Massimo Comune Divisore e Minimo Comune Multiplo tra Monomi

Il Massimo Comune Divisore di monomi è quel monomio di grado massimo che divide contemporaneamente tutti i monomi dati.

Analogamente, il Minimo Comune Multiplo di monomi è quel monomio di grado minimo che è divisibile contemporaneamente per tutti i monomi dati.

In questa lezione vediamo come ricavare il MCD tra monomi e il mcm tra monomi partendo dalla definizione di divisibilità tra monomi. Ragioneremo sul modo di calcolare MCD e mcm partendo dapprima dal caso di due monomi, così da ottenere la regola generale per calcolare MCD di più monomi e mcm di più monomi.

Massimo Comune Divisore tra Monomi

In generale, possiamo definire il Massimo Comune Divisore tra Monomi come un monomio qualsiasi di grado massimo che divide contemporaneamente tutti i monomi dati.

Sebbene semplice, questa definizione nasconde un problema. Per comprendere meglio, analizziamo un esempio. Proviamo a trovare il MCD tra i seguenti monomi:

7a^2b^2, \quad 5a^3bc

Nel ricercare il MCD tra questi due monomi bisogna tenere presente che essi dovranno essere necessariamente divisibili per il risultato. Pertanto bisogna ricordare la regola di divisibilità tra monomi.

Questa regola ci dà un primo indizio su come il monomio finale dovrà essere. Infatti, 7a^2b^2 dovrà essere divisibile per il risultato e, pertanto, nel risultato dovranno comparire le lettere di tale monomio. Analogamente, anche il monomio 5a^3bc dovrà essere divisibile per il risultato e anche le sue lettere dovranno comparirvi.

Ne consegue che il risultato dovrà contenere tutte le lettere comuni ai monomi dati.

Partendo dai due monomi, possiamo capire facilmente che nel risultato dovranno comparire le lettere a e b. La lettera c non può comparire in quanto non è comune ad entrambi.

Per quanto riguarda gli esponenti delle lettere, possiamo ragionare sempre partendo dalla definizione di divisibilità tra monomi. Infatti affinché un monomio sia divisibile per un secondo monomio, le lettere che compaiono nel secondo devono avere un esponente minore o uguale all'esponente con cui compaiono nel primo.

Ne consegue che ogni lettera del risultato dovrà avere l'esponente minimo con cui tale lettera appare nei monomi dati. Motivo per cui la lettera a dovrà avere come esponente il 2, mentre la lettera b dovà avere come esponente l'1. Il risultato potrebbe essere il seguente monomio:

a^2b

Possiamo, infatti, vedere facilmente che questo monomio divide contemporaneamente sia 7a^2b^2 che 5a^3bc.

Tuttavia, questo monomio non è l'unico massimo comune divisore. Avremmo potuto scegliere anche il monomio 2a^2b, infatti, se proviamo a dividere i due monomi di partenza per quest'ultimo otteniamo:

\frac{7a^2b^2}{2a^2b} \quad = \quad \frac{7}{2}b
\frac{5a^3bc}{2a^2b} \quad = \quad \frac{5}{2}ac

In parole povere, ciò che determina il Massimo Comune Divisore tra monomi è esclusivamente la parte letterale. Ne consegue che potremmo scegliere come coefficiente numerico un numero qualsiasi e, pertanto, che i MCD sono infiniti.

Tuttavia, piuttosto che scegliere un coefficiente qualsiasi, quando si vuol calcolare il MCD di due o più monomi si segue la seguente convenzione:

  • Se uno o più coefficienti dei monomi dati non sono numeri interi, il coefficiente del Massimo Comune Divisore viene posto a 1.
  • Se, invece, tutti i coefficienti dei monomi dati sono numeri interi, il coefficiente del Massimo Comune Divisore viene posto uguale al Massimo Comune Divisore dei valori assoluti dei coefficienti.

Seguendo questa convenzione, nell'esempio di sopra abbiamo i coefficienti 7 e 5. Essi sono numeri interi, tuttavia il loro MCD è 1. Per cui il risultato finale avrà come coefficiente 1:

a^2b

Definizione di Massimo Comune Divisore tra Monomi

Viste le considerazioni fatte sopra, diamo la definizione di Massimo Comune Divisore, o MCD, tra monomi:

Definizione

Massimo Comune Divisore tra Monomi

Il Massimo Comune Divisore tra due o più monomi è quel monomio che ha:

  • come parte letterale il prodotto di tutte le lettere comuni, prese una sola volta e con esponente il minimo esponente con cui appaiono nei monomi dati,
  • come coefficiente:
    • il numero 1 se uno o più monomi hanno un coefficiente non intero
    • il MCD tra i valori assoluti dei coefficienti se questi sono tutti interi.

