Le Identità Matematiche

Un'Identità Matematica è un'uguaglianza che mette in relazione un'espressione algebrica letterale ad un'altra e ha la caratteristica di essere sempre verificata indipendentemente dai valori attribuiti alle variabili contenute nelle espressioni stesse.

Il concetto di identità matematica è fondamentale nello studio dell'algebra e delle altre discipline matematiche. Per questo motivo in questa lezione andremo a studiarlo nel dettaglio.

Concetti Chiave

Un'identità è una relazione di uguaglianza sempre valida;
Non tutte le uguaglianze sono identità;
Affinché un'uguaglianza sia un'identità bisogna dimostrarlo.

Identità Matematica

Prendendo due espressioni algebriche, che indichiamo con $A$ e $B$ , possiamo metterle in relazione attraverso la relazione di uguaglianza, in questo modo:

A = B

Questa scrittura significa che $A$ è sempre uguale a $B$ .

Tuttavia, la relazione non necessariamente risulta verificata. In altre parole, non è detto che effettivamente $A$ sia sempre uguale a $B$ . Affinché la relazione sia verificata, bisogna dimostrarlo.

Quando le espressioni sono semplici, la verifica dell'uguaglianza è quasi immediata. Prendiamo gli esempi che seguono:

5 = 5

x = x

b + b = 2 \cdot b

Sono tutte uguaglianze sempre verificate. In particolare, la seconda e la terza sono verificate sempre indipendentemente dal valore che assegniamo alla variabile $x$ o alla variabile $b$ .

Altre relazioni sono un po' più complesse da verificare. Prendiamo l'esempio che segue:

3 \cdot (a + b)^2 = 3a^2 + 6ab + 3b^2

In questo caso, basta sviluppare l'espressione che compare prima del simbolo di uguaglianza utilizzando il quadrato di un binomio. In questo modo:

3 \cdot (a + b)^2 =

= 3 \cdot (a^2 + 2ab + b^2)

3a^2 + 6ab + 3b^2

Agendo così, abbiamo dimostrato che le due espressioni sono uguali. In particolar modo, lo sono indipendentemente dai valori che attribuiamo alla variabile $a$ o alla variabile $b$ .

Altre relazioni di uguaglianza, invece, non sono sempre verificate.

In alcuni casi, non sono mai verificate. Alcuni esempi sono i seguenti:

\color{red}{3 = 4}

\color{red}{a = a + 1}

Il primo esempio è immediato in quanto $3$ non sarà mai uguale a $4$ .

Il secondo, invece, non rappresenta un'uguaglianza in quanto nessun valore sarà mai uguale a se stesso più uno.

In altri casi, invece, l'uguaglianza è verificata soltanto per determinati valori assegnati alle variabili.

Prendiamo un esempio:

x ^ 2 = 4

Questa uguaglianza risulta verificata soltanto se la variabile $x$ assume determinati valori. In particolare, tale uguaglianza è verificata se la $x$ assume i valori $2$ o $-2$ , in quanto sono gli unici valori che elevati al quadrato danno come risultato $4$ .

Quando una relazione di uguaglianza tra due espressioni è sempre verificata, essa prende il nome di Identità Matematica o, più semplicemente, Identità.

Definizione

Identità Matematica

Un'Identità Matematica è una relazione di uguaglianza che mette in relazione due espressioni algebriche $A$ e $B$ tali che essa è sempre verificata indipendentemente dai valori assegnati alle variabili contenute nelle espressioni.

Per indicare un'identità matematica si usa la seguente notazione:

A = B

Membri di un'identità matematica

Un'identità è composta da due espressioni. Ciascuna di tali espressioni prende il nome di Membro dell'identità. In particolare, l'espressione a sinistra del simbolo di uguale prende il nome di Primo Membro, mentre l'espressione a destra prende il nome di Secondo Membro:

\underbrace{x \cdot (y + z)}_{\color{red}{\text{primo membro}}} = \underbrace{x \cdot y + x \cdot z}_{\color{red}{\text{secondo membro}}}

Definizione

Membri di un'identità matematica

Con Membri di un'identità matematica si indicano le due espressioni che compongono l'identità stessa.

In particolare:

L'espressione a sinistra del simbolo di uguale prende il nome di Primo Membro;
l'espressione a destra del simbolo di uguale prende il nome di Secondo Membro.

\underbrace{\Huge{A}}_{\large{\text{primo membro}}} {\Huge{=}} \underbrace{\Huge{B}}_{\large{\text{secondo membro}}}

Esempi

Proviamo, adesso, a verificare se le relazioni di uguaglianza che seguono sono identità.

