Polinomi

Un polinomio rappresenta la somma algebrica di monomi. I monomi che compongono un polinomio prendono il nome di termini del polinomio.

I polinomi sono tra gli oggetti più importanti in matematica e sono alla base dell'analisi matematica, dell'algebra e della geometria analitica.

Questa lezione rappresenta un punto di partenza sui polinomi e serve per introdurre i concetti fondamentali che risulteranno utili nelle prossime lezioni.

In particolare, in questa lezione vedremo cos'è un polinomio, come ridurre un polinomio in forma normale e come ricavare il grado di un polinomio.

Daremo, inoltre, le definizioni di binomio, trinomio e quadrinomio e vedremo quando due polinomi sono uguali.

I Polinomi

Nella lezione sulle operazioni tra monomi abbiamo visto che non sempre la somma tra due monomi dà come risultato un altro monomio. Consideriamo ad esempio la somma seguente:

5a^2 + 7a^2 - 2a^2 \quad =

In tal caso, nella somma, tutti i monomi sono simili. Per tal motivo possiamo sommare tutti i monomi tra di loro ottenendo un monomio singolo come risultato:

= \quad 10a^2

Viceversa, proviamo a considerare l'espressione che segue:

4a^2 - 2b^3 + 6a^2 - 4b^3 \quad =

In tal caso i monomi non sono simili. Per tal motivo il risultato non sarà un monomio:

= \quad 10a^2 - 6b^3

Si parla, in questi casi, di Polinomi:

Definizione

Polinomio

Un polinomio è definito come una qualunque somma algebrica di monomi. I monomi che compongono la somma algebrica prendono il nome di termini del polinomio.

Partendo dalla definizione proviamo a vedere se le espressioni seguenti rappresentano polinomi oppure no.

Ad esempio le espressioni seguenti sono polinomi:

3x^2 - 4xy + 2z^3

6ab - 8x^2 + 7ab^2

Viceversa, le seguenti espressioni non sono polinomi:

\frac{3x^2 - y}{y^2}

\frac{5a}{b} + 2

Le due espressioni di sopra non sono polinomi in quanto tra i monomi appaiono operazioni diverse dalla somma algebrica.

A partire dalla definizione possiamo anche inferire che ogni monomio è anche un polinomio. Questo perché possiamo riscrivere un monomio come la somma tra se stesso e il monomio nullo. Ad esempio:

5xy^2 \quad = \quad 5xy^2 + 0

Inoltre, ogni numero è un polinomio, in quanto ogni numero è anche un monomio. Lo zero, $0$ , in particolare prende il nome di polinomio nullo oltre che monomio nullo.

Forma normale di un polinomio

Un polinomio può essere composto da termini simili, ossia da monomi simili. Ad esempio, il seguente polinomio contiene monomi simili tra di loro:

\underline{5ab^2} -2 + \overline{7a^2} - \underline{2ab^2} + \overline{3a^2} + 4

In tal caso si possono sommare tra loro i monomi simili:

3ab^2 + 10a^2 +2

Quello che otteniamo prende il nome di polinomio in forma normale.

Definizione

Polinomio ridotto in forma normale

Si dice che un polinomio è ridotto in forma normale quando i termini che lo compongono sono tutti monomi diversi tra di loro. In altri termini, il polinomio non contiene monomi simili tra di loro.

Vediamo un altro esempio. Il seguente polinomio non è ridotto in forma normale:

8ab - 3a^2 + 4a - b + 6a^2 - 9ab + ab

Per ridurlo in forma normale, identifichiamo dapprima tutti i monomi simili:

\color{red}{8ab} \color{blue}{-3a^2} \color{darkgreen}{+4a} \color{magenta}{-b} \color{blue}{+6a^2} \color{red}{-9ab} \color{red}{+ab}

Una volta individuati i monomi simili, li sommiamo tra di loro:

\cancel{\color{red}{8ab}} \color{blue}{-3a^2} \color{darkgreen}{+4a} \color{magenta}{-b} \color{blue}{+6a^2} \color{black}{\cancel{\color{red}{-9ab}}} \color{black}{\cancel{\color{red}{+ab}}} \quad =

= \quad \color{blue}{3a^2} \color{darkgreen}{+4a} \color{magenta}{-6a}

Binomi, Trinomi e Quadrinomi

Ad alcuni polinomi ridotti in forma normale viene assegnato un nome particolare:

**Tabella 1:** Nomi di polinomi particolari
Numero di termini	Nome
$2$	Binomio
$3$	Trinomio
$4$	Quadrinomio

Di seguito qualche esempio:

Binomi:

$\begin{array}{c} 3a + 5ab^2 \\ 7x + 1 \\ -6y^2 + 2x^3y \\ \end{array}$
Trinomi:

$\begin{array}{c} 5a + 2b - c \\ 2x - 4y + 3 \\ 7a^2 - 2ab + ab^2 \\ \end{array}$
Quadrinomi:

$\begin{array}{c} 8x - 9y + 2w + 4z \\ 7ab - 4b + 9a^2 - 7 \\ a + b + c^2 - 3d \\ \end{array}$

Uguaglianza tra polinomi

A partire dalla forma normale di un polinomio possiamo anche definire quando due polinomi sono uguali:

Definizione

Uguaglianza tra polinomi

Due polinomi ridotti in forma normale e non nulli sono uguali tra di loro quando tutti i monomi che li compongono sono uguali indipendentemente dall'ordine.