Esempio di MCD tra Monomi

Proviamo ad esaminare un altro esempio. Prendiamo i seguenti monomi e calcoliamone il MCD:

-6a^4b^2c, \quad 12a^6c, \quad 3a^3b^3c^4d

Per prima cosa, calcoliamo il coefficiente del MCD. Come si può osservare, tutti i coefficienti sono numeri interi, pertanto il coefficiente finale sarà il MCD dei valori assoluti dei coefficienti:

\text{coefficiente} \quad = \quad MCD(\left|-6\right|, \left|12\right|, \left|3\right|) \quad =
MCD(6, 12, 3) \quad =
3

Quindi, il monomio risultante avrà come coefficiente il numero 3.

Successivamente, calcoliamo la parte letterale risultante. Per far questo, un modo semplice è quello di incolonnare tutte le lettere presenti nei monomi di partenza, in questo modo:

\begin{array}{l|llll} -6a^4b^2c \quad & a^4 & b^2 & c & / \\ 12a^6c \quad & a^6 & / & c & / \\ 3a^3b^3c^4d \quad & a^3 & b^3 & c^4 & d \\ \hline \end{array}

Successivamente, prendiamo esclusivamente le lettere che compaiono in tutte le righe:

\begin{array}{l|llll} -6a^4b^2c \quad & a^4 & b^2 & c & / \\ 12a^6c \quad & a^6 & / & c & / \\ 3a^3b^3c^4d \quad & a^3 & b^3 & c^4 & d \\ \hline & a & \color{red}{/} & c & \color{red}{/} \end{array}

Infine, imponiamo alle lettere l'esponente minore con cui appaiono nella loro colonna:

\begin{array}{l|llll} -6a^4b^2c \quad & a^4 & b^2 & {\color{red}{c^1}} & / \\ 12a^6c \quad & a^6 & / & {\color{red}{c^1}} & / \\ 3a^3b^3c^4d \quad & {\color{red}{a^3}} & b^3 & c^4 & d \\ \hline & a^{\color{red}{3}} & \color{red}{/} & c^{\color{red}{1}} & \color{red}{/} \end{array}

Per cui il risultato finale sarà:

3a^3c

Minimo Comune Multiplo tra Monomi

Possiamo definire il Minimo Comune Multiplo tra Monomi come un monomio qualsiasi che è divisibile contemporaneamente per tutti i monomi dati.

Anche in questo caso possiamo fare gli stessi ragionamenti che abbiamo fatto per il caso del MCD.

Partiamo da un esempio: vogliamo calcolare il mcm di questi due monomi:

7a^2b^2, \quad 5a^3bc

Ricordando sempre la regola di divisibilità tra monomi, dobbiamo avere che il risultato finale deve essere divisibile per entrambe i monomi dell'esempio. Da ciò possiamo ricavare due informazioni:

  1. Il risultato dovrà avere contemporaneamente tutte le lettere del primo monomio, 7a^2b^2, e del secondo monomio 5a^3bc. Per cui il risultato dovrà contenere le tre lettere a, b e c. In caso contrario, non potrebbe essere divisibile allo stesso tempo per entrambe i monomi.
  2. Affinché il risultato sia divisibile per entrambe i monomi, ogni lettera dovrà avere il massimo esponente con cui appare nei due monomi. Per cui, la lettera a dovrà avere come esponente il numero 3, la lettera b avrà come esponente il numero 2 mentre la lettera c avrà come esponente 1.

La parte letterale del risultato finale sarà quindi:

a^3b^2c

Rimane da trovare il coefficiente numerico. Anche in questo caso, come per il MCD, possiamo scegliere un qualunque coefficiente numerico. Ossia gli mcm di due o più monomi dati sono infiniti. Per questo motivo si segue la stessa convenzione per il caso del MCD. Il coefficiente numerico del mcm di due o più monomi è:

  • Pari a 1 se uno o più monomi hanno un coefficiente non intero,
  • Pari al mcm dei valori assoluti dei coefficienti numerici se tutti i coefficienti dei monomi dati sono interi.

