Teorema del Resto

In questa lezione vedremo un importante teorema del calcolo letterale che ci permette di calcolare il resto di una divisione tra polinomi senza dover effettuare la divisione stessa. Questo risultato prende il nome di Teorema del Resto e può essere applicato solo nel caso in cui il polinomio divisore abbia la forma x - a.

Questo teorema prende anche il nome di Piccolo Teorema di Bézout dal nome del matematico francese Étienne Bézout che lo ha scoperto.

Vedremo inoltre la dimostrazione del teorema del resto e come utilizzarlo per calcolare il resto di una divisione tra polinomi in maniera rapida.

Un'osservazione sulla regola di Ruffini

Nella lezione precedente abbiamo visto come dividere in maniera rapida due polinomi nel caso in cui il polinomio divisore abbia la forma x - a impiegando la Regola di Ruffini.

Supponiamo di voler dividere il polinomio P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 per il polinomio x - 1. Applichiamo la regola in questo modo:

\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & -2 & +3 & -4 \\ \\ +1 & & & & \\ \hline \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & -2 & +3 & -4 \\ \\ +1 & \downarrow & & & \\ \hline & +1 & & & \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & -2 & +3 & -4 \\ \\ +1 & \downarrow & +1 & & \\ \hline & +1 & -1 & & \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & -2 & +3 & -4 \\ \\ +1 & \downarrow & +1 & -1 & \\ \hline & +1 & -1 & +2 & \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & -2 & +3 & -4 \\ \\ +1 & \downarrow & +1 & -1 & +2 \\ \hline & +1 & -1 & +2 & -2 \\ \end{array}

Il risultato è quindi:

Q(x) = x^2 - x + 2

mentre il resto R sarà:

R = -2

Adesso proviamo a sostituire x = 1, ossia l'opposto del termine noto del polinomio divisore, all'interno del polinomio dividendo P(x):

P(1) = (1)^3 - 2 \cdot (1)^2 + 3 \cdot 1 - 4 = -2

Il risultato è lo stesso del resto R calcolato con la regola di Ruffini. Questa non è una coincidenza ma una regola generale che ci permette di calcolare il resto di una divisione tra polinomi senza dover effettuare la divisione stessa. Questo risultato prende il nome di Teorema del Resto.

Teorema del Resto

Definizione

Teorema del Resto (Piccolo Teorema di Bézout)

Sia P(x) un polinomio di grado n, con n \geq 1, e sia M(x) un polinomio del tipo x - a. Allora il resto della divisione tra P(x) e M(x) è dato da:

R = P(a)

In altre parole, per calcolare il resto della divisione tra P(x) e M(x) basta sostituire a all'interno di P(x).

Dimostrazione

Dimostrazione del Teorema del Resto

Dato il polinomio P(x) e il polinomio M(x) = x - a abbiamo che la divisione tra P(x) e M(x) è uguale a:

\frac{P(x)}{M(x)} = \frac{P(x)}{x - a} = Q(x) + \frac{R}{x - a}

dove Q(x) è il quoziente e R è il resto. L'espressione di sopra può essere scritta in questo modo:

P(x) = Q(x) \cdot (x - a) + R

Sostituendo x = a nell'espressione precedente otteniamo:

P(a) = Q(a) \cdot (a - a) + R

Ma a - a = 0 e Q(a) \cdot 0 = 0. Quindi:

P(a) = 0 + R

e quindi:

R = P(a)

Esempi

Proviamo a svolgere alcuni esempi per verificare il teorema del resto.

Esempio

Calcoliamo il resto della divisione tra il polinomio P(x) = x^6 + 3x^3 - 6 e il polinomio M(x) = x - 1.

Senza effettuare la divisione, sostiuiamo x = 1 all'interno di P(x):

P(1) = (1)^6 + 3 \cdot (1)^3 - 6 = 0

quindi il resto è 0.

Esempio

Calcoliamo il resto della divisione tra il polinomio P(x) = 3x^3 - 2x^2 + -5 e il polinomio M(x) = x - 2.

Senza effettuare la divisione, sostiuiamo x = 2 all'interno di P(x):

P(2) = 3 \cdot (2)^3 - 2 \cdot (2)^2 - 5
= 3 \cdot 8 - 2 \cdot 4 - 5
= 24 - 8 - 5
= 11

quindi il resto è 11.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto come calcolare il resto di una divisione tra polinomi senza dover effettuare la divisione stessa, ma solo nel caso in cui il polinomio divisore sia del tipo x - a. Questo risultato prende il nome di Teorema del Resto.

In pratica, il teorema ci dice che per calcolare il resto è sufficiente sostituire a, ossia l'opposto del termine noto del polinomio divisore, all'interno del polinomio dividendo:

R = P(a)

Nella prossima lezione vedremo un interessante corollario del teorema del resto che prende il nome di Teorema di Ruffini.

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