Introduzione alle Equazioni Matematiche

Un'Equazione è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche che è soddisfatta soltanto se le variabili che compaiono in essa assumono determinati valori.

In questa lezione introduttiva ci concentreremo sullo studiare alcuni concetti fondamentali che riguardano le equazioni matematiche. Daremo la definizione di soluzione di un'equazione. Vedremo come verificare che un valore sia una soluzione.

A partire dalle prossime lezioni vedremo quali sono le tecniche per risolvere le equazioni concentrandoci, in particolare, sulle equazioni di primo grado.

Equazioni Matematiche

Una relazione di uguaglianza tra due espressioni matematiche potrebbe non essere un'identità, ossia non essere verificata per tutti i valori reali appartenenti ad .

Prendiamo, ad esempio, la relazione che segue:

In questo caso abbiamo che questa uguaglianza non è verificata per tutti i valori di . Ad esempio, se poniamo abbiamo che:

Analogamente, l'uguaglianza non è verificata per altri valori assegnati alla . Ad esempio, non è verificata per , , . Si può dimostrare che la relazione è verificata solo per un solo valore: .

Sostituendo il numero alla variabile nella relazione otteniamo:

Quindi, la relazione di sopra non è un'identità. Esiste un solo valore assegnabile alla variabile che rende, infatti, l'uguaglianza verificata.

Trovare i valori da assegnare alla variabile o alle variabili di un'uguaglianza affinché quest'ultima sia verificata costituisce uno dei problemi fondamentali della matematica e ricorre quasi sempre in qualsiasi disciplina scientifica o ingegneristica.

Un'uguaglianza per cui si cercano i valori da assegnare alle variabili per cui essa è verificata prende il nome di Equazione Matematica.

Prendiamo un altro esempio:

Non si tratta di un'identità, in quanto esiste un solo valore da assegnare alla per cui l'uguaglianza è verificata: . Infatti, sostituendo il valore al posto della otteniamo che:

La variabile dell'equazione di sopra di cui si cerca il valore prende il nome di incognita. Il valore che verifica l'uguaglianza prende il nome di soluzione o radice dell'equazione.

Inoltre, i termini numerici dei due membri prendono il nome di termini noti.

Un'equazione può contenere anche più di un'incognita. Ad esempio:

Quella di sopra è un'equazione nelle incognite e .

In questo capitolo della guida di matematica ci occuperemo esclusivamente di equazioni ad una sola incognita.

Membri di un'equazione

Le due espressioni algebriche che compongono l'uguaglianza di un'equazione prendono il nome di membri dell'equazione.

Dominio di un'equazione

Come abbiamo detto, risolvere un'equazione significa trovare quel valore o quei valori (a seconda di quante incognite l'equazione contenga) che sostituiti al posto delle incognite verificano l'uguaglianza.

La ricerca di tali valori avviene in un insieme di valori possibili. Riprendiamo l'esempio di sopra:

Abbiamo visto che la soluzione è . Anche se non lo abbiamo specificato, abbiamo sottinteso che il valore della soluzione andasse ricercato nell'intero insieme dei numeri reali: .

Avremmo potuto anche specificare un'insieme di ricerca diverso. Ad esempio, l'insieme dei numeri reali positivi: . In questo modo, però, l'equazione di sopra non ha soluzioni in quanto l'unica soluzione, , è un numero negativo.

In generale, l'insieme dei valori a cui la soluzione o le soluzioni di un'equazione possono appartenere prende il nome di Dominio dell'equazione.

Per chiarire come un'equazione possa avere soluzione in un dominio ma non in un altro, proviamo a considerare l'esempio che segue:

La soluzione di quest'equazione è:

Per cui, questa equazione ha soluzione nell'insieme dei numeri razionali ma non ha soluzione se scegliamo come dominio l'insieme dei numeri naturali . Infatti, non è un numero naturale.

Da questo momento in poi assumiamo che, quando non specificato, il dominio di un'equazione sia l'insieme dei numeri reali: .

