Proprietà Algebriche degli Spazi Vettoriali

Nella lezione precedente abbiamo definito formalmente cosa siano gli spazi vettoriali e gli 8 assiomi che devono soddisfare per essere tali.

In questa lezione dimostreremo due proprietà algebriche che discendono direttamente dalla definizione e dagli assiomi: la legge di annullamento della somma e la legge di annullamento del prodotto per uno scalare. Inoltre ne dedurremo alcune conseguenze importanti, come l'univocità del vettore opposto e la definizione della differenza tra vettori.

Legge di Annullamento della somma

La prima proprietà di uno spazio vettoriale che discende direttamente dalla definizione e dagli assiomi è la seguente:

Definizione

Legge di Annullamento della somma

Sia $\mathbf{V}$ uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{F}$ .

Dati tre vettori $\mathbf{v}, \mathbf{u_1}, \mathbf{u_2} \in \mathbf{V}$ tali che:

\mathbf{v} + \mathbf{u_1} = \mathbf{v} + \mathbf{u_2}

allora:

\mathbf{u_1} = \mathbf{u_2}

Questa proprietà può essere vista come una generalizzazione della Regola di Cancellazione che viene applicata per risolvere le normali equazioni algebriche. In questo modo possiamo applicare la regola di cancellazione anche ai vettori di uno spazio vettoriale per risolvere equazioni definite su di essi.

Proviamo, ora, a dimostrare la legge di annullamento della somma.

Dimostrazione

Dimostrazione della Legge di Annullamento della somma

Per dimostrare questa proprietà prendiamo l'uguaglianza di partenza:

\mathbf{v} + \mathbf{u_1} = \mathbf{v} + \mathbf{u_2}

e sommiamo ad ambo i membri il vettore opposto di $\mathbf{v}$ :

-\mathbf{v} + \left( \mathbf{v} + \mathbf{u_1} \right) = -\mathbf{v} + \left( \mathbf{v} + \mathbf{u_2} \right)

Concentriamoci, dapprima, sul primo membro dell'uguaglianza. Per la proprietà associativa della somma possiamo scrivere:

\left( -\mathbf{v} + \mathbf{v} \right) + \mathbf{u_1} = \mathbf{0} + \mathbf{u_1} = \mathbf{u_1}

Analogamente, per il secondo membro dell'uguaglianza possiamo scrivere:

\left( -\mathbf{v} + \mathbf{v} \right) + \mathbf{u_2} = \mathbf{0} + \mathbf{u_2} = \mathbf{u_2}

Quindi, possiamo scrivere:

\mathbf{u_1} = \mathbf{u_2}

e l'uguaglianza è dimostrata.

Univocità del vettore opposto

Dalla legge di sopra possiamo ricavare un importante corollario:

Definizione

Univocità del vettore opposto

Sia $\mathbf{V}$ uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{F}$ .

Per ogni vettore $\mathbf{v} \in \mathbf{V}$ esiste un unico vettore $-\mathbf{v} \in \mathbf{V}$ tale che:

\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}

Questo corollario ci dice che il vettore opposto di un vettore è unico e non può essere confuso con altri vettori dello spazio vettoriale.

Proviamo a dimostrare il corollario:

Dimostrazione

Dimostrazione dell'Univocità del vettore opposto

Supponiamo per assurdo che esistano due vettori $\mathbf{u'}, \mathbf{u''} \in \mathbf{V}$ tali che:

\mathbf{v} + \mathbf{u'} = \mathbf{0} \quad \text{e} \quad \mathbf{v} + \mathbf{u''} = \mathbf{0}

In altri termini, sia $\mathbf{u'}$ che $\mathbf{u''}$ sono vettori opposti di $\mathbf{v}$ .

Se così fosse potremmo scrivere:

\mathbf{v} + \mathbf{u'} = \mathbf{v} + \mathbf{u''} = \mathbf{0}

Ma, per la legge di annullamento della somma, possiamo scrivere:

\mathbf{u'} = \mathbf{u''}

quindi i due vettori devono coincidere, per cui l'opposto di un vettore è unico.

