Divisione tra Polinomi

Un polinomio è divisibile per un altro polinomio quando esiste un terzo polinomio, chiamato quoziente, tale che il primo polinomio è uguale al prodotto del quoziente per il secondo polinomio.

Condizione necessaria affinché un polinomio sia divisibile per un altro polinomio è che il grado del primo sia maggiore o uguale al grado del secondo. Infatti il grado del quoziente è uguale alla differenza tra il grado del dividendo e il grado del divisore.

In questa lezione vedremo come dividere un polinomio per un altro polinomio. Studieremo come ottenere il quoziente ed il resto della divisione nel caso in cui il dividendo non sia divisibile per il divisore.

Divisibilità tra Polinomi

Per definire la divisibilità tra polinomi partiamo dal concetto di divisibilità tra numeri interi. Sappiamo che un numero intero a \in \mathbb{Z} è divisibile per un altro numero intero b \in \mathbb{Z} quando esiste un terzo numero c \in \mathbb{Z} tale che b \cdot c = a.

Ad esempio, il numero 12 è divisibile per 3. Infatti, esiste un numero, 4, che moltiplicato per 3 restituisce 12.

Allo stesso modo possiamo affermare che:

Definizione

Divisibilità tra polinomi

Un polinomio p(x) è divisibile per un monomio m(x) quando esiste un altro polinomio q(x) tale che p(x) = m(x) \cdot q(x).

Formalmente possiamo scrivere:

\frac{p(x)}{m(x)} = q(x) \, \Leftrightarrow \, p(x) = m(x) \cdot q(x)

In tal caso i tre polinomi prendono il nome di:

  • p(x) è il dividendo
  • m(x) è il divisore
  • q(x) è il quoziente

Vediamo qualche esempio:

Esempio

Prendiamo il polinomio A(x):

A(x) = 2x^7 + x^5 - 6x^3 + 8x^2 - 3x + 4

Questo polinomio è divisibile per il polinomio B(x):

B(x) = 2x^2 + 1

Infatti esiste il polinomio Q(x):

Q(x) = {{x}^{5}}-3 x+4

tale che:

A(x) = B(x) \cdot Q(x) =
= \left( 2x^2 + 1 \right) \cdot \left( x^5 - 3x + 4 \right)
= 2x^7 - 6x^3 + 8x^2 + x^5 - 3x + 4
= 2x^7 + x^5 - 6x^3 + 8x^2 - 3x + 4
Esempio

Prendiamo il polinomio A(x):

A(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4

Questo polinomio non è divisibile per il polinomio B(x):

B(x) = x^2 + 1

Infatti non esiste un polinomio Q(x) tale che:

A(x) = B(x) \cdot Q(x)

Grado del Quoziente

Sappiamo dalla lezione sul prodotto tra polinomi che il grado del prodotto tra due polinomi è la somma dei gradi dei due polinomi.

Per cui, se un polinomio A(x) è divisibile per un polinomio B(x) e sapendo che Q(x) è il quoziente ne deduciamo che:

A(x) = B(x) \cdot Q(x)

Quindi il grado del polinomio A(x) è uguale alla somma del grado del polinomio B(x) e del grado del polinomio Q(x):

\text{grado}[A(x)] = \text{grado}[B(x)] + \text{grado}[Q(x)]

Da cui otteniamo che:

\text{grado}[Q(x)] = \text{grado}[A(x)] - \text{grado}[B(x)]

Quindi:

Definizione

Grado del Polinomio Quoziente

Il grado del polinomio quoziente Q(x) = \frac{A(x)}{B(x)} è dato dalla differenza tra il grado del dividendo A(x) e il grado del divisore B(x):

\text{grado}[Q(x)] = \text{grado}[A(x)] - \text{grado}[B(x)]
Esempio

Torniamo all'esempio di prima:

A(x) = 2x^7 + x^5 - 6x^3 + 8x^2 - 3x + 4
B(x) = 2x^2 + 1
Q(x) = {{x}^{5}}-3 x+4

Quindi:

Il grado del dividendo A(x) è 7. Il grado del divisore B(x) è 2. Quindi il grado del polinomio quoziente Q(x) è:

\text{grado}[Q(x)] = \text{grado}[A(x)] - \text{grado}[B(x)] = 7 - 2 = 5

E infatti il grado del polinomio Q(x) è 5.

