Cubo di un Binomio

Il cubo di un binomio è un prodotto notevole tra polinomi. In questa lezione ricaveremo la formula per calcolare il cubo di un binomio sia nel caso in cui i segni dei termini siano concordi, sia nel caso in cui siano discordi. Vedremo anche alcuni esempi.

Cubo di un Binomio

Prendiamo un binomio composto da due monomi, ad esempio .

Volendo calcolare il cubo di questo binomio, dobbiamo moltiplicare il binomio per se stesso due volte, in questo modo:

Proviamo a ricavare il risultato. Per prima cosa, moltiplichiamo il primo binomio per il secondo. Tuttavia si tratta di un quadrato di un binomio, per cui possiamo scrivere:

A questo punto possiamo sviluppare il prodotto tra questi due polinomi in questo modo:

Ora possiamo semplificare il risultato, sommando i monomi simili:

Questo risultato è un'importante prodotto notevole tra polinomi e prende il nome di cubo di un binomio.

Cubo di un Binomio con Segni Discordi

Se il binomio è composto da due monomi con segni discordi, ad esempio , il risultato sarà diverso. Proviamo a calcolare il cubo di questo binomio:

Utilizziamo nuovamente il quadrato di un binomio per semplificare il prodotto:

Come possiamo osservare, in questo caso abbiamo che il monomio intermedio è negativo. Sviluppiamo il prodotto in questo modo:

Ora possiamo semplificare il risultato, sommando e sottraendo i monomi simili:

Rispetto al caso precedente, abbiamo che i due termini in cui appare con esponente dispari hanno il segno negativo. Per cui:

Esempi

Vediamo, adesso, alcuni esempi di cubo di un binomio.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo studiato il prodotto notevole del Cubo di un Binomio. Dati due monomi e abbiamo ottenuto la formula:

Dato che entrano in gioco potenze di e con esponente dispari, abbiamo visto che il risultato cambia se i segni dei due monomi sono concordi o discordi. Infatti, nel caso in cui i segni siano discordi, abbiamo che i due termini in cui appare con esponente dispari hanno il segno negativo: