Princìpi di Equivalenza delle Equazioni

Per alcuni tipi di equazioni trovare la soluzione è un'operazione immediata. Per altre equazioni più complesse, invece, trovare una soluzione può non essere così ovvio.

In questi casi, tuttavia, viene in nostro aiuto il concetto di Equazione Equivalente, ossia un'equazione è equivalente ad un'altra se hanno la stessa soluzione. Questo concetto è di importanza fondamentale perché se riusciamo a trasformare un'equazione complessa in una più semplice abbiamo trovato, a tutti gli effetti, il modo di risolvere l'equazione di partenza.

Per questo motivo, esistono i Princìpi di Equivalenza delle equazioni che permettono di passare da un'equazione ad un'altra ad essa equivalente. Il procedimento di risoluzione di un'equazione si basa proprio su questi due principi.

In questa lezione studieremo i princìpi di equivalenza nel dettaglio.

Concetti Chiave

Due equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni;
Risolvere un'equazione consiste nel trasformarla in equazioni equivalenti via via più semplici fino ad arrivare ad un'equazione in cui trovare la soluzione è immediato;
I due princìpi di equivalenza delle equazioni permettono di trasformare un'equazione in un'altra equivalente;
Dai princìpi di equivalenza si possono ricavare cinque regole pratiche da usare nella risoluzione.

Equazioni Equivalenti

Nella lezione precedente abbiamo visto che le soluzioni di un'equazione costituiscono un insieme che prende il nome di insieme delle soluzioni e si indica, spesso, con $S$ .

Due equazioni possono avere lo stesso insieme di soluzioni, ossia possono essere verificate dalle stesse soluzioni. Prendiamo le due equazioni che seguono:

2x = 10

2x + 8 = 18

Entrambe le equazioni di sopra hanno come unica soluzione $x = 5$ . Infatti se andiamo a sostituire tale valore nelle due equazioni otteniamo:

2 \cdot 5 = 10 \quad \rightarrow \quad 10 = 10

2 \cdot 5 + 8 = 18 \quad \rightarrow \quad 18 = 18

In tal caso si dice che le due equazioni sono equivalenti.

Definizione

Equazioni Equivalenti

Due equazioni sono Equazioni Equivalenti se contengono la stessa incognita e hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Vediamo qualche esempio.

Esempio

Le due equazioni che seguono non sono equivalenti fra di loro:

x - 1 = 4

2x - 4 = 8

La prima equazione, infatti, ha come soluzione $x = 5$ mentre la seconda ha come soluzione $x = 6$ . Per cui, il loro insieme delle soluzioni è differente.

Prendiamo un altro esempio:

Esempio

x^2 = 16

2x + 8 = 16

Le due equazioni di sopra non sono equivalenti. Infatti, la seconda ha come soluzione $x = 4$ . Sebbene questa soluzione sia anche soluzione della prima equazione, esiste anche una seconda soluzione per la prima equazione: $x = -4$ . Quindi, l'insieme delle soluzioni della prima equazione è $S = \{ 4, -4 \}$ . I due insiemi delle soluzioni non sono uguali, per cui le due equazioni non sono equivalenti.

Il concetto di equazioni equivalenti è alla base del procedimento di risoluzione delle equazioni. Infatti, per risolvere un'equazione, ciò che si cerca di fare è di trasformare l'equazione di partenza in altre equazioni equivalenti man mano sempre più semplici. Scopo finale è ottenere un'equazione in cui trovare la soluzione risulta immediato.

La notazione matematica adoperata per indicare il passaggio da un'equazione ad un'altra equivalente è una freccia $\rightarrow$ . Ad esempio:

2x + 8 = 18 \quad \rightarrow \quad 2x = 10

Adesso che abbiamo introdotto il concetto di equazioni equivalenti, possiamo studiare i princìpi secondo i quali è possibile passare da un'equazione ad un'altra equivalente. Tali princìpi prendono il nome di Princìpi di Equivalenza.

Il Primo Principio di Equivalenza delle equazioni

Sappiamo, dalle leggi di monotonia, che se ai due membri di un'uguaglianza sommiamo la stessa quantità, l'uguaglianza resta valida.

Da questa legge possiamo derivare il Primo Principio di Equivalenza per le equazioni.

Definizione

Primo Principio di Equivalenza per le Equazioni

Il Primo Principio di Equivalenza asserisce che data un'equazione definita in un dominio, se si addiziona a ciascuno dei due membri uno stesso numero o una stessa espressione definita sullo stesso dominio, l'equazione risultante è equivalente a quella di partenza.