Partiamo con un primo esempio:

Esempio

Vogliamo dimostrare che ciò che segue sia un'identità:

-a \cdot \left( -a \right)^2 + 7a = a \cdot \left(7 - a^2\right)

Per dimostrare che quella di sopra è un'identità, ci conviene sviluppare ambo i membri. Per cui:

\rightarrow \quad -a \cdot \left( a^2 \right) + 7a = 7a - a^3

\rightarrow \quad -a^3 + 7a = 7a - a^3

In effetti si tratta di un'identità perché sviluppando i due membri abbiamo verificato che essi sono uguali.

Proviamo un secondo esempio:

Esempio

Verifichiamo se l'uguaglianza che segue sia un'identità o meno:

3(x - 2)^2 - 3x \cdot (x - 4) = 3x \cdot (2x - x) + 12 \cdot (1 - 6x)

Sviluppiamo entrambe i membri:

\rightarrow \quad 3 \cdot \left( x^2 -4x + 4 \right) -3x^2 +12x = 3x^2 + 12 - 72x

\rightarrow \quad \cancel{3x^2} -\cancel{12x} +12 -\cancel{3x^2} + \cancel{12x} = 3x^2 + 12 -72x

\rightarrow \quad 12 = 3x^2 +12 -72x

Quella che abbiamo appena trovato non è un'identità. L'uguaglianza non è verificata per tutti i valori della variabile $x$ .

Condizioni di esistenza di un'identità

Nel parlare di identità matematiche abbiamo sempre sottinteso un dettaglio: l'insieme numerico in cui consideriamo vera l'identità è l'insieme dei numeri reali.

Ad esempio, riprendendo l'identità seguente:

3 \cdot (a + b)^2 = 3a^2 + 6ab + 3b^2

dicendo che questa relazione è un'identità per tutti i possibili valori che possiamo assegnare ad $a$ e $b$ stiamo considerando tutti i valori appartenenti all'insieme dei numeri reali. Per cui, sarebbe più corretto scrivere l'identità in questo modo:

3 \cdot (a + b)^2 = 3a^2 + 6ab + 3b^2 \quad \forall a, b \in \mathbb{R}

Nel seguito, quando parleremo di identità, considereremo sempre l'insieme dei numeri reali, $\mathbb{R}$ , a meno che non sia specificato diversamente.

In alcuni casi, tuttavia, l'identità è sempre verificata per tutti i valori reali tranne alcuni valori specifici. In particolare, potrebbero esistere alcuni valori reali che rendono uno dei due membri un'espressione priva di significato.

Per chiarire meglio, consideriamo la relazione di uguaglianza che segue:

\frac{x \cdot y}{y} = x

Risulta facile vedere che si tratta di un'identità. Sviluppando il primo membro abbiamo che:

\rightarrow \quad \frac{x \cdot \cancel{y}}{\cancel{y}} = x

\rightarrow \quad x = x

Tuttavia, nell'eliminare la variabile $y$ abbiamo omesso un dettaglio fondamentale. Sebbene alla variabile $x$ possiamo assegnare un valore reale qualunque e l'identità risulta verificata, ciò non è vero per la variabile $y$ . Infatti, se assegniamo il valore $0$ alla $y$ non possiamo più semplificare il primo membro. Infatti:

\frac{x \cdot y}{y} = x, \quad y = 0 \quad \rightarrow \quad \frac{0}{0} = x

Ossia, al primo membro otterremo l'espressione $\frac{0}{0}$ che è priva di significato.

Per cui, la relazione di sopra è un'identità solo se $y\neq0$ .

La condizione $y\neq0$ prende il nome di Condizione di Esistenza dell'identità.

Definizione

Condizione di Esistenza di un'identità matematica

La Condizione di Esistenza di un'identità matematica rappresenta quella condizione per la quale l'identità risulta essere verificata.

Consiglio

In generale, quando uno dei membri dell'identità risulta essere una frazione algebrica bisogna controllare sempre la condizione di esistenza.

In sintesi

In questa lezione abbiamo visto che un'uguaglianza tra due espressioni algebriche è un'identità matematica quando è sempre verificata indipendentemente dai valori che possiamo assegnare alle variabili letterali.

In generale, quando non specificato, considereremo sempre che le variabili possono assumere tutti i valori dell'insieme dei numeri reali.

Non sempre, però, possiamo assegnare valori qualunque alle variabili di un'identità. Possono esserci valori proibiti che rendono le espressioni prive di significato. In tal caso bisogna rispettare delle condizioni di esistenza.

In altri casi, un'uguaglianza può essere vera soltanto per determinati valori. In tal caso si parla di equazioni che inizieremo a studiare nella prossima lezione.

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