentre ha grado 1 rispetto alla lettera $b$ . Viceversa, il suo grado complessivo è 3, in quanto è pari alla somma dei gradi rispetto ad $a$ e $b$ .

Vediamo qualche altro esempio:

**Tabella 1:** Esempi di monomi e loro gradi
Monomio	Grado rispetto ad $x$	Grado rispetto ad $y$	Grado
$5x^2y^3$	2	3	5
$-xy^4$	1	4	5
$7x^2$	2	0	2
$-4y^4$	0	4	4
9	0	0	0

Degli esempi di sopra, alcuni sono particolarmente interessanti:

$7x^2$ ha grado 2 rispetto ad $x$ . Rispetto a $y$ , invece, ha grado 0. Questo perché, anche se $y$ non compare, il monomio può essere riscritto come $7x^2y^0$ .
$9$ in quanto numero è a tutti gli effetti un monomio. Il suo grado è, però, pari a 0 rispetto a qualunque lettera. Pertanto, il suo grado complessivo è zero.

Da questo ultimo esempio ne deduciamo che qualunque numero è un monomio di grado zero sia complessivo che rispetto a qualunque lettera.

Caso a parte è il numero 0 o monomio nullo:

Definizione

Grado del monomio nullo

Allo zero, $0$ , o monomio nullo non si attribuisce nessun grado

In sintesi

Questa lezione è stata utile per introdurre i concetti fondamentali sui monomi.

Abbiamo visto cosa è un monomio e qual è la forma normale di un monomio e come è possibile ridurre in forma normale un qualunque monomio sfruttando le proprietà delle moltiplicazioni e delle potenze. Da qui abbiamo dato la definizione di coefficiente di un monomio e parte letterale di un monomio.

A partire dalla forma normale, abbiamo visto come confrontare due monomi tra di loro introducendo i concetti di monomi simili, monomi uguali e monomi opposti.

Infine, in questa lezione abbiamo parlato del grado di un monomio. In particolare, sia del grado di un monomio rispetto ad una lettera sia del grado complessivo di un monomio.

Tutti questi concetti sono propedeutici per poter affrontare lo studio delle operazioni sui monomi che vedremo nelle prossima lezione.

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