Introduzione alle Equazioni Polinomiali

Le Equazioni Polinomiali sono equazioni numeriche riconducibili alla forma P(x) = 0, dove P(x) è un polinomio.

Un'equazione polinomiale ha coefficienti esclusivamente numerici e l'incognita non compare al denominatore di nessuna frazione.

In questa lezione stabiliremo alcuni concetti fondamentali sulle equazioni polinomiali e nel resto del capitolo ci concentreremo sulle equazioni lineari o equazioni di primo grado.

Concetti Chiave

Un'equazione polinomiale è un'equazione riconducibile alla forma P(x) = 0, dove P(x) è un polinomio;
Un'equazione polinomiale è in forma normale se il polinomio che la compone è in forma normale;
Il grado di un'equazione polinomiale è pari al grado del suo polinomio.

Equazioni polinomiali

Nella lezione precedente abbiamo studiato il concetto di equazioni equivalenti. In parole povere, due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Abbiamo, inoltre, studiato i princìpi di equivalenza che ci permettono di trasformare un'equazione data in un'altra equazione equivalente risolta dalle stesse soluzioni.

Adesso, possiamo sfruttare questi due concetti per introdurre la nozione di equazione polinomiale.

Presa un'equazione numerica e intera, ossia un'equazione dove l'incognita non appare in nessun denominatore e i coefficienti sono tutti numerici, si può dimostrare che essa è equivalente ad un'equazione di questo tipo:

a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \dots + a_1 \cdot x + a_0 = 0

dove il primo membro dell'equazione è un polinomio.

Per comprendere come sia possibile studiamo l'esempio che segue:

Esempio

Prendiamo la seguente equazione:

x^4 + 5x^2 - 3 = \frac{x + 6}{3} -4x^3 + 10

Possiamo portare tutti i termini noti e con l'incognita al primo membro usando il primo principio di equivalenza. In questo modo otteniamo:

\rightarrow \quad x^4 + 5x^2 - 3 - \frac{x + 6}{3} +4x^3 - 10 = 0

Successivamente, possiamo svolgere i calcoli, ottenendo:

\rightarrow \quad x^4 +4x^3 +5x^2 -\frac{1}{3}x - 13 + \frac{6}{3} = 0

\rightarrow \quad x^4 +4x^3 +5x^2 -\frac{1}{3}x - 11 = 0

Al primo membro abbiamo effettivamente ottenuto un polinomio.

Equazioni di questo tipo prendono il nome di Equazioni Polinomiali:

Definizione

Equazione polinomiale

Un'Equazione Polinomiale è un'equazione algebrica numerica che è riconducibile alla forma:

P(x) = 0

dove $P(x)$ è un polinomio nell'incognita $x$ :

P(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \dots + a_1 \cdot x + a_0 = 0

Il termine $a_0$ prende il nome di Termine noto dell'equazione.

Le equazioni polinomiali sono di importanza fondamentale in matematica in quanto ricorrono spesso nella risoluzione di problemi di svariate discipline.

Forma normale di un'equazione

Dal momento che un'equazione polinomiale può essere ricondotta ad un'uguaglianza tra zero ed un polinomio, sarà sempre possibile portare il polinomio stesso in forma normale.

Esempio

Prendiamo l'equazione che segue:

(2x - 3)^2 - x \cdot (4x^2 + 3) = 9

Essendo un'equazione numerica è anche un'equazione polinomiale. Possiamo portare il polinomio in forma normale e per farlo bisogna dapprima svolgere i calcoli al primo membro:

\rightarrow \quad 4x^2 -6x +9 -4x^3 -3x = 9

A questo punto portiamo il termine $9$ al primo membro, usando la regola del trasporto, e sommiamo i termini simili:

\rightarrow \quad -4x^3 + 4x^2 -9x +9 -9 = 0

\rightarrow \quad -4x^3 + 4x^2 -9x = 0

Il polinomio al primo membro è ora in forma normale.

Dato che è sempre possibile riportare un polinomio in forma normale, possiamo definire una forma normale anche per le equazioni polinomiali:

Definizione

Forma Normale di un'equazione polinomiale

La Forma Normale o Forma Canonica di un'equazione polinomiale è un'equazione ad essa equivalente nella forma:

P(x) = 0

dove il polinomio $P(x)$ è in forma normale.

Grado di un'equazione

Ad un'equazione polinomiale in forma canonica possiamo associare il grado del polinomio che la costituisce.

Definizione

Grado di un'equazione

Il Grado di un'equazione corrisponde al grado del polinomio in forma normale che la costituisce se essa è riconducibile ad un'equazione polinomiale.

Il grado è un'informazione molto importante su di un'equazione. Vedremo, infatti, che esiste il cosiddetto Teorema Fondamentale dell'Algebra che stabilisce che un'equazione di grado $n$ ammette esattamente $n$ soluzioni. Vedremo che tali soluzioni possono non essere numeri reali però rimandiamo la trattazione ad una lezione futura.

Equazioni lineari

Le più semplici equazioni polinomiali sono le equazioni di primo grado chiamate anche equazioni lineari:

Definizione

Equazione Lineare

Un'Equazione Lineare è un'equazione polinomiale di primo grado:

a_1 \cdot x + a_0 = 0

Le equazioni lineari prendono questo nome dal fatto che, in geometria analitica, esse sono utilizzate per rappresentare una retta (e quindi una linea) sul piano cartesiano. Studieremo l'equazione di una retta nelle lezioni di geometria analitica.

In questo capitolo della guida matematica ci concentreremo sul risolvere equazioni di primo grado o equazioni lineari.

In Sintesi

Lo scopo di questa lezione è stato quello di fissare alcuni concetti sulle equazioni numeriche partendo dai princìpi di equivalenza.

Abbiamo visto cos'è un'equazione polinomiale, la forma normale di un'equazione e soprattutto il grado di un'equazione.

Nella prossima lezione ci concentreremo sulle equazioni di primo grado e vedremo come risolverle.

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