Esempio

Prendiamo il polinomio A(x):

A(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4

Questo polinomio non è divisibile per il polinomio B(x):

B(x) = x^5 + 1

Per il semplice fatto che il grado del polinomio B(x) è 5 e quello del polinomio A(x) è 3. Quindi il grado del polinomio quoziente Q(x) dovrebbe essere:

\text{grado}[Q(x)] = \text{grado}[A(x)] - \text{grado}[B(x)] = 3 - 5 = {\color{red}{-2 \quad !!!}}

Ma questo non può essere vero, perché il grado di un polinomio non può essere negativo.

Da questo esempio possiamo ricavarne un altro importante risultato:

Definizione

Condizione necessaria per la Divisibilità tra Polinomi

Condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché un polinomio A(x) sia divisibile per un polinomio B(x) è che il grado del polinomio A(x) sia maggiore di quello del polinomio B(x).

Divisione tra Polinomi con Resto

Dati due polinomi A(x) e B(x) nella variabile x e con grado di A(x) maggiore o uguale a quello di B(x), possiamo sempre effettuare la divisione tra i due polinomi e ottenere un quoziente Q(x) e un resto R(x).

Infatti, esiste il teorema seguente:

Definizione

Teorema della Divisione tra Polinomi

Dati due polinomi A(x) e B(x) nella variabile x e con grado di A(x) maggiore o uguale a quello di B(x) e con B(x) non nullo, esteranno sempre un polinomio Q(x) e un polinomio R(x) tali che:

A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)

In particolare i polinomi Q(x) e R(x) prendono il nome di polinomio quoziente e polinomio resto.

Inoltre:

  • Il grado del polinomio Q(x) è dato dalla differenza tra il grado del dividendo A(x) e il grado del divisore B(x);
  • Il grado del polinomio R(x) è minore del grado del divisore B(x).

Nel caso particolare in cui il polinomio R(x) sia nullo, allora il polinomio A(x) è divisibile per il polinomio B(x) e la divisione tra polinomi è una divisione esatta.

Procedimento della Divisione tra Polinomi: Divisione Lunga

Adesso vediamo nel dettaglio come effettuare la divisione tra polinomi. Questo procedimento è noto come divisione lunga.

Per comprendere come fare partiamo da un esempio.

Prendiamo il polinomio A(x):

A(x) = 2x^4 + 3x^3 - 5x + 1

e il polinomio B(x):

B(x) = x^2 + 1

Il primo passaggio è controllare i gradi dei due polinomi. Per far questo bisogna prima assicurarsi che A(x) e B(x) siano in forma normale. In effetti i due polinomi di sopra sono già in forma normale.

Il grado del polinomio A(x) è 4 e quello del polinomio B(x) è 2. Per cui il grado del polinomio dividendo è inferiore: la divisione può essere effettuata.

Il secondo passaggio è disporre i due polinomi in ordine decrescente di grado riempiendo anche con zeri i termini mancanti del dividendo. In questo modo otteniamo:

\begin{array}{ccccccccc|ccc} 2x^4 & + & 3x^3 & + & 0x^2 & - & 5x & + & 1 & x^2 & + & 1 \\ \hline \\ \end{array}

Nell'esempio sopra il polinomio dividendo non ha il termine di grado 2, quindi lo riempiamo con uno zero. Questo è un passaggio fondamentale per la divisione tra polinomi.

