Regola di Ruffini

Nella lezione precedente abbiamo visto come dividere due polinomi tra di loro. In questa lezione vedremo come dividere due polinomi in modo molto più veloce utilizzando una regola che prende il nome dal matematico italiano Paolo Ruffini: la Regola di Ruffini.

Questa regola di divisione tra polinomi può essere applicata, però, solo nei casi in cui il polinomio divisore è un binomio del tipo $x-a$ .

Regola di Ruffini

La regola di Ruffini prende il nome dal matematico italiano Paolo Ruffini che la inventò nel 1809.

Utilizzandola possiamo calcolare la divisione tra due polinomi in modo molto veloce ma può essere applicata esclusivamente quando il polinomio divisore è un binomio del tipo $x-a$ (con $a$ numero reale).

In realtà il procedimento può essere applicato anche nel caso in cui il polinomio divisore abbia il termine noto positivo. Infatti in questo caso basta porre:

x+a \quad \rightarrow \quad x - (-a)

Per capire come funziona la regola, partiamo da un esempio.

Supponiamo di voler calcolare la divisione tra i polinomi:

A(x)=-3x^2+3x-1+4x^3

B(x)=x-2

Per prima cosa ordiniamo in maniera decrescente il polinomio dividendo $A(x)$ in modo che il termine con grado più alto sia il primo e quello con grado più basso l'ultimo.

A(x)=4x^3-3x^2+3x-1

A questo punto si prendono i coefficienti dei termini del polinomio dividendo $A(x)$ e si scrivono in una riga e si tracciano due righe verticali. La prima riga verticale si trova a sinistra del coefficiente del termine con grado più alto, la seconda a destra del coefficiente del termine con grado pari a 1 e separa il termine noto dal resto.

Successivamente si aggiunge una riga vuota e si traccia una linea orizzontale. Di seguito è mostrato come:

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +4 &amp; -3 &amp; +3 &amp; -1 \\ \\ \\ \hline \\ \end{array}

Il secondo passaggio consiste nell'aggiungere sulla seconda riga, a sinistra della prima linea verticale, il termine noto $a$ del polinomio divisore $B(x)$ ma con segno opposto:

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +4 &amp; -3 &amp; +3 &amp; -1 \\ \\ +2 &amp; &amp; &amp; &amp; \\ \hline \\ \end{array}

Successivamente, si tira giù il primo coefficiente al di sotto della riga orizzontale. Questo sarà il primo coefficiente del polinomio risultante $Q(x)$ :

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +4 &amp; -3 &amp; +3 &amp; -1 \\ \\ +2 &amp; \downarrow &amp; &amp; &amp; \\ \hline &amp; +4 &amp; &amp; &amp; \\ \end{array}

Il terzo passaggio consiste nel moltiplicare il primo coefficiente appena trovato per il termine noto $+2$ del polinomio divisore $B(x)$ e sommarlo al secondo coefficiente della riga orizzontale. Nel nostro caso dobbiamo moltiplicare $+4$ per $+2$ e sommare il tutto al secondo coefficiente del dividendo $-3$ :

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +4 &amp; -3 &amp; +3 &amp; -1 \\ \\ +2 &amp; \downarrow &amp; +8 &amp; &amp; \\ \hline &amp; +4 &amp; +5 &amp; &amp; \\ \end{array}

Il valore appena trovato, $+5$ , rappresenta il coefficiente del secondo termine del risultato $Q(x)$ .

A questo punto ripetiamo il procedimento con il termine appena trovato. Quindi moltiplichiamo il termine $+5$ per $+2$ e sommiamo il risultato al terzo coefficiente del dividendo $+3$ :

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +4 &amp; -3 &amp; +3 &amp; -1 \\ \\ +2 &amp; \downarrow &amp; +8 &amp; +10 &amp; \\ \hline &amp; +4 &amp; +5 &amp; +13 &amp; \\ \end{array}

Il valore appena trovato, $+13$ , rappresenta il coefficiente del terzo termine del risultato $Q(x)$ .

Manca l'ultimo passaggio. Moltiplichiamo il termine $+13$ per $+2$ e sommiamo il risultato al termine noto del dividendo $-1$ :

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +4 &amp; -3 &amp; +3 &amp; -1 \\ \\ +2 &amp; \downarrow &amp; +8 &amp; +10 &amp; +26 \\ \hline &amp; +4 &amp; +5 &amp; +13 &amp; +25 \\ \end{array}

Questo ultimo valore, $+25$ , non rappresenta un coefficiente del polinomio risultante $Q(x)$ ma rappresenta il resto della divisione tra i due polinomi.

Forma del risultato

Il procedimento è concluso. Ciò che ci rimane da fare è scrivere il polinomio risultante $Q(x)$ e il resto della divisione.

