Quadrato di un Binomio

Il quadrato di un binomio è un prodotto notevole tra polinomi che permette di trasformare rapidamente un binomio moltiplicato per se stesso, quindi elevato al quadrato, in un trinomio.

Nell'applicare la regola del quadrato di un binomio bisogna, però, prestare attenzione ai segni con cui i termini appaiono nel binomio stesso. In particolare, bisogna prestare attenzione al fatto che i due termini del binomio abbiano segno concorde o discorde.

In questa lezione, oltre a mostrare come applicarla, vedremo anche la dimostrazione della formula del quadrato di un binomio e ne daremo un'interpretazione geometrica. Infine, vedremo anche qualche esempio pratico.

Quadrato di un Binomio

Elevare al quadrato un binomio significa moltiplicare il binomio per se stesso. Per cui, il quadrato di un binomio può essere sostituito da un semplice prodotto:

(A + B)^2 \quad = \quad (A + B) \cdot (A + B)

Quali che siano i monomi $A$ e $B$ .

Sviluppando il prodotto a destra del segno di uguale otteniamo:

= \quad (A + B) \cdot (A + B)

= \quad A^2 + A \cdot B + B \cdot A + B^2

Ma i termini $A \cdot B$ e $B \cdot A$ sono monomi simili, per cui possono essere sommati e il prodotto finale è il trinomio:

= \quad A^2 + 2AB + B^2

Definizione

Quadrato di un Binomio

Il quadrato di un Binomio:

(A+B)^2

è un trinomio composto dal quadrato del primo monomio $A^2$ , il doppio prodotto del primo monomio per il secondo $2AB$ e il quadrato del secondo monomio $B^2$ :

A^2 + 2AB + B^2

Vediamo un esempio:

Esempio

Esempio di Quadrato di un Binomio

(x + 5)^2

Applicando la regola descritta sopra dobbiamo sostituire ad $A$ e $B$ , rispettivamente, i monomi $x$ e $5$ . Per cui:

A^2 + 2AB + B^2 \xrightarrow{A=x, B=5} (x)^2 + 2 \cdot (x) \cdot (5) + (5)^2

Che diventa:

= \quad x^2 + 10x + 25

Proviamo a confermare il risultato sviluppando direttamente i calcoli senza applicare la formula:

(x + 5)^2

= (x+5) \cdot (x+5)

= (x \cdot x) + (x \cdot 5) + (5 \cdot x) + (5 \cdot 5)

= x^2 + 10x + 25

Il risultato è così confermato.

Quadrato di un Binomio con differenza

Nell'applicare la formula del quadrato di un binomio bisogna prestare attenzione ai segni dei monomi coinvolti.

Proviamo a calcolare il quadrato di binomio seguente:

(xy - z)^2

Rispetto all'esempio di sopra, il secondo monomio del binomio presenta il segno negativo. Non vi è alcuna differenza nell'applicare la formula del quadrato di un binomio ma bisogna prestare attenzione ai segni. Infatti, applicando la formula abbiamo:

A^2 + 2AB + B^2 \xrightarrow{A=xy, B=-z} (xy)^2 + 2 \cdot (xy) \cdot (-z) + (-z)^2

Questa espressione diventa:

= x^2y^2 {\color{red}{-2xyz}} + z^2

Bisogna notare, nel trinomio finale, il segno negativo del doppio prodotto di $A$ e $B$ : $-2AB$ . Infatti, i termini $A^2$ e $B^2$ del trinomio finale sono elevati al quadrato e, quindi, appariranno sempre con segno positivo nel risultato. Viceversa, il termine $2AB$ apparirà con un segno che dipende dal fatto se $A$ e $B$ hanno segno discorde nel binomio di partenza. In tal caso possiamo riscrivere la formula in questo modo:

(A - B)^2 = A^2 {\color{red}{- 2AB}} + B^2

Definizione

Quadrato di un Binomio con differenza

Il quadrato di un Binomio con differenza:

(A-B)^2

è pari a

A^2 - 2AB + B^2

Se $A$ avesse avuto il segno negativo al posto di $B$ non ci sarebbe stata alcuna differenza. Infatti, in questo caso, basta cambiare l'ordine dei due termini:

(-A + B)^2 = (B - A)^2

e il risultato finale sarebbe sempre:

B^2 -2AB + A^2

che è identico al risultato di sopra.

