Divisione di un Polinomio per un Monomio

Alla base della divisione tra polinomi c'è l'operazione di divisione di un polinomio per un monomio. Dividere un polinomio per un monomio significa dividere tutti i termini del polinomio per il monomio.

A partire dalla divisione tra polinomi e monomi è possibile derivare il concetto di divisibilità di un polinomio per un monomio. In questa lezione vedremo come verificare se un polinomio sia divisibile, o meno, per un monomio.

Sfruttando le proprietà delle divisioni, vedremo come effettuare operativamente una divisione tra un polinomio ed un monomio.

Concetti Chiave

Dividere un polinomio per un monomio consiste nel dividere ogni singolo termine del polinomio per il monomio stesso;
Un polinomio è divisibile per un monomio se esiste un polinomio quoziente che moltiplicato per il monomio restituisce il polinomio di partenza;
Il grado del polinomio quoziente è pari al grado del polinomio meno il grado del monomio.

Divisione di un Polinomio per un Monomio

Il principale requisito per affrontare lo studio della divisione tra polinomi è la conoscenza dell'operazione di divisione di un polinomio per un monomio.

Prima, però, dobbiamo comprendere quando un polinomio è divisibile per un monomio. Partiamo dalla divisibilità tra numeri interi. Possiamo dire che un numero intero $a$ è divisibile per un altro numero intero $b$ quando esiste un terzo numero $c$ che moltiplicato per $b$ restituisca $a$ :

a \in \mathbb{Z} \quad \text{è divisibile per} \quad b \in \mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad \exists \, c \in \mathbb{Z} : b \cdot c = a è

Ad esempio, il numero $12$ è divisibile per $3$ . Infatti, esiste un numero, $4$ , che moltiplicato per $3$ restituisce $12$ :

3 \cdot 4 = 12 \quad \Rightarrow \quad 12 \quad \text{è divisibile per} \quad 3 è

Ovviamente, nessun numero intero è divisibile per zero, $0$ .

Possiamo ragionare allo stesso modo nel caso di polinomi e monomi. Dunque un polinomio è divisibile per un monomio se esiste un polinomio che moltiplicato per il monomio restituisce il polinomio di partenza.

Esempio

Prendiamo il polinomio e il monomio seguenti:

2a + a^2b, \quad 2a

Il polinomio in questione risulta essere divisibile per il monomio. Infatti, esiste il seguente polinomio:

1 + \frac{1}{2}a

Se moltiplichiamo questo polinomio per il monomio otteniamo:

\left( 1 + \frac{1}{2}ab \right) \cdot 2a \quad =

= \quad 2a + \left( \frac{1}{\cancel{2}}ab \right) \cdot \cancel{2}a =

= \quad 2a + a^2b

Abbiamo ottenuto il polinomio di partenza.

Quindi possiamo dare una definizione di divisibilità tra un polinomio e un monomio in questo modo:

Definizione

Divisibilità di un polinomio per un monomio

Un polinomio $P$ è divisibile per un monomio $m$ non nullo se esiste un polinomio, che prende il nome di polinomio quoziente, tal che moltiplicato per il monomio $m$ restituisce il polinomio $P$ :

P \text{ è divisibile per } m \quad \Leftrightarrow \quad \exists \, Q : Q \cdot m = P è

Sebbene questa definizione da un punto di vista matematico non faccia una piega, a livello operativo non è molto utile. Non ci mostra come effettuare una divisione tra un polinomio ed un monomio.

Proviamo a trovare un metodo pratico ragionando con un esempio.

Esempio

Sia dato il polinomio:

P: \quad 8x^7 - 2x^6 + 10x^4

e il monomio:

m: \quad 2x^3

Ci chiediamo se $P$ è divisibile per $m$ .

Per rispondere a questa domanda proviamo a dividere $P$ per $m$ :

\frac{8x^7 - 2x^6 + 10x^4}{2x^3}

Sfruttando però le proprietà delle divisioni possiamo riscrivere il tutto in questo modo:

\frac{8x^7}{2x^3} - \frac{2x^6}{2x^3} + \frac{10x^4}{2x^3}

In altre parole, abbiamo trasformato la divisione tra il polinomio $P$ e il monomio $m$ in una somma di divisioni tra monomi. In particolare, abbiamo trasformato il tutto nella somma dei termini del polinomio $P$ divisi per il monomio $m$ .