Ad esempio, i due polinomi seguenti sono uguali tra di loro:

{\color{red}{5x^2y}} {\color{darkgreen}{- 3xy^2}} {\color{blue}{+7xy}} {\color{magenta}{-9}}

{\color{magenta}{-9}} {\color{blue}{+7xy}} {\color{red}{+5x^2y}} {\color{darkgreen}{- 3xy^2}}

Questo perché i termini di cui sono composti sono uguali anche se appaiono in ordine differente.

Grado di un polinomio

Partendo dalla forma normale di un polinomio è possibile definire il grado di un polinomio:

Definizione

Grado di un polinomio ridotto in forma normale

Il grado di un polinomio ridotto in forma normale è il grado massimo tra i gradi dei suoi termini.

Quindi dalla definizione risulta che per ricavare il grado di un polinomio dobbiamo prima ricavare i gradi dei suoi termini, ossia i gradi dei suoi monomi.

Chiariamo il concetto con un esempio, esaminando il seguente polinomio ridotto in forma normale:

- 2xy + 4y + 5x^3y + 4y^3 -1

Il polinomio è composto da 5 termini:

**Tabella 2:** Termini e loro gradi del polinomio dell'esempio
Termine	Grado complessivo
$-2xy$	$2$
$4y$	$1$
$5x^3y$	$4$
$4y^3$	$3$
$-1$	$0$

Come possiamo osservare, il terzo termine, $5x^3y$ ha il grado maggiore, $4$ , per cui il polinomio è di quarto grado o di grado $4$ .

Così come per i monomi, anche per i polinomi è possibile definire il grado rispetto ad una lettera:

Definizione

Grado di un polinomio ridotto in forma normale rispetto ad una lettera

Il grado rispetto ad una lettera di un polinomio ridotto in forma normale è il grado massimo rispetto ad una lettera tra i gradi dei suoi termini rispetto alla lettera.

Tornando all'esempio di prima, possiamo ricavare i gradi rispetto alle lettere dei singoli termini:

**Tabella 3:** Termini e loro gradi rispetto ad x e y del polinomio dell'esempio
Termine	Grado rispetto ad $x$	Grado rispetto ad $y$
$-2xy$	$1$	$1$
$4y$	$0$	$1$
$5x^3y$	$3$	$1$
$4y^3$	$0$	$3$
$-1$	$0$	$0$

Nell'esempio, il termine di grado massimo rispetto alla $x$ è il terzo: $5x^3y$ , di grado 3 rispetto ad $x$ . Viceversa, il termine di di grado massimo rispetto alla $y$ è il quarto: $4y^3$ , di grado 3 rispetto ad $y$ .

Per questo motivo il polinomio è di grado 3 rispetto ad $x$ , ed è anche di grado 3 rispetto ad $y$ .

Termine noto di un polinomio

Alcuni polinomi ridotti in forma normale possono contenere al proprio interno un monomio di grado 0, ossia un numero. Tale termine prende il nome di termine noto:

Definizione

Termine noto di un polinomio

Il Termine noto di un polinomio ridotto in forma normale è rappresentato dal termine di grado zero.

Ad esempio, nell'esempio che segue, $7$ è il termine noto:

5a^3b - 2b^2 + 4a^2 \color{red}{+7}

Polinomio omogeneo

A partire dal grado di un polinomio possiamo definire i polinomi omogenei:

Definizione

Polinomio omogeneo

Un polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado complessivo.

Ad esempio, osserviamo il polinomio seguente:

4a^2 + 2ab - 5b^2

Si tratta di un polinomio omogeneo in quanto tutti i monomi che lo compongono sono di grado 2.

Polinomio ordinato

Definizione

Polinomio ordinato rispetto ad una lettera

Un polinomio di si dice ordinato rispetto ad una lettera se i suoi termini sono disposti in maniera tale che le potenze della lettera siano ordinate in maniera crescente o decrescente.

Ad esempio, il seguente polinomio è ordinato rispetto alla $x$ in maniera crescente:

3 + 2x^2 - 4x^3y + 8x^5y^3

Viceversa, il seguente polinomio è ordinato rispetto alla $y$ in maniera decrescente:

9y^5x^3 + 4y^3 -2xy + 1

Polinomio completo

Definizione

Polinomio completo

Un polinomio di grado $n$ rispetto ad una lettera si dice completo rispetto a quella lettera se in esso compaiono tutte le potenze di tale lettera, dalla potenza con esponente pari ad $n$ fino alla potenza con esponente $0$ .

Ad esempio, il seguente polinomio è completo rispetto alla $x$ :

3x^3 - 2x^2y + 5xy^2 - 7

Questo polinomio è di grado 3 rispetto alla x e presenta, inoltre, tutte le potenze di $x$ , a partire da $x^3$ fino a $x^0$ . Infatti il termine noto, 7, può essere riscritto come: $7x^0$ .

In sintesi

Questa lezione rappresenta la base per lo studio dei polinomi.

Qui abbiamo introdotto il concetto di polinomio che rappresenta la somma algebrica di monomi.

Successivamente, abbiamo visto cosa sia la forma normale e come ridurre un polinomio in forma normale. Partendo dalla forma normale abbiamo definito i binomi, trinomi e quadrinomi.

La forma normale è necessaria per definire l'uguaglianza tra due polinomi e il grado di un polinomio.

Tutti questi concetti risulteranno fondamentali nelle prossime lezioni in cui studieremo le operazioni che è possibile effettuare sui polinomi.

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