Teorema di Ruffini

In questa lezione vedremo un importante corollario del teorema del resto della divisione tra polinomi: il Teorema di Ruffini. Questo teorema prende il nome dal matematico italiano Paolo Ruffini che lo ha scoperto così come la regola di Ruffini.

Esso afferma che se sostituiamo l'opposto del termine noto del polinomio divisore nel polinomio dividendo e otteniamo un risultato pari a zero, allora il polinomio divisore divide il polinomio dividendo.

Grazie al teorema di Ruffini ricaveremo, inoltre, due nuovi prodotti notevoli del calcolo letterale: la differenza tra due cubi e la somma di due cubi.

Osservazione sul teorema del resto

Nella lezione precedente abbiamo studiato il teorema del resto che ci permette di calcolare il resto di una divisione tra polinomi senza dover effettuare la divisione stessa. Questo nel caso in cui il polinomio divisore abbia la forma x - a.

Ora, analizziamo la divisione tra i polinomi P(x) = {{x}^{3}}-6 {{x}^{2}}+9 x-4 e M(x) = x-4. Usiamo la regola di Ruffini:

\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & -6 & +9 & -4 \\ \\ +4 & \downarrow & & & \\ \hline & +1 & & & \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & -6 & +9 & -4 \\ \\ +4 & \downarrow & +4 & & \\ \hline & +1 & -2 & & \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & -6 & +9 & -4 \\ \\ +4 & \downarrow & +4 & -8 & \\ \hline & +1 & -2 & +1 & \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & -6 & +9 & -4 \\ \\ +4 & \downarrow & +4 & -8 & +4 \\ \hline & +1 & -2 & +1 & 0 \\ \end{array}

Il risultato della divisione è Q(x) = x^2 - 2x + 1 e il resto è R(x) = 0. Dato che il resto è nullo, possiamo dire che P(x) è divisibile per M(x). Inoltre, in base al teorema del resto, possiamo dire che P(+4) = 0.

Possiamo anche invertire il ragionamento, ossia dire che, in base al teorema del resto, dato che P(+4) = 0, allora P(x) è divisibile per M(x).

Generalizzando, possiamo dire che:

\begin{array}{cc} P(x) \text{ è divisibile per } (x - a) \\ \Updownarrow & \text{ per definizione } \\ R = 0 \\ \Updownarrow & \text{ teorema del resto } \\ P(a) = 0 \end{array} è

L'utilità di questo risultato è che possiamo verificare se un polinomio P(x) è divisibile per un polinomio (x-a) utilizzando direttamente il teorema del resto sostituendo a in P(x) e verificando che il risultato sia nullo.

Questa conseguenza del teorema del resto prende il nome di teorema di Ruffini.

Teorema di Ruffini

Definizione

Teorema di Ruffini

Se P(x) è un polinomio di grado n, con n \geq 1 e M(x) è un polinomio di grado 1 del tipo M(x) = x - a, allora P(x) è divisibile per M(x) se e solo se P(a) = 0:

P(x) \text{ è divisibile per } (x-a) \iff P(a) = 0 è

Esempi

Esempio

Prendiamo il polinomio:

P(x) = {{x}^{3}}-12 {{x}^{2}}+44 x-48

Vogliamo verificare se P(x) è divisibile per (x-4). Usando il teorema di Ruffini sostituiamo x = 4 in P(x):

P(4) = {{4}^{3}}-12 \cdot {{4}^{2}}+44 \cdot 4-48
= 64 - 12 \cdot 16 + 44 \cdot 4 - 48
= 64 - 192 + 176 - 48
= 0

Il risultato è nullo, quindi P(x) è divisibile per (x-4).

Esempio

Prendiamo il polinomio:

P(x) = 2x^2-17x-21

Vogliamo verificare se P(x) è divisibile per (x-1). Usando il teorema di Ruffini sostituiamo x = 1 in P(x):

P(1) = 2-17-21
= -32

Il risultato non è nullo, quindi P(x) non è divisibile per (x-1).

