Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

In questa lezione ci concentreremo sulla moltiplicazione tra la somma di due monomi e la loro differenza. Questo prodotto notevole è di grande importanza perché consente di semplificare l'espressione di molte equazioni, riducendo il numero di termini e facilitando la risoluzione di problemi matematici complessi.

Vedremo, inoltre, degli esempi di questo prodotto notevole e ne daremo un'interpretazione geometrica.

Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

Supponiamo di avere due binomi composti dagli stessi monomi, che indichiamo con $A$ e $B$ , dove l'unica differenza è il segno di $B$ :

\text{binomio 1: } A + B

\text{binomio 2: } A - B

Se proviamo a moltiplicare il primo binomio per il secondo otteniamo:

\left( A + B \right) \cdot \left( A - B \right) =

= \quad A \cdot A - A \cdot B + B \cdot A - B \cdot B

Ma i termini $A \cdot B$ e $B \cdot A$ sono monomi simili, per cui possono essere sottratti e il prodotto finale è il binomio:

= \quad A^2 - B^2

Questo risultato è un'importante prodotto notevole tra polinomi:

Definizione

Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

Moltiplicando la somma di due monomi per la loro differenza si ottiene il prodotto tra i quadrati dei due monomi:

\left( A + B \right) \cdot \left( A - B \right) = A^2 - B^2

Esempi

Vediamo qualche esempio pratico.

Esempio

Esempio 1

\left( 2x + 3 \right) \cdot \left( 2x - 3 \right) =

= \quad 2x \cdot 2x - 2x \cdot 3 + 3 \cdot 2x - 3 \cdot 3

= \quad 4x^2 - 6x + 6x + 9

= \quad 4x^2 + 9

Esempio

Esempio 2

\left( 2x^2 + 3x \right) \cdot \left( 2x^2 - 3x \right) =

= \quad 2x^2 \cdot 2x^2 - 2x^2 \cdot 3x + 3x \cdot 2x^2 - 3x \cdot 3x

= \quad 4x^4 - 6x^3 + 6x^3 - 9x^2

= \quad 4x^4 - 9x^2

Esempio

Esempio 3

\left( 3a + 2b^3 \right) \cdot \left( 3a - 2b^3 \right) =

= \quad 3a \cdot 3a - 3a \cdot 2b^3 + 2b^3 \cdot 3a - 2b^3 \cdot 2b^3

= \quad 9a^2 - 6ab^3 + 6ab^3 - 4b^6

= \quad 9a^2 - 4b^6

Interpretazione geometrica

Al prodotto della somma di due monomi per la loro differenza si può dare un'interpretazione geometrica molto semplice.

Per semplicità concentriamoci sul caso in cui i due monomi siano $x$ e $y$ e supponiamo che $x > y$ .

Prendiamo un quadrato di lato $x$ come mostrato nella figura che segue. La sua area varrà $x^2$ .

**Figura 1:** Area di un quadrato di lato x

Ora, tagliamo dall'estremità in alto a sinistra un quadrato di lato $y$ come mostrato nella figura che segue. L'area del rettangolo ritagliato è $y^2$ . L'area della figura che rimane è $x^2 - y^2$ .

**Figura 2:** Ritaglio di un quadrato di lato y

Ora, se ritagliamo la figura di area $x^2 - y^2$ nel modo mostrato nella figura che segue:

**Figura 3:** Area della figura risultante

e spostiamo il rettangolo superiore ruotandolo verso destra otteniamo un rettangolo di area $x^2 - y^2$ :

**Figura 4:** Interpretazione geometrica del prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

Ma i lati del rettangolo sono equivalenti a $x + y$ e $x - y$ e quindi il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale all'area del rettangolo mostrato.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo esaminato un altro importante prodotto notevole che ricorre spesso nella risoluzione di problemi matematici: il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza.

\left( A + B \right) \cdot \left( A - B \right) = A^2 - B^2

Abbiamo visto come questo prodotto notevole si possa interpretare geometricamente come l'area di un rettangolo risultante dal ritaglio di un quadrato il cui lato è pari al monomio con segno negativo dal quadrato con lato pari al monomio con segno positivo.

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