Nell'esempio di sopra i coefficienti numerici sono 7 e 5, quindi entrambe numeri interi. Dobbiamo, quindi, usare come coefficiente il minimo comune multiplo dei loro valori assoluti che vale 1. Dunque, il risultato finale è:

a^3b^2c

Definizione di Minimo Comune Multiplo tra monomi

Fatte le considerazioni di sopra, definiamo il Minimo Comune Multiplo, o mcm, tra monomi:

Definizione

Minimo Comune Multiplo tra Monomi

Il Minimo Comune Multiplo tra due o più monomi è quel monomio che ha:

  • come parte letterale il prodotto di tutte le lettere presenti in almeno un monomio, prese una sola volta e con esponente il massimo esponente con cui appaiono nei monomi dati,
  • come coefficiente:
    • il numero 1 se uno o più monomi hanno un coefficiente non intero
    • il mcm tra i valori assoluti dei coefficienti se questi sono tutti interi.

Esempio di mcm tra monomi

Proviamo ad esaminare l'esempio di prima. Stavolta, però, calcoliamo il mcm dei monomi dati:

-6a^4b^2c, \quad 12a^6c, \quad 3a^3b^3c^4d

Per prima cosa, calcoliamo il coefficiente del mcm. Come si può osservare, tutti i coefficienti sono numeri interi, pertanto il coefficiente finale sarà il mcm dei valori assoluti dei coefficienti:

\text{coefficiente} \quad = \quad mcm(\left|-6\right|, \left|12\right|, \left|3\right|) \quad =
mcm(6, 12, 3) \quad =
12

Quindi, il monomio risultante avrà come coefficiente il numero 12.

Successivamente, calcoliamo la parte letterale risultante. Per far questo, utilizziamo la stessa tecnica usata per il MCD, ossia quella di incolonnare tutte le lettere presenti nei monomi di partenza, in questo modo:

\begin{array}{l|llll} -6a^4b^2c \quad & a^4 & b^2 & c & / \\ 12a^6c \quad & a^6 & / & c & / \\ 3a^3b^3c^4d \quad & a^3 & b^3 & c^4 & d \\ \hline \end{array}

Successivamente, prendiamo tutte le lettere, prese una volta per colonna:

\begin{array}{l|llll} -6a^4b^2c \quad & a^4 & b^2 & c & / \\ 12a^6c \quad & a^6 & / & c & / \\ 3a^3b^3c^4d \quad & a^3 & b^3 & c^4 & d \\ \hline & a & b & c & d \end{array}

Infine, imponiamo alle lettere l'esponente maggiore con cui appaiono nella loro colonna:

\begin{array}{l|llll} -6a^4b^2c \quad & a^4 & b^2 & c & / \\ 12a^6c \quad & a^{\color{red}{6}} & / & c & / \\ 3a^3b^3c^4d \quad & a^3 & b^{\color{red}{3}} & c^{\color{red}{4}} & d^{\color{red}{1}} \\ \hline & a^{\color{red}{6}} & b^{\color{red}{3}} & c^{\color{red}{4}} & d^{\color{red}{1}} \end{array}

Per cui il risultato finale sarà:

12a^6b^3c^4d

In sintesi

Lo scopo di questa lezione è quello di ricavare la regola generale per calcolare il MCD tra monomi e mcm tra monomi.

Abbiamo visto che, in pratica, ciò che determina il MCD e il mcm è la parte letterale dei monomi:

  • Nel caso di MCD tra monomi si prendono solo le lettere comuni, una sola volta e con esponente minimo,
  • Nel caso di mcm tra monomi si prendono tutte le lettere che compaiono in almeno un monomio, prese una sola volta e con esponente massimo.

Per quanto riguarda il coefficiente numerico, invece, si segue la convenzione seguente:

  • Si sceglie 1 come coefficiente nel caso in cui almeno uno dei coefficienti dei monomi dati non sia un numero intero.
  • Si prende, rispettivamente, il MCD o il mcm dei valori assoluti dei coefficienti nel caso in cui tutti i coefficienti siano tutti numeri interi.

Con questa lezione si conclude il capitolo sui monomi. Nel prossimo capitolo inizieremo lo studio dei Polinomi.

Lezione Precedente Indice del capitolo