Potenza di un Binomio

In questa lezione affrontiamo un altro importante prodotto notevole riguardante i polinomi: la potenza di un binomio.

In realtà, la potenza n-esima di un binomio può essere calcolata sviluppando manualmente i calcoli. Questa tecnica, tuttavia, risulta essere macchinosa e soggetta ad errori.

Esiste, invece, un metodo molto più rapido per calcolare la potenza di un binomio che si basa sull'utilizzo del Triangolo di Tartaglia (chiamato anche Triangolo di Pascal). Si tratta di una disposizione geometrica di coefficienti che ha la forma di un triangolo e permette il calcolo rapido di potenze di un binomio.

In questa lezione vediamo come costruire il triangolo di Tartaglia, quali sono le sue proprietà e, soprattutto, come applicarlo al calcolo della potenza di un binomio.

Calcolo della potenza di un binomio

Nelle lezioni precedenti abbiamo studiato il quadrato di un binomio e il cubo di un binomio. Possiamo procedere in ordine e calcolare le potenze successive di un binomio. Ad esempio, potremmo calcolare la potenza quarta di un binomio:

(A + B)^4

Sviluppando il prodotto possiamo scrivere:

(A+B)^4 = (A+B) \cdot (A+B)^3

Possiamo quindi calcolare il cubo del binomio, che abbiamo già visto, e poi moltiplicarlo per il binomio stesso:

= (A+B) \cdot (A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3)

Sviluppando il prodotto otteniamo:

= A^4 + 4A^3B + 6A^2B^2 + 4AB^3 + B^4

Abbiamo ottenuto il risultato per la quarta potenza ma, volendo calcolare le potenze superiori, dovremmo ripetere il procedimento che, alla lunga, diventa abbastanza macchinoso.

Esiste, tuttavia, un metodo molto semplice che ci permette di calcolare la potenza ennesima di un binomio. Questo metodo sfrutta una particolare disposizione geometrica di coefficienti numerici che prende il nome di Triangolo di Tartaglia o spesso chiamato anche Triangolo di Pascal.

Introduzione al Triangolo di Tartaglia

Il triangolo di Tartaglia, che nel mondo anglosassone è conosciuto come triangolo di Pascal, è una particolare disposizione geometrica di numeri che trova applicazioni in molti ambiti della matematica. Le sue peculiari proprietà vengono molto sfruttate nell'ambito del calcolo combinatorio.

In questa lezione ne vedremo una introduzione e ci limiteremo alla sua applicazione al calcolo delle potenze di un binomio.

Per prima cosa, dobbiamo vedere come costruire il triangolo e, successivamente come utilizzarlo per calcolare le potenze di un binomio.

Costruzione del triangolo di Tartaglia

Il triangolo di Tartaglia è composto da una serie di righe. Queste righe sono numerate e, per convenzione, la prima riga è la riga zero, ossia n=0. Questa riga è composta da un semplice 1:

\begin{array}{lcc} n = 0 & \rightarrow & 1 \end{array}

Le righe successive sono sfalsate in maniera tale che gli elementi che le compongono non abbiano un elemento direttamente sopra di essi bensì possibilmente due elementi: un elemento sopra alla propria sinistra e un elemento sopra alla propria destra. Abbiamo usato la parola possibilmente nel senso che non è detto che sopra di un elemento vi siano sempre due elementi. Per chiarire guardiamo sotto:

\begin{array}{lcccccccccc} n = 0 & \rightarrow & & & & & 1 & & & & \\ n = 1 & \rightarrow & & & & x_{11} & & x_{12} & & & \\ n = 2 & \rightarrow & & & x_{21} & & x_{22} & & x_{23} & & \\ n = 3 & \rightarrow & & x_{31} & & x_{32} & & x_{33} & & x_{34} & \\ n = 4 & \rightarrow & x_{41} & & x_{42} & & x_{43} & & x_{44} & & x_{45} \\ \end{array}

Osserviamo tre cose:

  1. Il numero di elementi che compongono una riga è pari al numero della riga più uno: n + 1;

    Infatti, la riga 0 ha un elemento, la riga 1 ne ha due e così via.

  2. Abbiamo indicato ogni elemento con due indici: x_{ij}. Il primo indice indica il numero di riga, mentre il secondo indica la posizione all'interno della riga;

    Per cui, ad esempio l'elemento x_{32} rappresenta l'elemento nella terza riga in seconda posizione mentre l'elemento x_{43} rappresenta l'elemento nella quarta riga in terza posizione.

