Quadrato di un Trinomio

Il quadrato di un trinomio è un prodotto tra polinomi che rientra nella categoria dei prodotti notevoli. Permette di calcolare velocemente il risultato della moltiplicazione di un trinomio per se stesso.

Attraverso la sua applicazione è possibile ricondurre il quadrato di un trinomio ad un polinomio composto da sei termini: tre quadrati e tre doppi prodotti.

In questa lezione ricaveremo la formula generale del quadrato di un trinomio e proveremo ad applicarlo ad alcuni esempi.

Quadrato di un Trinomio

Elevare al quadrato un trinomio significa moltiplicarlo per se stesso. Quindi, possiamo sostituire al quadrato il prodotto del trinomio per se stesso in questo modo:

(A + B + C)^2 = (A + B + C) \cdot (A + B + C)

In questo caso, al posto di A, B e C possiamo sostituire monomi qualsiasi.

Proviamo a ricavare la formula finale sviluppando il prodotto tra polinomi:

(A + B + C) \cdot (A + B + C) =
= (A \cdot A) + (A \cdot B) + (A \cdot C) + (B \cdot A) + (B \cdot B) + (B \cdot C) + (C \cdot A) + (C \cdot B) + (C \cdot C)
= A^2 + AB + AC + BA + B^2 + BC + CA + CB + C^2

Nel risultato di sopra, abbiamo vari monomi simili che possono essere sommati tra loro:

= A^2 + \underline{AB} + \underline{\underline{AC}} + \underline{BA} + B^2 + \underline{\underline{\underline{BC}}} + \underline{\underline{CA}} + \underline{\underline{\underline{CB}}} + C^2

Quindi, il risultato finale è:

= A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC
Definizione

Quadrato di un Trinomio

Il quadrato di un Trinomio:

(A+B+C)^2

è un polinomio composto da 6 termini:

  • I 3 quadrati dei singoli termini: A^2, B^2 e C^2.
  • I 3 doppi prodotti di ciascun termine per l'altro: 2AB, 2AC e 2BC.
A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC

Esempi

Proviamo ad applicare, adesso, la formula del quadrato di un trinomio a degli esempi.

Esempio

Esempio 1

Proviamo a calcolare il quadrato del seguente trinomio:

(2x + 3y + 2)^2

Utilizziamo la formula etichettando i 3 termini del trinomio con A, B e C:

\left( \underbrace{2x}_{A} + \underbrace{3y}_{B} + \underbrace{2}_{C} \right) ^ 2

Sostituiamo, nella formula, i tre termini:

A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC
= (2x)^2 + (3y)^2 + (2)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + 2 \cdot (2x) \cdot (2) + 2 \cdot (3y) \cdot (2)
= 4x^2 + 9y^2 + 4 + 12xy + 8x + 12y

Proviamo, ora, a confermare il risultato sviluppando, in maniera diretta, il prodotto tra polinomi:

(2x + 3y + 2)^2
= (2x + 3y + 2) \cdot (2x + 3y + 2)
\begin{array}{c} = (2x) \cdot (2x) + (2x) \cdot (3y) + (2x) \cdot 2 + \\ (3y) \cdot (2x) + (3y) \cdot (3y) + (3y) \cdot 2 + \\ 2 \cdot (2x) + 2 \cdot (3y) + 2 \cdot 2 \end{array}
\begin{array}{c} = 4x^2 + 6xy + 4x + \\ 6xy + 9y^2 + 6y + \\ 4x + 6y + 4 \end{array}

A questo punto sommiamo tra di loro i monomi simili:

\begin{array}{c} = 4x^2 + \underline{6xy} + \underline{\underline{4x}} + \\ \underline{6xy} + 9y^2 + \underline{\underline{\underline{6y}}} + \\ \underline{\underline{4x}} + \underline{\underline{\underline{6y}}} + 4 \end{array}
= 4x^2 + 12xy + 8x + 9y^2 +12y + 4

E il risultato è confermato.

Esempio

Esempio 2

Proviamo, ora, a sviluppare il quadrato di un trinomio più complesso che presenta anche termini negativi:

(ab - 3c + 4d)^2

Come prima, etichettiamo i tre termini che compongono il trinomio con A, B e C:

\left( \underbrace{ab}_{A} + \underbrace{(-3c)}_{B} + \underbrace{4d}_{C} \right) ^ 2

Applichiamo, adesso, la formula del quadrato di un trinomio sostituendo i tre termini in A, B e C prestando particolarmente attenzione ai segni dei singoli monomi:

A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC
= (ab)^2 + (-3c)^2 + (4d)^2 + (ab) \cdot (-3c) + (ab) \cdot (4d) + (-3c) \cdot (4d)
= a^2b^2 + 9c^2 + 8d^2 -3abc + 4abd -12cd
Esempio

Esempio 3

Sviluppiamo il seguente quadrato di trinomio:

\left( -3a^3 + \frac{3}{2}a -2 \right)^2

Anche in questo caso imponiamo le seguenti uguaglianze:

\begin{array}{cc} A = && -3a^3 \\ B = && \frac{3}{2}a \\ C = && -2 \end{array}

Successivamente, applichiamo la formula, prestando attenzione ai segni:

A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC
= (-3a^3)^2 + \left( \frac{3}{2}a \right)^2 + (-2)^2 + (-3a^3) \cdot \left( \frac{3}{2}a \right) + (-3a^3) \cdot (-2) + \left( \frac{3}{2}a \right) \cdot (-2)
= 9a^6 + \frac{9}{4}a^2 + 4 - \frac{9}{2}a^3 + 6a^3 -3a

In Sintesi

In questa lezione abbiamo ottenuto la formula per lo sviluppo diretto del quadrato di un trinomio. Il risultato consiste in un polinomio di sei termini composto da tre quadrati e tre doppi prodotti.

In particolare, il quadrato di un trinomio è composto dai tre quadrati dei singoli termini e dai tre doppi prodotti di ciascun termine per l'altro.

Nell'applicazione di questo prodotto notevole bisogna, tuttavia, prestare attenzione ai segni dei singoli termini. Infatti, nella fase di sostituzione nella formula è necessario ricordarsi di riportare il segno per non commettere errori.

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