Soluzioni di un'equazione

Risolvere un'equazione consiste nel trovare tutte le soluzioni. L'insieme dei valori che soddisfano l'uguaglianza dell'equazione prende il nome di insieme delle soluzioni e, spesso, si indica con .

Il procedimento opposto alla risoluzione di un'equazione prende il nome di verifica. In altre parole, si tratta di verificare che un particolare valore sia una soluzione o meno dell'equazione. Semplicemente, si tratta di sostituire il valore al posto dell'incognita e verificare che i due membri dell'equazione siano uguali.

Ricapitolando:

Equazioni determinate, indeterminate e impossibili

Le equazioni viste finora hanno un insieme di soluzioni ben definito, ossia il numero di soluzioni che hanno è finito.

In tal caso, quando l'equazione ha un numero finito di soluzioni, si parla di equazione determinata.

Vi sono casi in cui, invece, il numero di soluzioni di un'equazione è infinito.

In questi casi, quando il numero di soluzioni è infinito, si dice che l'equazione è indeterminata.

Ragionando in termini del numero di soluzioni, potrebbe verificarsi un ultimo caso. Chiariamo con un esempio:

In questi casi in cui l'equazione non ammette soluzione si dice che l'equazione è impossibile.

Tipi di equazioni

In generale, in matematica esistono svariati tipi di equazioni. Esse possono essere suddivise in varie categorie a seconda delle loro caratteristiche.

Equazioni intere e fratte

In base al fatto che le incognite di un'equazione appaiano al numeratore o al denominatore di una o più frazioni possiamo suddividere le equazioni in equazioni intere e equazioni fratte.

Un'esempio di equazione intera può essere il seguente:

Un esempio di equazione fratta è il seguente:

Equazioni numeriche e letterali

In base alle lettere che compaiono, le equazioni possono essere raggruppate in due categorie: equazioni numeriche e equazioni letterali.

Un esempio di equazione numerica è il seguente:

In essa, oltre all'incognita , appaiono soltanto numeri.

Un esempio di equazione letterale è il seguente:

In questo caso, oltre all'incognita , appare anche la lettera che rappresenta un parametro dell'equazione.

Ciò che contraddistingue un parametro da un'incognita è che, quando si risolve un'equazione letterale, bisogna trovare il valore dell'incognita in funzione del parametro. Ossia, bisogna trovare un'espressione dell'incognita in termini del parametro. Il parametro, a differenza dell'incognita, può variare all'interno di un insieme o dominio prestabilito. In generale, si assume, se non specificato, che l'insieme nel quale il parametro possa variare sia l'insieme dei numeri reali: .

Tornando all'esempio di prima, possiamo verificare facilmente che la soluzione dell'equazione è:

La soluzione è un'espressione algebrica in termini del parametro . A questo punto, assegnando al parametro un valore qualsiasi otteniamo il valore corrispondente dell'incognita .

Ad esempio, assegnando ad il valore otteniamo:

Se, invece, assegniamo ad il valore otteniamo:

In Sintesi

In questa lezione abbiamo introdotto il concetto di equazione matematica. Sebbene non abbiamo ancora visto come poter risolvere un'equazione questa lezione è fondamentale per aver espresso alcuni concetti fondamentali.

Abbiamo visto che un'equazione è un'uguaglianza soddisfatta soltanto per alcuni valori che assegniamo alle sue variabili letterali. Tali valori prendono il nome di soluzioni dell'equazione o radici dell'equazione mentre le variabili letterali prendono il nome di incognite.

Risolvere un'equazione significa trovare le soluzioni. Viceversa, verificare che dei valori siano soluzione dell'equazione significa sostituire tali valori al posto dell'incognita e verificare che l'uguaglianza sia soddisfatta.

Adesso, prima di poter addentrarci nella risoluzione delle equazioni di primo grado è necessario studiare dapprima i princìpi di equivalenza. In questo modo possiamo ricavare delle regole necessarie alla risoluzione delle equazioni. Studieremo questi princìpi nella prossima lezione.