Per far questo bisogna tener presente che il polinomio risultante $Q(x)$ avrà grado pari a quello del dividendo $A(x)$ meno quello del divisore $B(x)$ , come abbiamo visto nella lezione sulla divisione tra polinomi. Dato che il dividendo ha grado $3$ e il divisore ha grado $1$ , il polinomio risultante avrà grado $2$ . Per cui dobbiamo scrivere un polinomio di terzo grado con i coefficienti appena trovati:

Q(x)=4x^2+5x+13

Analogamente il resto sarà:

R(x)=25

ossia un polinomio di grado zero.

Verifica

Adesso che abbiamo calcolato il polinomio risultante $Q(x)$ e il resto $R(x)$ possiamo verificare che la divisione sia stata eseguita correttamente.

Per farlo dobbiamo moltiplicare il polinomio risultante $Q(x)$ per il polinomio divisore $B(x)$ e sommare il risultato al resto $R(x)$ :

Q(x) \cdot B(x) + R(x) =

= \left(4x^2+5x+13\right) \cdot \left(x-2\right) + 25 =

= 4x^3-8x^2+5x^2-10x+13x-26+25 =

= 4x^3-3x^2+3x-1

Come si può vedere il risultato è uguale al dividendo $A(x)$ . Per cui la divisione è stata eseguita correttamente.

Esempi

Chiariamo il procedimento della Regola di Ruffini con esempi ulteriori.

Esempio

Vogliamo dividere il polinomio $A(x)=3x^3+x^2-8x+4$ per il polinomio $B(x)=x+2$ .

Per prima cosa impostiamo la tabella per la divisione inserendo i coefficienti e il termine noto del polinomio dividendo, e inserendo l'opposto del termine noto del polinomio divisore $B(x)$ :

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +3 &amp; +1 &amp; -8 &amp; +4 \\ \\ -2 &amp; &amp; &amp; &amp; \\ \hline \\ \end{array}

Portiamo giù il primo coefficiente al di sotto della riga orizzontale:

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +3 &amp; +1 &amp; -8 &amp; +4 \\ \\ -2 &amp; \downarrow &amp; &amp; &amp; \\ \hline &amp; +3 &amp; &amp; &amp; \\ \end{array}

Moltiplichiamo il primo coefficiente appena trovato per il termine $-2$ e sommiamo il risultato al secondo coefficiente del dividendo $+1$ :

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +3 &amp; +1 &amp; -8 &amp; +4 \\ \\ -2 &amp; \downarrow &amp; -6 &amp; &amp; \\ \hline &amp; +3 &amp; -5 &amp; &amp; \\ \end{array}

Il valore appena trovato, $-5$ , rappresenta il coefficiente del secondo termine del risultato $Q(x)$ .

Ripetiamo il procedimento con il termine appena trovato. Quindi moltiplichiamo il termine $-5$ per $-2$ e sommiamo il risultato al terzo coefficiente del dividendo $-8$ :

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +3 &amp; +1 &amp; -8 &amp; +4 \\ \\ -2 &amp; \downarrow &amp; -6 &amp; +10 &amp; \\ \hline &amp; +3 &amp; -5 &amp; +2 &amp; \\ \end{array}

Concludiamo il procedimento moltiplicando il termine $+2$ per $-2$ e sommiamo il risultato al termine noto del dividendo $+4$ :

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +3 &amp; +1 &amp; -8 &amp; +4 \\ \\ -2 &amp; \downarrow &amp; -6 &amp; +10 &amp; -4 \\ \hline &amp; +3 &amp; -5 &amp; +2 &amp; 0 \\ \end{array}

Poiché il resto è pari a zero si tratta di una divisione esatta. Il polinomio risultante $Q(x)$ sarà:

Q(x)=3x^2-5x+2

Adesso proviamo a verificare il risultato appena trovato. Moltiplichiamo il polinomio risultante $Q(x)$ per il polinomio divisore $B(x)$ :

Q(x) \cdot B(x) =

= \left(3x^2-5x+2\right) \cdot \left(x+2\right) =

= 3x^3+6x^2-5x^2-10x+2x+4

= 3x^3+x^2-8x+4

Il risultato è pari al dividendo $A(x)$ , per cui la divisione è stata eseguita correttamente.

Esempio

Vogliamo dividere il polinomio $A(x) = -3x^2 + 2x^3 - x + 2$ per il polinomio $B(x) = x - 1$ .

Per prima cosa, bisogna notare che il polinomio dividendo $A(x)$ non è scritto in ordine decrescente dei gradi dei termini. Quindi, riscriviamo $A(x)$ in questo modo:

A(x) = 2x^3 - 3x^2 - x + 2

Successivamente, impostiamo la tabella per la divisione inserendo coefficienti e termine noto del polinomio dividendo, e inserendo l'opposto del termine noto del polinomio divisore:

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +2 &amp; -3 &amp; -1 &amp; +2 \\ \\ +1 &amp; &amp; &amp; &amp; \\ \hline \\ \end{array}

Portiamo giù il primo coefficiente al di sotto della riga orizzontale:

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +2 &amp; -3 &amp; -1 &amp; +2 \\ \\ +1 &amp; \downarrow &amp; &amp; &amp; \\ \hline &amp; +2 &amp; &amp; &amp; \\ \end{array}

Moltiplichiamo il primo coefficiente appena trovato per il termine $+1$ e sommiamo il risultato al secondo coefficiente del dividendo $-3$ :

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +2 &amp; -3 &amp; -1 &amp; +2 \\ \\ +1 &amp; \downarrow &amp; +2 &amp; &amp; \\ \hline &amp; +2 &amp; -1 &amp; &amp; \\ \end{array}

Il valore appena trovato, $-1$ , rappresenta il coefficiente del secondo termine del risultato $Q(x)$ .