Per comprendere il primo principio, partiamo da un semplice esempio. Esaminiamo l'equazione che segue:

3x = 15

Questa equazione ammette un'unica soluzione: $x = 5$ . Infatti, sostituendo $5$ al posto dell'incognita l'uguaglianza risulta verificata:

3 \cdot 5 = 15 \quad \rightarrow \quad 15 = 15

Applicando il primo principio, possiamo sommare a ciascun membro dell'equazione una stessa quantità, un numero o un espressione. Proviamo a sommare a ciascun membro uno stesso numero: $7$ :

3x + 7 = 15 + 7 \quad \rightarrow \quad 3x + 7 = 22

In base al primo principio, tale nuova equazione è equivalente a quella di partenza. Pertanto, questa equazione deve possedere lo stesso insieme delle soluzioni: $S = \{ 5 \}$ .

Verifichiamo, quindi, che $x=5$ sia la soluzione. Sostituendo $5$ al posto dell'incognita otteniamo:

3 \cdot 5 + 7 = 22 \quad \rightarrow \quad 15 + 7 = 22 \quad \rightarrow \quad 22 = 22

Quando, al posto di un numero, si addiziona un'espressione bisogna, tuttavia, prestare attenzione. Il primo principio afferma, infatti, che si può sommare a ciascun membro di un'equazione la stessa espressione purché sia definita sullo stesso dominio.

In altre parole, quando si somma un'espressione bisogna controllare che il dominio su cui l'espressione è definita sia lo stesso dell'equazione. Se, ad esempio, l'equazione è definita su tutto l'insieme dei numeri reali, $\mathbb{R}$ , non possiamo usare un'espressione che, invece, non sia definita su tutto $\mathbb{R}$ .

Proviamo a chiarire con un esempio. Ritornando all'equazione di prima, è facile osservare che essa è definita su tutto l'insieme dei numeri reali e la sua soluzione è $x=5$ .

3x = 15

Ai membri di questa equazione non possiamo sommare, ad esempio, l'espressione $\frac{1}{x - 5}$ . Infatti, se proviamo ad effettuare un'operazione del genere, otteniamo l'equazione:

3x + \frac{1}{x - 5} = 15 + \frac{1}{x - 5}

Questa equazione, però, non ammette la soluzione $x=5$ . Se l'incognita vale $5$ , infatti, l'espressione perde di significato in quanto si trasformerebbe nell'espressione $\frac{1}{0}$ .

L'errore che abbiamo commesso nel sommare tale espressione deriva dal fatto che l'equazione è definita su tutto l'insieme dei numeri reali, $\mathbb{R}$ , mentre l'espressione è definita nell'insieme $\mathbb{R} - \{5\}$ . Per cui i due domini non coincidono e il primo principio di equivalenza non vale.

Viceversa, possiamo sommare l'espressione $-2x$ in quanto è definita su tutto $\mathbb{R}$ . Facendo in questo modo, otteniamo l'equazione:

3x - 2x = 15 - 2x \quad \rightarrow \quad x = 15 - 2x

Avendo rispettato il primo principio, questa equazione avrà lo stesso insieme di soluzioni della prima equazione. Possiamo verificare il tutto sostituendo $x=5$ nell'equazione:

5 = 15 - 2 \cdot 5 \quad \rightarrow \quad 5 = 15 - 10 \quad \rightarrow \quad 5 = 5

Quindi l'equazione risultante è equivalente all'equazione di partenza.

Applicazioni del Primo Principio di Equivalenza

Usando il primo principio di equivalenza possiamo ricavare due regole pratiche utili alla risoluzione delle equazioni.

Supponiamo di voler risolvere la seguente equazione:

3x - 4 = 2x + 5

Per poter risolvere questa equazione, dobbiamo agire in maniera tale da ricondurla ad un'equazione più semplice e immediata del tipo:

x = a

dove $a$ è un valore numerico. In questo modo, il risultato è immediato in quanto la soluzione dell'equazione è proprio $x=a$ .

Per far questo, dobbiamo fare in modo che al primo membro dell'equazione compaia soltanto la $x$ , ossia l'incognita, mentre al secondo compaia solo un valore numerico.

Nell'equazione di sopra, tuttavia, l'incognita compare sia nel primo che nel secondo membro. Dobbiamo, in qualche modo, eliminare l'espressione $2x$ dal secondo membro.