Definizione di differenza tra vettori

A partire dal risultato di sopra, possiamo definire in maniera formale la differenza tra due vettori, in questo modo:

Definizione

Differenza tra vettori

Sia $\mathbf{V}$ uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{F}$ .

La differenza tra due vettori $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbf{V}$ è definita come:

\mathbf{u} - \mathbf{v} = \mathbf{u} + (-\mathbf{v})

In altre parole, la differenza tra due vettori è il vettore somma del primo vettore con l'opposto del secondo vettore.

Definendo la differenza in questo modo, possiamo, da adesso in poi, evitare di usare le parentesi per indicare la somma di un vettore con l'opposto di un altro vettore.

Legge di Annullamento del Prodotto per uno scalare

Un'altra importante proprietà di cui godono gli spazi vettoriali è la seguente:

Definizione

Legge di Annullamento del Prodotto per uno scalare

Sia $\mathbf{V}$ uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{F}$ .

Dato un vettore $\mathbf{v} \in \mathbf{V}$ e uno scalare $\alpha \in \mathbb{F}$ , vale che il vettore:

\alpha \mathbf{v} = \mathbf{0} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = 0 \quad \lor \quad \mathbf{v} = \mathbf{0}

Ossia, il vettore $\alpha \mathbf{v}$ è nullo se e soltanto se lo scalare $\alpha$ è nullo oppure il vettore $\mathbf{v}$ è nullo.

Proviamo a dimostrare questa proprietà.

Dimostrazione

Dimostrazione della Legge di Annullamento del Prodotto per uno scalare

Per prima cosa, dimostriamo che se $\alpha = 0$ allora $\alpha \mathbf{v} = \mathbf{0}$ per qualunque vettore $\mathbf{v} \in \mathbf{V}$ .

Prendiamo la somma che segue:

$\mathbf{v} + 0 \mathbf{v}$

Questa somma può essere riscritta come:

$= 1 \mathbf{v} + 0 \mathbf{v}$

$= (1 + 0) \mathbf{v}$

$= 1 \mathbf{v}$

$= \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{0}$

Quindi possiamo scrivere:

$\mathbf{v} + 0 \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{0}$

Ma per la legge di annullamento della somma possiamo eliminare $\mathbf{v}$ da entrambi i membri dell'uguaglianza:

$0 \mathbf{v} = \mathbf{0}$

Quindi, se $\alpha = 0$ allora $\alpha \mathbf{v} = \mathbf{0}$ .
Adesso, dobbiamo dimostrare che se $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ allora $\alpha \mathbf{v} = \mathbf{0}$ per qualunque scalare $\alpha \in \mathbb{F}$ .

Per ogni scalare $\alpha \in \mathbb{F}$ possiamo scrivere:

$\alpha \mathbf{0} = \alpha (\mathbf{0} + \mathbf{0})$

$\alpha \mathbf{0} = \alpha \mathbf{0} + \alpha \mathbf{0}$

Sommando ad ambo i membri il vettore opposto di $\alpha \mathbf{0}$ otteniamo:

$\alpha \mathbf{0} -\alpha \mathbf{0} = \alpha \mathbf{0} + \alpha \mathbf{0} -\alpha \mathbf{0}$

$\mathbf{0} = \alpha \mathbf{0}$

Quindi, se $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ allora $\alpha \mathbf{v} = \mathbf{0}$ .

Ora, ci rimangono da dimostrare i casi inversi, ovvero che se $\alpha \mathbf{v} = \mathbf{0}$ ne consegue che $\alpha = 0$ oppure $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ .

Partiamo dal caso in cui $\alpha \neq 0$ . Partendo dall'assunto che $\alpha \mathbf{v} = \mathbf{0}$ , possiamo scrivere il vettore $\mathbf{0}$ come:

$\mathbf{0} = \alpha^{-1} \mathbf{0}$

Questo perché, come abbiamo visto, il prodotto di uno scalare per il vettore nullo è sempre il vettore nullo.