Infine ci chiediamo: "e se $A$ e $B$ fossero entrambe negativi?"

Proviamo a ricavare il risultato:

(-A -B)^2 = (-A -B) \cdot (-A -B)

Applicando il prodotto tra polinomi otteniamo:

= (-A) \cdot (-A) + (-A) \cdot (-B) + (-B) \cdot (-A) + (-B) \cdot (-B)

= (-A)^2 + 2 \cdot (-A) \cdot (-B) + (-B) ^ 2

= A^2 +2AB +B^2

In tal caso, il segno del doppio prodotto dei due monomi è positivo. Per cui:

Definizione

Segno del termine centrale di un Quadrato di un binomio

Il segno del doppio prodotto del primo monomio per il secondo $2AB$ in un quadrato di un binomio dipende dal fatto se i segni dei due monomi $A$ e $B$ siano discordi o concordi:

\text{A e B con segno concorde} \rightarrow 2AB

\text{A e B con segno discorde} \rightarrow -2AB

Interpretazione Geometrica

Per il quadrato di un binomio possiamo dare un'interpretazione geometrica. Se, infatti, prendiamo il quadrato che ha come lato il binomio $(a + b)$ ne consegue che la sua area $A$ è pari al quadrato del binomio in questione.

Osserviamo attentamente la figura che segue:

**Figura 1:** Quadrato di un binomio - Interpretazione Geometrica

Possiamo notare che l'area del quadrato che ha come lato $(a + b)$ è composta dalla somma delle aree di due quadrati $a^2$ e $b^2$ più la somma delle aree dei rettangoli rosso e giallo. Ma l'area dei rettangoli rosso e giallo è uguale ed è pari ad $a\cdot b$ per cui la somma delle loro aree vale $2ab$ .

In sostanza, l'area totale del quadrato può essere espressa con la somma:

a^2 + b^2 + 2ab

che è la formula del quadrato di un binomio che abbiamo trovato prima.

Esempi

Proviamo a vedere qualche altro esempio

Esempio

Esempio 1

Sviluppiamo il seguente quadrato di un binomio:

(3a - 2b)^2

Applicando la formula otteniamo:

=(3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot (-2b) + (2b)^2

=9a^2 -12ab +4b^2

Sviluppando, per confermare il risultato, il prodotto in maniera diretta:

= (3a -2b) \cdot (3a - 2b)

= 9a^2 -6ab -6ba +4b^2

= 9a^2 -12ab +4b^2

Che è esattamente il risultato ottenuto sopra.

Esempio

Esempio 2

Proviamo a calcolare il risultato del quadrato di binomio seguente:

\left(-x^2 + 5y\right)^2

Applichiamo la formula e otteniamo:

=\left(-x^2\right)^2 + 2 \cdot \left(-x^2\right) \cdot (5y) + (5y)^2

= x^4 -10x^2y + 25y^2

Se avessimo sviluppato il prodotto in maniera diretta avremmo ottenuto:

\left(-x^2 + 5y\right) \cdot \left(-x^2 + 5y\right)

= \left(-x^2\right) \cdot \left(-x^2\right) + \left(-x^2\right) \cdot (5y) + (5y) \cdot \left(-x^2\right) + (5y) \cdot (5y)

= x^4 -5x^2y -5x^2y +25y

= x^4 -10x^2y + 25y^2

Il risultato è identico a quello ottenuto applicando la formula.

In sintesi

In questa lezione abbiamo ricavato il primo prodotto notevole tra polinomi: il quadrato di un binomio. Quando abbiamo a che fare con un binomio moltiplicato per se stesso possiamo applicare direttamente la formula trovata senza dover ricorrere direttamente al prodotto tra polinomi.

Nell'applicare la formula, tuttavia, bisogna prestare attenzione ai segni dei due termini del binomio. Se tali segni sono, infatti, concordi, ossia entrambe positivi o entrambe negativi, il risultato del quadrato del binomio ha il termine intermedio con segno positivo:

A^2 + 2AB + B^2

Viceversa, se i due termini hanno segno discorde, il quadrato di un binomio ha il termine intermedio con segno negativo:

A^2 -2AB +B^2

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