Differenza di due Cubi

Applicando il teorema di Ruffini possiamo ricavare un importante prodotto notevole: la differenza di due cubi.

Prendiamo il polinomio P(x) = x^3 - a^3. Sostituiamo in P(x) il valore di x = a:

P(a) = a^3 - a^3 = 0

Quindi P(x) è divisibile per (x-a) in base al teorema. Adesso proviamo a dividere applicando la regola di Ruffini i due polinomi:

\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & 0 & 0 & -a^3 \\ \\ +a & \downarrow & & & \\ \hline & +1 & & & \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & 0 & 0 & -a^3 \\ \\ +a & \downarrow & +a & & \\ \hline & +1 & +a & & \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & 0 & 0 & -a^3 \\ \\ +a & \downarrow & +a & +a^2 & \\ \hline & +1 & +a & +a^2 & \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & 0 & 0 & -a^3 \\ \\ +a & \downarrow & +a & +a^2 & +a^3 \\ \hline & +1 & +a & +a^2 & 0 \\ \end{array}

Da cui otteniamo che il resto è nullo, come ci aspettavamo, mentre il quoziente è:

Q(x) = x^2 + ax + a^2

Quindi possiamo riscrivere il polinomio P(x) come:

P(x) = (x - a)(x^2 + ax + a^2)

Tale risultato è un importante prodotto notevole, che prende il nome di differenza di due cubi:

Definizione

Differenza di due cubi

La differenza di due cubi è un prodotto notevole che permette di sviluppare la differenza di due espressioni letterali elevate al cubo:

A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)

Somma di due Cubi

Analogamente al caso di sopra possiamo ricavare anche il prodotto notevole della somma di due cubi.

Prendiamo il polinomio P(x) = x^3 + a^3. Sostituiamo in P(x) il valore di x = -a:

P(-a) = -a^3 + a^3 = 0

Quindi P(x) è divisibile per (x+a) in base al teorema di Ruffini. Dividiamo i due polinomi applicando la regola di Ruffini:

\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & 0 & 0 & +a^3 \\ \\ -a & \downarrow & & & \\ \hline & +1 & & & \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & 0 & 0 & +a^3 \\ \\ -a & \downarrow & -a & & \\ \hline & +1 & -a & & \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & 0 & 0 & +a^3 \\ \\ -a & \downarrow & -a & +a^2 & \\ \hline & +1 & -a & +a^2 & \\ \end{array}
\begin{array}{r|rrr|r} & +1 & 0 & 0 & +a^3 \\ \\ -a & \downarrow & -a & +a^2 & -a^3 \\ \hline & +1 & -a & +a^2 & 0 \\ \end{array}

Il resto è nullo, mentre il quoziente è:

Q(x) = x^2 - ax + a^2

Quindi possiamo riscrivere il polinomio P(x) come:

P(x) = (x + a)(x^2 - ax + a^2)

Anche in questo caso otteniamo un importante prodotto notevole, che prende il nome di somma di due cubi:

Definizione

Somma di due cubi

La somma di due cubi è un prodotto notevole che permette di sviluppare la somma di due espressioni letterali elevate al cubo:

A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)

Falsi quadrati

Nel ricavare i prodotti notevoli della differenza e della somma di due cubi abbiamo ottenuto delle espressioni del tipo:

(A^2 \pm AB + B^2)

Queste espressioni sono chiamate falsi quadrati in quanto assomigliano al quadrato di un binomio, ma manca il doppio prodotto:

Definizione

Falso quadrato

Un falso quadrato è un'espressione del tipo:

A^2 \pm AB + B^2

In Sintesi

In questa lezione abbiamo studiato un importante corollario del teorema del resto, il teorema di Ruffini. Questo ci permette di verificare se un polinomio è divisibile per un polinomio del tipo x - a. Basta sostituire a in P(x) e verificare che il risultato sia nullo.

Grazie al teorema di Ruffini abbiamo ricavato due nuovi prodotti notevoli, la differenza di due cubi e la somma di due cubi. Questi ci permettono di sviluppare la differenza e la somma di due espressioni letterali elevate al cubo.

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