Ma abbiamo posto che $\mathbf{0} = \alpha \mathbf{v}$ , quindi possiamo scrivere:

$\mathbf{0} = \alpha^{-1} \left( \alpha \mathbf{v} \right)$

$\mathbf{0} = \left( \alpha^{-1} \alpha \right) \mathbf{v}$

Ma dato che $\alpha \neq 0$ e $\alpha \in \mathbb{F}$ , ossia $\alpha$ è un elemento invertibile del campo, sappiamo che $\alpha^{-1} \alpha = 1$ . Quindi possiamo scrivere:

$\mathbf{0} = 1 \mathbf{v} = \mathbf{v}$

Quindi, se $\alpha \neq 0$ e $\alpha \mathbf{v} = \mathbf{0}$ allora $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ .
Infine, se $\alpha \mathbf{v} = \mathbf{0}$ e $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ ma $\alpha = 0$ possiamo considerare la somma tra $\mathbf{v}$ e $-\mathbf{v}$ :

$\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$

Possiamo riscrivere il primo membro come:

$\mathbf{v} + (-1) \mathbf{v} = 1 \mathbf{v} + (-1) \mathbf{v}$

$= (1 + (-1)) \mathbf{v} = 0 \mathbf{v}$

Per cui:

$0 \mathbf{v} = \mathbf{0}$

Quindi, se $\alpha \mathbf{v} = \mathbf{0}$ e $\alpha = 0$ allora $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ .

Equazioni Lineari e Spazi Vettoriali

A prima vista, le proprietà appena dimostrate sopra possono sembrare astratte o, quantomeno, banali. In realtà esse ci rivelano una verità fondamentale: L'operazione di somma definita per gli elementi di uno spazio vettoriale gode delle stesse proprietà dell'operazione di somma definita per i numeri.

Inoltre, sebbene non sia definita un'operazione di moltiplicazione tra due vettori, possiamo moltiplicare un vettore per uno scalare e, allo stesso modo, possiamo dividere un vettore per uno scalare moltiplicandolo per l'inverso dello scalare. In altre parole:

\frac{\mathbf{v}}{\alpha} = \alpha^{-1} \mathbf{v}

La conseguenza è che, in uno spazio vettoriale, è possibile risolvere l'analogo delle equazioni di primo grado definite sui numeri. Ad esempio, possiamo risolvere l'equazione:

\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{u_1} = \mathbf{u_2}

Supponendo che $\mathbf{u_1}$ e $\mathbf{u_2}$ siano due vettori noti e che $\alpha$ e $\beta$ siano due scalari noti, possiamo risolvere l'equazione per trovare il vettore incognito $\mathbf{x}$ che soddisfa l'uguaglianza. Applicando le stesse regole di risoluzione delle equazioni algebriche, possiamo scrivere:

\alpha \mathbf{x} = \mathbf{u_2} - \beta \mathbf{u_1}

\mathbf{x} = \frac{\mathbf{u_2} - \beta \mathbf{u_1}}{\alpha}

Il fatto sorprendente è che non importa la natura dei vettori o degli scalari coinvolti nell'equazione: la soluzione trovata sopra vale per qualunque spazio vettoriale e qualunque campo su cui esso è definito.

Proviamo con un esempio concreto. Riprendiamo l'equazione di sopra ma poniamoci nel caso dello spazio vettoriale $\mathbb{R}^2$ sul campo $\mathbb{R}$ e consideriamo i seguenti vettori:

\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \quad \mathbf{u_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \quad \mathbf{u_2} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}

e i seguenti scalari:

\alpha = 2 \quad \beta = 3

L'equazione diventa:

2 \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}

2 \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}

2 \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}

2 \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix}}{2}

\mathbf{x} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}

In Sintesi

In questo articolo abbiamo visto alcune delle proprietà algebriche degli spazi vettoriali. Abbiamo dimostrato la legge di annullamento della somma e del prodotto per uno scalare e abbiamo visto come queste proprietà ci permettano di risolvere equazioni lineari definite su spazi vettoriali. Queste proprietà sono fondamentali per la teoria degli spazi vettoriali e ci permettono di applicare i principi dell'algebra lineare a problemi di varia natura.

Nella prossima lezione introdurremo un altro concetto fondamentale degli spazi vettoriali: le combinazioni lineari.

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