Il prossimo passaggio consiste nel dividere tra di loro i due termini di grado più alto. In questo caso i due termini di grado più alto sono:

2x^4 \quad \text{e} \quad x^2

Essendo due monomi usiamo la divisione tra monomi. Quindi:

\frac{2x^4}{x^2} = 2x^2

Prendiamo questo risultato e lo indichiamo con Q_1(x): si tratta del primo quoziente parziale. Lo scriviamo sotto il polinomio dividendo in questo modo:

\begin{array}{ccccccccc|ccc} 2x^4 & + & 3x^3 & + & 0x^2 & - & 5x & + & 1 & x^2 & + & 1 \\ \hline & & & & & & & & & 2x^2 & & \\ \end{array}

A questo punto moltiplichiamo il quoziente parziale per il polinomio divisore:

Q_1(x) \cdot B(x) = 2x^2 \cdot (x^2 + 1) = 2x^4 + 2x^2

Questo risultato lo sottraiamo al polinomio dividendo in questo modo:

\begin{array}{cccccccccc|ccc} & 2x^4 & + & 3x^3 & + & 0x^2 & - & 5x & + & 1 & x^2 & + & 1 \\ \hline - & 2x^4 & & & - & 2x^2 & & & & & 2x^2 & & & \\ \\ & & & 3x^3 & - & 2x^2 & - & 5x & + & 1 & & & & \\ \end{array}

Il risultato è un polinomio che rappresenta il nuovo dividendo.

A questo punto ripetiamo il procedimento per ottenere il secondo quoziente parziale. Quindi dividiamo tra di loro i due termini di grado più alto del nuovo dividendo e del polinomio divisore:

Q_2(x) = \frac{3x^3}{x^2} = 3x

Questo risultato lo aggiungiamo al precedente quoziente parziale:

Q_1(x) + Q_2(x) = 2x^2 + 3x

Per cui:

\begin{array}{cccccccccc|ccccc} & 2x^4 & + & 3x^3 & + & 0x^2 & - & 5x & + & 1 & x^2 & & & + & 1 \\ \hline - & 2x^4 & & & - & 2x^2 & & & & & 2x^2 & + & 3x & & & \\ \\ & & & 3x^3 & - & 2x^2 & - & 5x & + & 1 & & & & & & \\ \end{array}

Successivamente moltiplichiamo di nuovo il quoziente parziale, in questo caso Q_2(x), per il polinomio divisore:

Q_2(x) \cdot B(x) = 3x \cdot (x^2 + 1) = 3x^3 + 3x

Questo risultato lo sottraiamo al nuovo dividendo:

\begin{array}{cccccccccc|ccccc} & 2x^4 & + & 3x^3 & + & 0x^2 & - & 5x & + & 1 & x^2 & & & + & 1 \\ \hline - & 2x^4 & & & - & 2x^2 & & & & & 2x^2 & + & 3x & & & \\ \\ & & & 3x^3 & - & 2x^2 & - & 5x & + & 1 & & & & & & \\ & & - & 3x^3 & & & - & 3x & & & & & & & & \\ \\ & & & & - & 2x^2 & - & 8x & + & 1 & & & & & & \\ \end{array}

Anche in questo caso abbiamo trovato un nuovo dividendo. Il procedimento si ripete fino a quando il grado del nuovo dividendo è inferiore al grado del polinomio divisore. In questo caso il grado del nuovo dividendo è 2 e quello del polinomio divisore è 2. Quindi il procedimento può continuare.

Per cui, dividiamo tra di loro i due termini di grado più alto del nuovo dividendo e del polinomio divisore:

Q_3(x) = \frac{-2x^2}{x^2} = -2

Aggiungiamo il risultato al precedente quoziente parziale:

\begin{array}{cccccccccc|ccccc} & 2x^4 & + & 3x^3 & + & 0x^2 & - & 5x & + & 1 & x^2 & & & + & 1 \\ \hline - & 2x^4 & & & - & 2x^2 & & & & & 2x^2 & + & 3x & - & 2 \\ \\ & & & 3x^3 & - & 2x^2 & - & 5x & + & 1 & & & & & \\ & & - & 3x^3 & & & - & 3x & & & & & & & \\ \\ & & & & - & 2x^2 & - & 8x & + & 1 & & & & & \\ \end{array}