Ripetiamo il procedimento con il termine appena trovato. Quindi moltiplichiamo il termine $-1$ per $+1$ e sommiamo il risultato al terzo coefficiente del dividendo $-1$ :

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +2 &amp; -3 &amp; -1 &amp; +2 \\ \\ +1 &amp; \downarrow &amp; +2 &amp; -1 &amp; \\ \hline &amp; +2 &amp; -1 &amp; -2 &amp; \\ \end{array}

Infine moltiplichiamo il termine $-2$ per $+1$ e sommiamo il risultato al termine noto del dividendo $+2$ :

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +2 &amp; -3 &amp; -1 &amp; +2 \\ \\ +1 &amp; \downarrow &amp; +2 &amp; -1 &amp; -2 \\ \hline &amp; +2 &amp; -1 &amp; -2 &amp; 0 \\ \end{array}

Il resto è pari a zero, mentre il quoziente risulta essere:

Q(x) = 2x^2 - x - 2

Verifichiamo che il risultato sia corretto. Moltiplichiamo il polinomio risultante $Q(x)$ per il polinomio divisore $B(x)$ . Deve risultare che:

A(x) = Q(x) \cdot B(x)

= \left(2x^2 - x - 2\right) \cdot \left(x - 1\right)

= 2x^3 - 2x^2 - x^2 + x - 2x + 2

= 2x^3 - 3x^2 - x + 2

Il risultato è corretto

Esempio

Dividiamo il polinomio:

A(x) = 2x^3 - 9x + 1

per il polinomio:

B(x) = x - 3

In questo caso bisogna osservare che il polinomio $A(x)$ non è un polinomio completo. In altre parole, manca un termine che nello specifico è il termine di grado $2$ . Nel preparare la tabella per la divisione, dobbiamo inserire i coefficienti mancanti usando il valore $0$ :

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +2 &amp; 0 &amp; -9 &amp; +1 \\ \\ +3 &amp; &amp; &amp; &amp; \\ \hline \\ \end{array}

A questo punto possiamo procedere normalmente. Portiamo giù il primo coefficiente al di sotto della riga orizzontale:

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +2 &amp; 0 &amp; -9 &amp; +1 \\ \\ +3 &amp; \downarrow &amp; &amp; &amp; \\ \hline &amp; +2 &amp; &amp; &amp; \\ \end{array}

Moltiplichiamo questo valore per il termine $+3$ e sommiamo il risultato al secondo coefficiente del dividendo:

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +2 &amp; 0 &amp; -9 &amp; +1 \\ \\ +3 &amp; \downarrow &amp; +6 &amp; &amp; \\ \hline &amp; +2 &amp; +6 &amp; &amp; \\ \end{array}

Proseguiamo con il termine successivo:

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +2 &amp; 0 &amp; -9 &amp; +1 \\ \\ +3 &amp; \downarrow &amp; +6 &amp; +18 &amp; \\ \hline &amp; +2 &amp; +6 &amp; +9 &amp; \\ \end{array}

Infine moltiplichiamo il termine $+9$ per $+3$ e sommiamo il risultato al termine noto del dividendo:

\begin{array}{r|rrr|r} &amp; +2 &amp; 0 &amp; -9 &amp; +1 \\ \\ +3 &amp; \downarrow &amp; +6 &amp; +18 &amp; +27 \\ \hline &amp; +2 &amp; +6 &amp; +9 &amp; +28 \\ \end{array}

Abbiamo ottenuto che il quoziente $Q(x)$ è:

Q(x) = 2x^2 + 6x + 9

e il resto è:

R(x) = 28

Verifichiamo che il risultato sia corretto. Deve risultare che:

A(x) = Q(x) \cdot B(x) + R(x)

Per cui:

Q(x) \cdot B(x) + R(x) = \left(2x^2 + 6x + 9\right) \cdot \left(x - 3\right) + 28

= 2x^3 - 6x^2 + 6x^2 - 18x + 9x - 27 + 28

= 2x^3 - 9x + 1

Il risultato è corretto.

In sintesi

Attraverso la regola di Ruffini abbiamo visto come si possa dividere in maniera molto veloce un polinomio per un altro. La regola vale purché il polinomio divisore sia di primo grado e abbia la forma:

B(x) = x - a

La regola di Ruffini, oltre ad essere una tecnica di divisione, ci permette inoltre di ottenere dei risultati fondamentali per la teoria dei polinomi. Nella prossima lezione vedremo la sua prima importantissima applicazione: il Teorema del Resto della Divisione tra Polinomi.

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