  3. Non tutti gli elementi hanno due elementi direttamente sopra di essi;

    Ad esempio, l'elemento x_{11} ha un solo elemento sopra di esso, mentre l'elemento x_{43} ha due elementi sopra di esso. Diciamo che, vedendo lo schema di sopra come un triangolo, gli elementi che hanno un solo elemento sopra di essi sono quelli posizionati sui lati del triangolo.

Nello schema di sopra ci siamo fermati alla riga numero 4 ma, in realtà, il triangolo di Tartaglia può essere costruito con un numero arbitrario di righe. Avremmo potuto continuare con la riga 5, 6 e così via.

Adesso che sappiamo come disporre gli elementi del triangolo di Tartaglia, dobbiamo capire come calcolarli. Il procedimento è abbastanza semplice e si basa su una semplice regola:

Definizione

Regola di calcolo del triangolo di Tartaglia

Nel triangolo di Tartaglia ogni elemento del triangolo di Tartaglia è pari alla somma degli elementi che si trovano sopra di esso.

In formula possiamo scrivere:

x_{ij} = x_{i-1,j-1} + x_{i-1,j}

Nel caso in cui uno dei due elementi sopra di esso non esista, dobbiamo considerare che il suo valore è pari a zero.

In poche parole, per calcolare il valore di un elemento dobbiamo prendere gli elementi che si trovano immediatamente sopra di esso a sinistra e a destra e sommarli. Tuttavia, nel caso in cui uno di questi due elementi non esista, dobbiamo considerare che il suo valore è pari a zero.

Proviamo, quindi, ad applicare questa regola e calcoliamoci man mano gli elementi che compongono le varie righe. Partiamo dalla riga 1:

\begin{array}{lcccccccccc} n = 0 & \rightarrow & & & & & 1 & & & & \\ n = 1 & \rightarrow & & & & x_{11} & & x_{12} & & & \\ \end{array}

In questo caso dobbiamo calcolare gli elementi x_{11} e x_{12}. Questi elementi hanno sopra di essi un solo elemento. Per cui, considerare che il valore dell'elemento mancante è pari a zero. L'elemento presente, invece, è pari ad uno per cui gli elementi che compongono la riga sono entrambe uguali ad 1. Possiamo quindi scrivere:

\begin{array}{lcccccccccc} n = 0 & \rightarrow & & & & & 1 & & & & \\ n = 1 & \rightarrow & & & & 1 & & 1 & & & \\ \end{array}

Passiamo alla riga numero due:

\begin{array}{lcccccccccc} n = 0 & \rightarrow & & & & & 1 & & & & \\ n = 1 & \rightarrow & & & & 1 & & 1 & & & \\ n = 2 & \rightarrow & & & x_{21} & & x_{22} & & x_{23} & & \\ \end{array}

In questo caso gli elementi x_{21} e x_{23} hanno sopra di essi un solo elemento. Per cui, dobbiamo considerare di nuovo che il valore dell'elemento mancante è pari a zero. Il loro valore sarà pari ad 1. Invece, l'elemento x_{22} ha sopra di esso due elementi: 1 e 1. Il suo valore sarà pari alla somma di questi due elementi: 2.

\begin{array}{lcccccccccc} n = 0 & \rightarrow & & & & & 1 & & & & \\ n = 1 & \rightarrow & & & & 1 & & 1 & & & \\ n = 2 & \rightarrow & & & 1 & & 2 & & 1 & & \\ \end{array}

Proseguendo con questo procedimento, otteniamo il seguente risultato:

\begin{array}{lcccccccccccc} n = 0 & \rightarrow & & & & & & 1 & & & & & \\ n = 1 & \rightarrow & & & & & 1 & & 1 & & & & \\ n = 2 & \rightarrow & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & \\ n = 3 & \rightarrow & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \\ n = 4 & \rightarrow & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ n = 5 & \rightarrow & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \\ \end{array}

Applicazione del triangolo di Tartaglia

Adesso che sappiamo costruire il triangolo di Tartaglia, dobbiamo capire come utilizzarlo per calcolare le potenze di un binomio.

Esiste, infatti, una relazione tra gli elementi del triangolo di Tartaglia e i coefficienti dei termini che compongono le potenze di un binomio. In questa lezione non dimostreremo questa relazione. In cambio, però, partiamo da alcune osservazioni. Esaminiamo le potenze di un binomio in ordine.