Possiamo, applicando il primo principio, sommare a ciascun membro la stessa espressione $-2x$ , in questo modo:

3x - 4 = 2x + 5 \quad \rightarrow

\rightarrow \quad 3x - 4 - 2x = \cancel{2x} + 5 - \cancel{2x} \quad \rightarrow

\rightarrow \quad 3x - 2x - 4 = 5 \quad \rightarrow

\rightarrow \quad x - 4 = 5

Abbiamo potuto effettuare quest'operazione perché il dominio dell'equazione è tutto $\mathbb{R}$ e l'espressione $-2x$ è definita su tutto l'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ .

Usando questa tecnica abbiamo eliminato dal secondo membro l'incognita che ora appare esclusivamente al primo membro. Osservando bene, applicando questa tecnica è come se avessimo trasportato l'espressione $2x$ da un membro all'altro ma con il segno opposto.

Per questo motivo, tale regola prende il nome di Regola del trasporto:

Definizione

Regola del Trasporto

La Regola del Trasporto afferma che data un'equazione, si ottiene un'altra equazione ad essa equivalente se si trasporta un termine da un membro ad un altro cambiandone il segno.

Ritornando all'equazione di prima, possiamo concludere la risoluzione applicando nuovamente la regola del trasporto al termine $-4$ portandolo al secondo membro:

\rightarrow \quad x - 4 = 5

\rightarrow \quad x = 9

Quindi, la soluzione dell'equazione è $x=9$ .

Dal primo principio di equivalenza possiamo ricavare un'altra regola molto utile nella risoluzione delle equazioni.

Prendiamo l'esempio che segue:

x - 6 = 4 - 6

In questo caso dobbiamo isolare l'incognita $x$ al primo membro. Per far questo possiamo sommare a ciascun membro il termine $+6$ così da eliminare il termine $-6$ :

\rightarrow \quad x - 6 + 6 = 4 -6 + 6 \quad \rightarrow

\rightarrow \quad x = 4

Come si può osservare, i termini $-6$ di entrambe i membri sono scomparsi, ossia li abbiamo cancellati.

Da ciò possiamo ricavare una seconda regola derivata dal primo principio che ci permette di cancellare termini uguali da ciascun membro. Questa regola prende il nome, appunto, di regola di cancellazione:

Definizione

Regola di Cancellazione

La Regola di Cancellazione afferma che data un'equazione, si ottiene un'altra equazione ad essa equivalente se si cancellano i termini uguali presenti in entrambe i membri.

Proviamo ad applicare la regola di cancellazione ad un altro esempio:

x + 4 = 5 + 4

In questa equazione compare il termine $+4$ sia al primo che al secondo membro. Possiamo applicare, quindi, la regola di cancellazione e cancellare questo termine da ambo i membri:

\rightarrow \quad x \cancel{+4} = 5 \cancel{+4}

\rightarrow \quad x = 5

Il Secondo Principio di Equivalenza delle Equazioni

Dalla seconda legge di monotonia, sappiamo che se moltiplichiamo entrambe i membri di un'uguaglianza per la stessa quantità l'uguaglianza resta verificata.

Da questa legge possiamo ricavare il Secondo Principio di Equivalenza per le Equazioni:

Definizione

Secondo Principio di Equivalenza per le Equazioni

Il Secondo Principio di Equivalenza asserisce che data un'equazione definita in un dominio, se si moltiplica o divide ciascuno dei due membri per uno stesso numero, diverso da zero, o una stessa espressione definita sullo stesso dominio e diversa da zero, l'equazione risultante è equivalente a quella di partenza.

Per comprendere meglio il secondo principio, partiamo da un esempio:

\frac{3}{5}x = 21

La soluzione di questa equazione è $x=35$ , infatti, sostituendo $35$ al posto dell'incognita otteniamo:

\frac{3}{5} \cdot 35 = 21 \quad \rightarrow

\rightarrow \quad \frac{3}{\cancel{5}} \cdot \cancelto{7}{35} = 21 \quad \rightarrow

\rightarrow \quad 3 \cdot 7 = 21 \quad \rightarrow \quad 21 = 21

Possiamo applicare a questa equazione il secondo principio. Ad esempio, possiamo moltiplicare ciascun membro per la costante numerica $5$ :

\left(\frac{3}{\cancel{5}}x\right) \cdot \cancel{5} = 21 \cdot 5 \quad \rightarrow

\rightarrow \quad 3 \cdot x = 105

Verifichiamo se l'equazione che abbiamo ottenuto è equivalente sostituendo, al posto dell'incognita, la soluzione della prima equazione: $x=35$ .

3 \cdot 35 = 105 \quad \rightarrow \quad 105 = 105

Quindi le due equazioni sono equivalenti.

Analogamente, avremmo potuto dividere l'equazione di partenza per un numero, ad esempio $3$ :

\frac{\left(\frac{3}{5}x\right)}{3} = \frac{21}{3} \quad \rightarrow

\rightarrow \quad \left(\frac{\cancel{3}}{5}x\right) \cdot \frac{1}{\cancel{3}} = 7 \quad \rightarrow

\quad \rightarrow \frac{x}{5} = 7

Verifichiamo se anche questa equazione è equivalente alla prima sostituendo al posto dell'incognita la soluzione $x=35$ :

\frac{35}{5} = 7 \quad \rightarrow \quad 7 = 7

L'equazione risultante è quindi equivalente.

Quando si applica il secondo principio, bisogna prestare attenzione. Infatti, non si possono dividere ambo i membri dell'equazione per zero in quanto la divisione per zero non ha significato.

Analogamente, non ha senso moltiplicare ambo i membri per zero. Facendo in questo modo l'equazione risultante non sarebbe equivalente.

Prendiamo un esempio:

2x = 4

Il risultato di questa equazione è $x = 2$ . Se proviamo a moltiplicare ciascun membro per zero otteniamo:

0 \cdot 2x = 0 \cdot 4 \quad \rightarrow \quad 0 \cdot x = 0

Abbiamo ottenuto un'equazione che ha come soluzione qualunque numero reale, per cui $S = \mathbb{R}$ . In poche parole, l'equazione risultante non è equivalente a quella di partenza.

Applicazioni del Secondo Principio di Equivalenza

Come fatto per il primo principio, possiamo ricavare delle semplici regole di applicazione del secondo principio di equivalenza che possono aiutarci nella risoluzione delle equazioni.

Partiamo da un primo esempio.

Esempio

Prendiamo l'equazione che segue:

3x + 9 = 12x - 6

Osservando bene possiamo notare che i termini sia del primo membro che del secondo membro possono essere raccolti a fattor comune:

\rightarrow \quad 3 \cdot (x + 3) = 3 \cdot (4x -2)

A questo punto sfruttando il secondo principio di equivalenza possiamo dividere entrambe i membri dell'equazione per lo stesso fattore non nullo: $3$ .

\rightarrow \quad \frac{1}{\cancel{3}} \cdot \cancel{3} \cdot (x + 3) = \frac{1}{\cancel{3}} \cdot \cancel{3} \cdot (4x - 2)

In questo modo abbiamo semplificato l'equazione, ottenendo:

\rightarrow \quad x + 3 = 4x - 2

Il procedimento applicato nell'esempio di sopra può essere generalizzato ottenendo, così, una nuova regola che possiamo sfruttare per risolvere le equazioni: la regola di semplificazione.

Definizione

Regola di Semplificazione

La Regola di Semplificazione afferma che data un'equazione se ne può ottenere un'altra equivalente dividendo tutti i termini di entrambe i membri per uno stesso fattore comune non nullo.

Un'altra importante regola che possiamo ricavare dal secondo principio di equivalenza è illustrata dall'esempio che segue.

Esempio

Prendiamo la seguente equazione:

5 - 3x = -4

Per prima cosa, possiamo usare la regola del trasporto per portare il termine $5$ dal primo al secondo membro:

\rightarrow \quad -3x = -4 - 5

\rightarrow \quad -3x = -9

Applicando la regola di semplificazione possiamo dividere i due membri per $3$ ottenendo:

\rightarrow \quad \frac{-\cancel{3}x}{\cancel{3}} = -\frac{9}{3}

\rightarrow \quad -x = -3

A questo punto abbiamo che entrambe i membri dell'equazione hanno il segno negativo. Applicando il secondo principio di equivalenza, possiamo moltiplicare i due membri per $-1$ in quanto si tratta di una quantità diversa da zero. Così facendo otteniamo:

\rightarrow \quad (-1) \cdot (-x) = (-1) \cdot (-3)

\rightarrow \quad x = 3

La soluzione dell'equazione è $3$ .

Nell'esempio di prima, il punto fondamentale è rappresentato dall'ultimo passaggio. Abbiamo, infatti, moltiplicato entrambe i membri dell'equazione per $-1$ . In questo modo, abbiamo ottenuto un'equazione equivalente dove tutti i segni dei termini sono stati invertiti. Da ciò possiamo ricavare un'utilissima regola pratica che prende il nome di regola del cambiamento di segno.

Definizione

Regola del Cambiamento di Segno

La Regola del cambiamento di segno afferma che data un'equazione se ne può ottenere un'altra equivalente invertendo i segni di tutti i termini di ambo i membri dell'equazione stessa.