Moltiplichiamo il quoziente parziale, in questo caso Q_3(x), per il polinomio divisore:

Q_3(x) \cdot B(x) = -2 \cdot (x^2 + 1) = -2x^2 - 2

Sottraiamo il risultato al nuovo dividendo:

\begin{array}{cccccccccc|ccccc} & 2x^4 & + & 3x^3 & + & 0x^2 & - & 5x & + & 1 & x^2 & & & + & 1 \\ \hline - & 2x^4 & & & - & 2x^2 & & & & & 2x^2 & + & 3x & - & 2 \\ \\ & & & 3x^3 & - & 2x^2 & - & 5x & + & 1 & & & & & \\ & & - & 3x^3 & & & - & 3x & & & & & & & \\ \\ & & & & - & 2x^2 & - & 8x & + & 1 & & & & & \\ & & & & + & 2x^2 & & & + & 2 & & & & & \\ \\ & & & & & & - & 8x & + & 3 & & & & & \\ \end{array}

Il grado del nuovo dividendo è 1 e quello del polinomio divisore è 2. Quindi il procedimento non può continuare. Abbiamo concluso la divisione.

In particolare, la somma dei quozienti parziali è il quoziente:

Q(x) = Q_1(x) + Q_2(x) + Q_3(x) = 2x^2 + 3x - 2

mentre l'ultimo dividendo trovato rappresenta il resto:

R(x) = -8x + 3

Verifica del risultato

Possiamo verificare il risultato della divisione in maniera molto semplice. Moltiplichiamo il quoziente per il polinomio divisore e sommiamo il risultato al resto. Ci aspettiamo che il risultato sia uguale al dividendo:

B(x) \cdot Q(x) + R(x) =
= \left( x^2 + 1 \right) \cdot \left( 2x^2 + 3x - 2 \right) + \left( -8x + 3 \right)
= 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 2x^2 + 3x - 2 -8x + 3
= 2x^4 + 3x^3 -5x + 1

Il risultato è uguale al dividendo, quindi la divisione è stata eseguita correttamente.

Notazione Alternativa

Esiste una notazione alternativa per effettuare la divisione tra polinomi molto usata nel mondo anglosassone.

L'importanza di studiare questa notazione sta nel fatto che quando si leggono libri di testo in lingua inglese è molto probabile che si incontrino esempi di divisione tra polinomi scritti in questa notazione.

La notazione anglosassone è molto simile alla notazione che abbiamo visto sopra. La differenza è che risulta essere più compatta. Vediamola nel dettaglio usando l'esempio di sopra.

A(x) = 2x^4 + 3x^3 - 5x + 1

e il polinomio B(x):

B(x) = x^2 + 1

Scriviamo prima il polinomio divisore e poi il polinomio dividendo usando questa notazione:

\begin{array}{ll} x^2 + 1 & \overline{) \quad 2x^4 + 3x^3 + 0x^2 - 5x + 1} \\ \end{array}

Come abbiamo fatto sopra, abbiamo riempito con uno zero il termine mancante del dividendo.

A questo punto il procedimento è identico al caso di sopra. Dividiamo tra di loro i due termini di grado più alto del nuovo dividendo e del polinomio divisore: 2x^4 e x^2. Quindi:

\frac{2x^4}{x^2} = 2x^2

Questo risultato lo scriviamo al di sopra del polinomio divisore in corrispondenza del termine di pari grado:

\begin{array}{l} \\ x^2 + 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{rrrrrr} & & & 2x^2 & & \\ \hline ) & 2x^4 & +3x^3 & +0x^2 & -5x & +1 \\ \end{array}

Moltiplichiamo il risultato appena ottenuto per il polinomio divisore:

2x^2 \cdot (x^2 + 1) = 2x^4 + 2x^2

Riportiamo questo risultato appena sotto il dividendo:

\begin{array}{l} \\ x^2 + 1 \\ \\ \end{array} \quad \begin{array}{rrrrrr} & & & 2x^2 & & \\ \hline ) & 2x^4 & +3x^3 & +0x^2 & -5x & +1 \\ & 2x^4 & & +2x^2 & & \\ \end{array}

Sottraiamo il risultato al dividendo:

\begin{array}{l} \\ x^2 + 1 \\ \\ \\ \end{array} \quad \begin{array}{rrrrrr} & & & 2x^2 & & \\ \hline ) & 2x^4 & +3x^3 & +0x^2 & -5x & +1 \\ & 2x^4 & & +2x^2 & & \\ \hline & & +3x^3 & -2x^2 & -5x & +1 \\ \end{array}

Questo sarà il nostro nuovo dividendo. Ripetiamo il procedimento per ottenere il secondo quoziente parziale. Quindi dividiamo tra di loro i due termini di grado più alto del nuovo dividendo e del polinomio divisore: 3x^3 e x^2.

\frac{3x^3}{x^2} = 3x

Riportiamo il risultato al di sopra del polinomio divisore:

\begin{array}{l} \\ x^2 + 1 \\ \\ \\ \end{array} \quad \begin{array}{rrrrrr} & & & 2x^2 & +3x & \\ \hline ) & 2x^4 & +3x^3 & +0x^2 & -5x & +1 \\ & 2x^4 & & +2x^2 & & \\ \hline & & +3x^3 & -2x^2 & -5x & +1 \\ \end{array}

Moltiplichiamo il risultato per il polinomio divisore:

3x \cdot (x^2 + 1) = 3x^3 + 3x

Riportiamo il risultato al di sotto del nuovo dividendo:

\begin{array}{l} \\ x^2 + 1 \\ \\ \\ \\ \end{array} \quad \begin{array}{rrrrrr} & & & 2x^2 & +3x & \\ \hline ) & 2x^4 & +3x^3 & +0x^2 & -5x & +1 \\ & 2x^4 & & +2x^2 & & \\ \hline & & +3x^3 & -2x^2 & -5x & +1 \\ & & +3x^3 & & +3x & \\ \end{array}

Sottraiamo il risultato al nuovo dividendo:

\begin{array}{l} \\ x^2 + 1 \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \quad \begin{array}{rrrrrr} & & & 2x^2 & +3x & \\ \hline ) & 2x^4 & +3x^3 & +0x^2 & -5x & +1 \\ & 2x^4 & & +2x^2 & & \\ \hline & & +3x^3 & -2x^2 & -5x & +1 \\ & & +3x^3 & & +3x & \\ \hline & & & -2x^2 & -8x & +1 \\ \end{array}

Ripetiamo nuovamente il procedimento. Dividiamo i due termini di grado più alto: -2x^2 e x^2.

\frac{-2x^2}{x^2} = -2

Riportiamo il risultato al di sopra del polinomio divisore:

\begin{array}{l} \\ x^2 + 1 \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \quad \begin{array}{rrrrrr} & & & 2x^2 & +3x & -2 \\ \hline ) & 2x^4 & +3x^3 & +0x^2 & -5x & +1 \\ & 2x^4 & & +2x^2 & & \\ \hline & & +3x^3 & -2x^2 & -5x & +1 \\ & & +3x^3 & & +3x & \\ \hline & & & -2x^2 & -8x & +1 \\ \end{array}

Moltiplichiamo il risultato per il polinomio divisore:

-2 \cdot (x^2 + 1) = -2x^2 - 2

Riportiamo il risultato al di sotto e sottraiamo il risultato all'ultimo dividendo:

\begin{array}{l} \\ x^2 + 1 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \quad \begin{array}{rrrrrr} & & & 2x^2 & +3x & -2 \\ \hline ) & 2x^4 & +3x^3 & +0x^2 & -5x & +1 \\ & 2x^4 & & +2x^2 & & \\ \hline & & +3x^3 & -2x^2 & -5x & +1 \\ & & +3x^3 & & +3x & \\ \hline & & & -2x^2 & -8x & +1 \\ & & & -2x^2 & & -2 \\ \hline & & & & -8x & +3 \\ \end{array}

Il grado del nuovo dividendo è 1 e quello del polinomio divisore è 2. Quindi il procedimento non può continuare. Abbiamo concluso la divisione.