Elevando un binomio per l'esponente 0, otteniamo:

(A+B)^0 = 1

Questo è un risultato ovvio, in quanto qualunque quantità elevata a zero è pari a 1.

Successivamente, elevando il binomio per l'esponente 1:

(A+B)^1 = A + B

Anche questo è un risultato ovvio, in quanto qualunque quantità elevata a 1 è pari a se stessa.

Proseguendo con le potenze successive:

(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2
(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3
(A+B)^4 = A^4 + 4A^3B + 6A^2B^2 + 4AB^3 + B^4

Facciamo alcune osservazioni:

  1. Tutti i polinomi risultanti sono composti da un numero di termini pari all'esponente più uno;

    Infatti, nel caso di (A+B)^0 abbiamo un solo termine, nel caso di (A+B)^1 abbiamo due termini e così via.

  2. Tutti i polinomi risultanti sono quasi polinomi completi rispetto ai due monomi di partenza;

    Si tratta di polinomi quasi completi nel senso che sono presenti tutte le potenze dei monomi di partenza tranne il termine noto.

    Ad esempio, nel caso di (A+B)^2 abbiamo A^2, 2AB e B^2 ma non abbiamo termini noti. Nel caso di (A+B)^3 abbiamo A^3, A^2B, AB^2 e B^3 ma non abbiamo alcun termine noto.

Fatte queste due osservazioni, disponiamo i risultati delle potenze di un binomio in modo che le potenze del primo monomio siano disposte in ordine decrescente e le potenze del secondo monomio siano disposte in ordine crescente:

\begin{array}{lcc} (A+B)^0 & = & 1 \\ (A+B)^1 & = & A + B \\ (A+B)^2 & = & A^2 + 2AB + B^2 \\ (A+B)^3 & = & A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \\ (A+B)^4 & = & A^4 + 4A^3B + 6A^2B^2 + 4AB^3 + B^4 \\ \end{array}

Come si può osservare emerge uno schema. Evidenziamo i coefficienti:

\begin{array}{lcc} (A+B)^0 & = & {\color{red}{1}} \\ (A+B)^1 & = & {\color{red}{1}} \cdot A + {\color{red}{1}} \cdot B \\ (A+B)^2 & = & {\color{red}{1}} \cdot A^2 + {\color{red}{2}} \cdot AB + {\color{red}{1}} \cdot B^2 \\ (A+B)^3 & = & {\color{red}{1}} \cdot A^3 + {\color{red}{3}} \cdot A^2B + {\color{red}{3}} \cdot AB^2 + {\color{red}{1}} \cdot B^3 \\ (A+B)^4 & = & {\color{red}{1}} \cdot A^4 + {\color{red}{4}} \cdot A^3B + {\color{red}{6}} \cdot A^2B^2 + {\color{red}{4}} \cdot AB^3 + {\color{red}{1}} \cdot B^4 \\ \end{array}

Riportiamo solo i coefficienti:

\begin{array} (A+B)^0 & = & & & & & {\color{red}{1}} & & & & \\ (A+B)^1 & = & & & & {\color{red}{1}} & & {\color{red}{1}} & & & \\ (A+B)^2 & = & & & {\color{red}{1}} & & {\color{red}{2}} & & {\color{red}{1}} & & \\ (A+B)^3 & = & & {\color{red}{1}} & & {\color{red}{3}} & & {\color{red}{3}} & & {\color{red}{1}} & \\ (A+B)^4 & = & {\color{red}{1}} & & {\color{red}{4}} & & {\color{red}{6}} & & {\color{red}{4}} & & {\color{red}{1}} \\ \end{array}

In altre parole i coefficienti dei termini che compongono le potenze di un binomio sono gli elementi della riga corrispondente del triangolo di Tartaglia. Nel dettaglio i coefficienti corrispondono alla riga di numero uguale all'esponente.