A questo punto il resto è semplice. Infatti possiamo sfruttare la divisione tra monomi che abbiamo già affrontato nella scorsa lezione. Per cui il risultato diventa:

4x^4 -x^3 + 5x

Possiamo trarre due conclusioni dall'esempio di sopra:

La divisione tra un polinomio ed un monomio si ottiene sommando le divisioni di tutti i singoli termini del polinomio per il monomio;
Un polinomio è divisibile per un monomio se tutti i suoi termini sono divisibili per il monomio stesso.

Per cui:

Definizione

Criterio di divisibilità di un polinomio per un monomio

Un polinomio è divisibile per un monomio se tutti i monomi che lo compongono sono divisibili per il monomio stesso.

In altre parole, un polinomio $P$ è divisibile per un monomio $m$ se e soltanto se:

Nei monomi che compongono il polinomio $P$ appaiono tutte le lettere del monomio $m$ ;
Gli esponenti delle lettere dei monomi che compongono $P$ sono maggiori o uguali agli esponenti delle rispettive lettere del monomio $m$ .

Esempi

Vediamo qualche esempio:

Esempio

Sia dato il polinomio:

P: \quad 3ab + 5a^2c

e il monomio:

m: \quad 2ac

In questo caso il polinomio $P$ non è divisibile per $m$ .

Infatti, il primo termine del polinomio, $3ab$ , non contiene la lettera $c$ del monomio.

Esempio

Sia dato il polinomio:

P: \quad 3a^2b + 5a

e il monomio:

m: \quad a^2

In questo caso il polinomio $P$ non è divisibile per $m$ .

Infatti, il secondo termine del polinomio, $5a$ , presenta l'esponente della lettera $a$ pari a $1$ . Tuttavia nel monomio, la lettera $a$ ha un esponente pari a $2$ .

Esempio

Sia dato il polinomio:

P: \quad 4xy^4 - x^2y^2

e il monomio:

m: \quad 3xy^2

In questo caso il polinomio $P$ è divisibile per $m$ .

Andando a dividere $P$ per $m$ otteniamo:

\frac{4xy^4 - x^2y^2}{3xy^2}

= \quad \frac{4xy^4}{3xy^2} - \frac{x^2y^2}{3xy^2}

= \quad \frac{4}{3}y^2 - \frac{1}{3}x

Grado del polinomio quoziente

Il risultato della divisione di un polinomio per un monomio è sempre un polinomio che prende il nome di polinomio quoziente:

Definizione

Polinomio Quoziente

Il risultato di una divisione di un polinomio per un monomio, purché il polinomio sia divisibile per il monomio, è sempre un polinomio che prende il nome di Polinomio quoziente.

In base al criterio di divisibilità che abbiamo enunciato sopra possiamo inferire che se un polinomio è divisibile per un monomio, il grado del monomio divisore è inferiore o uguale al grado del polinomio dividendo. Per cui possiamo ricavare la seguente proprietà del polinomio quoziente:

Definizione

Grado del Polinomio Quoziente

Il polinomio quoziente risultante da una divisione di un polinomio per un monomio ha un grado pari alla differenza tra il grado del polinomio dividendo e il grado del monomio divisore.

Proviamo con un esempio:

Esempio

Sia dato il polinomio:

P: \quad 20x^4 - 12x^3 + 6x^2

e il monomio:

m: \quad 2x^2

Il polinomio $P$ ha grado pari a $4$ . Il monomio $m$ ha grado pari a $2$ .

In base alla regola di sopra, il grado del polinomio quoziente sarà pari a $4-2 = 2$ . Verifichiamo, svolgendo la divisione, che questo risultato sia corretto:

\frac{20x^4 - 12x^3 + 6x^2}{2x^2}

= \quad \frac{20x^4}{2x^2} - \frac{12x^3}{2x^2} + \frac{6x^2}{2x^2}

= \quad 10x^2 - 6x + 3

Il polinomio quoziente ha grado pari a $2$ ed il risultato trovato prima è confermato.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo introdotto un'operazione fondamentale propedeutica allo studio della divisione tra polinomi: la divisione di un polinomio per un monomio.

Dividere un polinomio per un monomio consiste nel dividere tutti i termini del polinomio, che sono a loro volta dei monomi, per il monomio stesso. Abbiamo ricavato anche un criterio di divisibilità che ci consente di determinare se un polinomio sia divisibile o meno per un polinomio.

Abbiamo, infine, ricavato una relazione tra il grado del polinomio quoziente e i gradi del polinomio dividendo e del monomio divisore.

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