Equazioni di Primo Grado

Un'Equazione di Primo Grado è il tipo più semplice di equazione numerica intera che è possibile incontrare.

Il procedimento per trovare la soluzione di un'equazione di primo grado consiste nel ricondurre l'equazione in una forma nota per poi verificare i valori del coefficiente dell'incognita e del termine noto.

In questa lezione vedremo nel dettaglio il procedimento risolutivo e quali verifiche effettuare per controllare che un'equazione sia determinata.

Concetti Chiave

Un'equazione di primo grado può essere ridotta nella forma ax = b;
In base ai valori di a e b l'equazione può essere determinata, indeterminata o impossibile.

Equazioni di Primo Grado

Un'equazione di Primo Grado è un'equazione numerica, quindi a coefficienti numerici, e polinomiale che può essere ridotta alla forma normale seguente:

a_1 \cdot x + a_0 = 0

Spesso risulta conveniente, usando il primo principio di equivalenza, riscrivere l'equazione in questo modo:

a \cdot x = b

dove

a = a_1, \quad b = -a_0

In altri termini, per i motivi che vedremo in questa lezione conviene portare il termine con l'incognita al primo membro e il termine noto al secondo membro.

Definizione

Equazioni di Primo Grado

Un'Equazioni di Primo Grado è un'equazione:

Intera, dove l'incognita non appare in nessun denominatore;
Numerica, dove i coefficienti sono numerici

che può essere ridotta nella seguente forma:

ax = b

Il termine $b$ prende il nome di Termine Noto.

Risoluzione di un'equazione di primo grado

Per poter risolvere un'equazione di primo grado il primo passo consiste, usando i princìpi di equivalenza, nel ridurre l'equazione nella forma:

ax = b

Per far questo, le indicazioni da tenere presente sono:

Portare tutti i termini con l'incognita al primo membro;
Portare tutti i termini noti al secondo membro;
Svolgere i calcoli in maniera tale da semplificare e ottenere la forma di sopra.

Proviamo ad esaminare un esempio.

Esempio

Risolviamo l'equazione di primo grado che segue:

(2x - 3)(2x + 3) + 4 (2 - x) = -(x - 9) + 4x(x - 2)

questa equazione non è nella forma desiderata. Per prima cosa ci conviene svolgere i calcoli nei due membri in maniera tale da avere soltanto somme algebriche di termini.

Da notare che la prima moltiplicazione corrisponde al prodotto notevole di una somma per una differenza:

(2x - 3)(2x + 3) = 4x^2 - 9

Svolgendo i calcoli otteniamo:

\rightarrow \quad 4x^2 - 9 + 8 - 4x = -x + 9 + 4x^2 -8x

Successivamente, seguendo le indicazioni, dobbiamo portare tutti i termini con l'incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro. Prima, però, ci conviene sommare tutti i termini simili:

\rightarrow \quad 4x^2 - 1 - 4x = -9x + 9 + 4x^2

Adesso possiamo cancellare i termini uguali da tutti e due i membri usando la regola di cancellazione:

\rightarrow \quad \cancel{4x^2} - 1 - 4x = -9x + 9 + \cancel{4x^2}

\rightarrow \quad - 1 - 4x = -9x + 9

A questo punto, usando la regola del trasporto, possiamo portare tutti i termini con l'incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro:

\rightarrow \quad 9x - 4x = 1 + 9

\rightarrow \quad 5x = 10

Abbiamo riportato l'equazione nella forma $ax=b$ .

Una volta che l'equazione è stata riportata nella forma $ax=b$ manca un ultimo passaggio.

Soluzione di un'equazione di primo grado

Quando un'equazione di primo grado è stata riportata nella forma $ax=b$ la soluzione dell'equazione dipende dai valori di $a$ e $b$ .