Da qui possiamo ricavare un metodo molto semplice per calcolare una potenza qualsiasi di un binomio applicando il triangolo di tartaglia. Prendiamo ad esempio la potenza quinta:

(A+B)^5

  1. Per prima cosa costruiamo un polinomio quasi completo con tutte le potenze, dalla quinta a quella con esponente 1, dei due monomi. Le ordiniamo in modo che le potenze del primo monomio siano disposte in ordine decrescente e le potenze del secondo monomio siano disposte in ordine crescente:

    A^5 + A^4B + A^3B^2 + A^2B^3 + AB^4 + B^5

  2. Prendiamo la quinta riga (ricordando che numeriamo le righe partendo da zero) del triangolo di Tartaglia:

    \begin{array}{lcccccccccc} n = 5 & \rightarrow & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \\ \end{array}

  3. Sostituiamo i coefficienti del polinomio con gli elementi della riga del triangolo di Tartaglia:

    {\color{red}{1}} \cdot A^5 + {\color{red}{5}} \cdot A^4B + {\color{red}{10}} \cdot A^3B^2 + {\color{red}{10}} \cdot A^2B^3 + {\color{red}{5}} \cdot AB^4 + {\color{red}{1}} \cdot B^5

A questo punto abbiamo ottenuto il risultato.

Potenza di un Binomio

Riassumiamo il procedimento visto sopra.

Definizione

Potenza di un Binomio

Per calcolare la potenza n-esima di un binomio (A+B)^n dobbiamo:

  1. Costruire un polinomio quasi completo con tutte le potenze, dalla n-esima a quella con esponente 1, dei due monomi. Le ordiniamo in modo che le potenze del primo monomio siano disposte in ordine decrescente e le potenze del secondo monomio siano disposte in ordine crescente;

  2. Prendere la riga numero n del triangolo di Tartaglia;

  3. Sostituire i coefficienti del polinomio con gli elementi della riga del triangolo di Tartaglia.

Vediamo qualche esempio.

Esempio

Calcoliamo la seguente potenza di un binomio:

(x^2 + 2y)^4

Si tratta di una potenza quarta di un binomio. Il primo monomio A=x^2 mentre il secondo è B=2y. Applichiamo il procedimento:

  1. Per prima cosa costruiamo un polinomio quasi completo, cioè senza il termine noto, ordinando le potenze del primo monomio in ordine decrescente e del secondo monomio in ordine crescente:

    Per semplicità, usiamo dapprima la notazione A e B:

    A^4 + A^3B + A^2B^2 + AB^3 + B^4

  2. Prendiamo la quarta riga del triangolo di Tartaglia:

    \begin{array}{lcccccccccc} n = 4 & \rightarrow & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 \\ \end{array}

  3. Sostituiamo i coefficienti del polinomio con gli elementi della riga del triangolo di Tartaglia:

    A^4 + 4 \cdot A^3B + 6 \cdot A^2B^2 + 4 \cdot AB^3 + B^4

  4. Sostituiamo ad A e B i monomi di partenza:

    (x^2)^4 + 4 \cdot (x^2)^3(2y) + 6 \cdot (x^2)^2(2y)^2 + 4 \cdot (x^2)(2y)^3 + (2y)^4

  5. Svolgiamo i calcoli:

    x^8 + 8x^6y + 24x^4y^2 + 32x^2y^3 + 16y^4
Nota

Attenzione ai segni dei monomi

Nel caso in cui i monomi di partenza abbiano segno discorde, dobbiamo stare attenti a come applichiamo il procedimento.

Ad esempio, calcoliamo la seguente potenza di un binomio:

(x^2 - 2y)^4

Riapplicando il procedimento, poniamo A = x^2 e B = -2y. Quindi, calcoliamo prima la potenza quarta di (A + B):

(A + B)^4 = A^4 + 4 \cdot A^3B + 6 \cdot A^2B^2 + 4 \cdot AB^3 + B^4

Successivamente, sostituiamo ad A e B i rispettivi monomi facendo attenzione al segno:

(x^2 - 2y)^4 = (x^2)^4 + 4 \cdot (x^2)^3(-2y) + 6 \cdot (x^2)^2(-2y)^2 + 4 \cdot (x^2)(-2y)^3 + (-2y)^4

Sviluppando i calcoli otteniamo:

x^8 - 8x^6y + 24x^4y^2 - 32x^2y^3 + 16y^4

In Sintesi

Con questa lezione conclusiva abbiamo terminato l'insieme dei prodotti notevoli tra polinomi. Abbiamo visto come calcolare la potenza di un binomio utilizzando il triangolo di Tartaglia.

In particolare, abbiamo visto come costruire il triangolo di Tartaglia e come applicarlo al calcolo della potenza di un binomio.

A partire dalla prossima lezione inizieremo a studiare la divisione tra polinomi partendo dalla divisione di un polinomio per un monomio.

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