In particolare il polinomio che si trova in alto, al di sopra della linea, è il quoziente. Viceversa, il polinomio che si trova in basso, al di sotto della linea, è il resto. Per cui:

Q(x) = 2x^2 + 3x - 2
R(x) = -8x + 3

Metodo della Divisione Breve

Esiste un metodo alternativo per effettuare la divisione tra polinomi che prende il nome di metodo della divisione breve (in inglese short division).

Questo metodo risulta essere ulteriormente compatto rispetto al metodo visto sopra. La divisione breve, tuttavia, richiede alcuni passaggi fatti a mente.

Riprendiamo la divisione tra i due polinomi di sopra:

A(x) = 2x^4 + 3x^3 - 5x + 1
B(x) = x^2 + 1

Per prima cosa riportiamo il polinomio dividendo e quello divisore l'uno sopra l'altro in ordine decrescente di grado, inserendo anche i termini mancanti del dividendo:

\begin{array}{lrrrrr} & 2x^4 & +3x^3 & +0x^2 & -5x & +1 \\ ÷ & & & x^2 & & +1 \\ \hline \end{array}

Come fatto sopra, per prima cosa dividiamo il termini di più alto grado dei due polinomi: 2x^4 e x^2. Quindi:

\frac{2x^4}{x^2} = 2x^2

Riportiamo questo risultato al di sotto della linea in corrispondenza dei termini di pari grado:

\begin{array}{lrrrrr} & 2x^4 & +3x^3 & +0x^2 & -5x & +1 \\ ÷ & & & x^2 & & +1 \\ \hline & & & 2x^2 & & \\ \end{array}

Poiché la divisione tra i due termini, 2x^4 e x^2, è esatta, ossia non ha prodotto resto, possiamo cancellare il termine 2x^4 dal dividendo in quanto è stato utilizzato:

\begin{array}{lrrrrr} & \cancel{2x^4} & +3x^3 & +0x^2 & -5x & +1 \\ ÷ & & & x^2 & & +1 \\ \hline & & & 2x^2 & & \\ \end{array}

Moltiplichiamo, poi, il risultato appena trovato per i termini rimanenti del divisore:

2x^2 \cdot 1 = 2x^2

Sottraiamo questo risultato al dividendo, in particolare lo sottraiamo al termine del dividendo di grado corrispondente:

0x^2 - 2x^2 = -2x^2

Il termine del dividendo è stato usato quindi lo cancelliamo e riportiamo questo risultato al di sopra di esso come riporto:

\begin{array}{lrrrrr} & & & -2x^2 & & \\ & \cancel{2x^4} & +3x^3 & \cancel{+0x^2} & -5x & +1 \\ ÷ & & & x^2 & & +1 \\ \hline & & & 2x^2 & & \\ \end{array}

Ripetiamo il procedimento e dividiamo tra di loro i due termini di grado più alto del nuovo dividendo e del polinomio divisore: 3x^3 e x^2.

\frac{3x^3}{x^2} = 3x

Questo risultato è esatto, nel senso che non ha prodotto resto. Quindi possiamo cancellare il termine 3x^3 dal dividendo e riportare il risultato al di sotto della linea:

\begin{array}{lrrrrr} & & & -2x^2 & & \\ & \cancel{2x^4} & \cancel{+3x^3} & \cancel{+0x^2} & -5x & +1 \\ ÷ & & & x^2 & & +1 \\ \hline & & & 2x^2 & +3x & \\ \end{array}

Moltiplichiamo il risultato appena ottenuto per i termini rimanenti del divisore:

3x \cdot 1 = 3x

Sottraiamo questo risultato al dividendo, in particolare lo sottraiamo al termine del dividendo di grado corrispondente:

-5x - 3x = -8x

Il termine del dividendo è stato usato quindi lo cancelliamo e riportiamo questo risultato al di sopra di esso come riporto:

\begin{array}{lrrrrr} & & & -2x^2 & -8x & \\ & \cancel{2x^4} & \cancel{+3x^3} & \cancel{+0x^2} & \cancel{-5x} & +1 \\ ÷ & & & x^2 & & +1 \\ \hline & & & 2x^2 & +3x & \\ \end{array}

Ripetiamo, ancora, il procedimento dividendo i termini di grado più alto del nuovo dividendo e del polinomio divisore: -2x^2 e x^2.

\frac{-2x^2}{x^2} = -2

Anche in questo caso la divisione non ha prodotto resto. Quindi possiamo cancellare il termine -2x^2 dal dividendo e riportare il risultato al di sotto della linea:

\begin{array}{lrrrrr} & & & \cancel{-2x^2} & -8x & \\ & \cancel{2x^4} & \cancel{+3x^3} & \cancel{+0x^2} & \cancel{-5x} & +1 \\ ÷ & & & x^2 & & +1 \\ \hline & & & 2x^2 & +3x & -2 \\ \end{array}

Moltiplichiamo il risultato appena ottenuto per i termini rimanenti del divisore:

-2 \cdot 1 = -2

Sottraiamo questo risultato al dividendo, in particolare lo sottraiamo al termine del dividendo di grado corrispondente:

+1 - (-2) = +3

Il termine del dividendo è stato usato quindi lo cancelliamo e riportiamo questo risultato al di sopra di esso come riporto:

\begin{array}{lrrrrr} & & & \cancel{-2x^2} & -8x & +3 \\ & \cancel{2x^4} & \cancel{+3x^3} & \cancel{+0x^2} & \cancel{-5x} & \cancel{+1} \\ ÷ & & & x^2 & & +1 \\ \hline & & & 2x^2 & +3x & -2 \\ \end{array}

A questo punto non possiamo più proseguire in quanto il grado del nuovo dividendo è inferiore al grado del polinomio divisore. Quindi abbiamo concluso la divisione.

In particolare, il polinomio che si trova in basso, al di sotto della linea, è il quoziente:

Q(x) = 2x^2 + 3x - 2

mentre il polinomio che si trova in alto, al di sopra della linea, è il resto:

R(x) = -8x + 3

Come si può osservare il metodo della Divisione Breve è molto compatto ma richiede alcuni passaggi fatti a mente. Per cui, se si è alle prime armi con la divisione tra polinomi, è consigliabile usare le notazioni viste sopra.

Riassumendo

La divisione tra polinomi è un'operazione che consiste nel trovare il quoziente e il resto della divisione tra due polinomi. Il polinomio quoziente è il risultato della divisione, mentre il polinomio resto è il resto della divisione.

Il procedimento per trovare il quoziente e il resto consiste dei seguenti passaggi:

  1. Ci assicuriamo che dividendo e divisore siano in forma normale. In particolare, il grado del dividendo deve essere maggiore o uguale al grado del polinomio divisore.
  2. Dividiamo tra di loro i due termini di grado più alto del dividendo e del polinomio divisore. Il risultato è il quoziente parziale.
  3. Moltiplichiamo il quoziente parziale per il polinomio divisore e sottraiamo il risultato al dividendo. Il risultato è il nuovo dividendo.
  4. Ripetiamo i passi 2 e 3 fino a quando il grado del nuovo dividendo è inferiore al grado del polinomio divisore. Il risultato è la somma dei quozienti parziali che è il quoziente. Il resto è l'ultimo dividendo trovato.

Questo procedimento può essere semplificato nel caso in cui il divisore sia un polinomio di grado 1 del tipo x + a. In questo caso si può applicare la Regola di Ruffini come vedremo nella prossima lezione.

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