\LARGE A(x) = B(x) \quad \rightarrow \quad -A(x) = -B(x)

Un'utilissima applicazione finale del secondo principio di equivalenza riguarda le equazioni a coefficienti non interi. Per comprendere meglio, esaminiamo l'esempio che segue.

Esempio

L'equazione che segue ha coefficienti non interi:

\frac{1}{2}(1 + 2x) -x + \frac{2}{5}(x+2) = \frac{3}{10}x - \frac{1}{2}

Piuttosto che lavorare direttamente con i termini a coefficienti frazionari possiamo provare a trasformare l'equazione in un'equazione a coefficienti interi.

Per farlo, per prima cosa troviamo il minimo comune multiplo di tutti i denominatori presenti. I denominatori sono:

2,\, 1,\, 5,\, 10,\, 2

Il minimo comune multiplo di tali denominatori è proprio $10$ , quindi possiamo riportare tutte le frazioni al minimo comune denominatore:

\rightarrow \quad \frac{5 \cdot (1 + 2x)}{10} - \frac{10x}{10} + \frac{4 \cdot (x + 2)}{10} = \frac{3x}{10} - \frac{5}{10}

Fatto questo, applicando il secondo principio di equivalenza possiamo semplicemente moltiplicare entrambe i membri per $10$ . In questo modo possiamo semplificare tutti i denominatori:

\rightarrow \quad \cancel{10} \cdot \left( \frac{5 \cdot (1 + 2x)}{\cancel{10}} - \frac{10x}{\cancel{10}} + \frac{4 \cdot (x + 2)}{\cancel{10}} \right) = \cancel{10} \cdot \left( \frac{3x}{\cancel{10}} - \frac{5}{\cancel{10}} \right)

\rightarrow \quad 5 \cdot (1 + 2x) -10x + 4 \cdot (x + 2) = 3x - 5

L'equazione equivalente risultante è molto più semplice da manipolare. Infatti, basta sviluppare i calcoli in ambo i membri:

\rightarrow \quad 5 + 10x -10x + 4x + 8 = 3x -5

\rightarrow \quad 4x + 13 = 3x - 5

Possiamo portare tutti i termini con l'incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo usando il primo principio di equivalenza:

\rightarrow \quad 4x - 3x = -13 -5

\rightarrow \quad x = -18

In realtà, possiamo velocizzare i calcoli. Infatti, piuttosto che riportare tutte le frazioni al minimo comune denominatore, possiamo moltiplicare direttamente i due membri dell'equazione per il minimo comune multiplo:

\rightarrow \quad 10 \cdot \left( \frac{1}{2}(1 + 2x) -x + \frac{2}{5}(x+2) \right) = 10 \cdot \left( \frac{3}{10}x - \frac{1}{2} \right)

\rightarrow \quad 5 \cdot (1 + 2x) -10x + 4 \cdot (x+2) = 3x - 5

Facendo così ci siamo risparmiati dei passaggi intermedi ottenendo lo stesso risultato.

Come ci dimostra l'ultimo passaggio dell'esempio, riportare un'equazione a coefficienti frazionari in un'equazione a coefficienti interi consiste semplicemente nel moltiplicare entrambe i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori. Questa utile regola è la regola della riduzione a coefficienti interi:

Definizione

Regola della riduzione a coefficienti interi

La Regola della riduzione a coefficienti interi afferma che data un'equazione contenente coefficienti frazionari è possibile ottenerne una equivalente a coefficienti interi moltiplicando ambo i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori.

\LARGE \frac{A(x)}{a} = \frac{B(x)}{b}

\LARGE m = mcm(a, b)

\LARGE \rightarrow \quad \frac{m}{a} \cdot A(x) = \frac{m}{b} \cdot B(x)

In Sintesi

Questa lezione è fondamentale perché introduce il concetto di equazione equivalente che è alla base del procedimento di risoluzione delle equazioni. Usando i princìpi di equivalenza, infatti, è possibile ricondurre un'equazione ad un'altra più semplice e così via, fino ad arrivare ad un'equazione per la quale trovare una soluzione è immediato.

Dai due princìpi di equivalenza, che derivano direttamente dalle leggi di monotonia delle operazioni aritmetiche, abbiamo derivato cinque utili regole per semplificare le equazioni:

La Regola del Trasporto
La Regola di Cancellazione
La Regola di Semplificazione
La Regola del Cambiamento di Segno
La Regola della Riduzione a Coefficienti Interi

Usando i princìpi di equivalenza e le cinque regole possiamo passare alla risoluzione delle equazioni.

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