Applicando il secondo principio di equivalenza possiamo dividere ambo i membri dell'equazione per $a$ purché $a \neq 0$ , ossia sia diverso da zero. Per cui la soluzione finale sarà:

ax = b \quad \rightarrow \quad \frac{\cancel{a}}{\cancel{a}}x = \frac{b}{a}

\rightarrow \quad x = \frac{b}{a}

Ritornando all'esempio di prima, abbiamo che l'equazione si è trasformata nella forma:

5x = 10

Quindi $a = 5$ e $b = 10$ . Dato che $a$ è diverso da zero possiamo applicare il secondo principio ottenendo:

\rightarrow \quad x = \frac{10}{5} \quad \rightarrow \quad x = 2

Abbiamo potuto applicare in questo caso il secondo principio perché il coefficiente dell'incognita $a$ era diverso da zero. Questa è una condizione fondamentale affinché l'equazione sia determinata.

Definizione

Soluzione di un'Equazione di Primo Grado

Un'equazione di primo grado nella forma $ax=b$ è determinata, ossia ammette soluzione se e soltanto se il coefficiente dell'incognita risulta diverso da zero:

a \neq 0

In tal caso la Soluzione di un'equazione di primo grado risulta essere:

x = \frac{b}{a}

Equazioni di primo grado indeterminate e impossibili

Nel caso in cui il coefficiente dell'incognita $a$ è uguale a zero, non possiamo più applicare il secondo principio di equivalenza per risolvere l'equazione.

In questo caso l'equazione potrebbe essere indeterminata, quindi avere infinite soluzioni, oppure impossibile per cui non ammetterebbe soluzione. Ciò dipende dal valore del termine noto $b$ .

Primo caso: b = 0

Nel caso in cui il termine noto è pari a zero l'equazione assume questa forma:

0 \cdot x = 0

In questo caso, l'equazione ammette infinite soluzioni. Infatti, possiamo assegnare all'incognita $x$ un valore qualsiasi e l'uguaglianza sarebbe sempre verificata in quanto un numero moltiplicato per zero vale sempre zero.

Dunque l'insieme delle soluzioni è pari all'insieme dei numeri reali e l'equazione è indeterminata:

Definizione

Equazione di Primo Grado indeterminata

Un'equazione di primo grado nella forma $ax=b$ è indeterminata se si verificano le seguenti condizioni:

a = 0, \, b = 0

In tal caso l'insieme delle soluzioni è pari all'intero insieme dei numeri reali:

S = \mathbb{R}

Proviamo a risolvere un'esempio:

Esempio

Risolviamo la seguente equazione:

x(x + 7) + 9 = x + (x + 3)^2

Svolgiamo dapprima i calcoli in entrambe i membri:

\rightarrow \quad x^2 + 7x + 9 = x + x^2 + 6x + 9

Sommiamo i termini simili:

\rightarrow \quad x^2 + 7x + 9 = x^2 +7x + 9

Applicando la regola di cancellazione eliminiamo i termini $x^2$ :

\rightarrow \quad \cancel{x^2} + 7x + 9 = \cancel{x^2} +7x + 9

\rightarrow \quad 7x + 9 = 7x + 9

Portiamo i termini con l'incognita al primo membro e i termini noti al secondo, usando la regola del trasporto:

\rightarrow \quad 7x - 7x = 9 - 9

\rightarrow \quad 0x = 0

Abbiamo ricondotto l'equazione nella forma $ax=b$ e sia $a$ che $b$ sono uguali a zero, per cui l'equazione è indeterminata.

a = 0, \, b = 0 \quad \rightarrow \quad S = \mathbb{R}

Secondo caso: b ≠ 0

Nel caso in cui il termine noto è diverso da zero l'equazione assume la forma seguente:

0 \cdot x = b

In questo caso, però, l'equazione non ammette soluzione. Infatti, non esiste nessun numero che moltiplicato per zero dia un valore diverso da zero. L'equazione è impossibile:

Definizione

Equazione di Primo Grado impossibile

Un'equazione di primo grado nella forma $ax=b$ è impossibile se si verificano le seguenti condizioni:

a = 0, \, b \neq 0

In tal caso l'equazione non ammette soluzione e l'insieme delle soluzioni è vuoto:

S = \varnothing

Proviamo a risolvere un'esempio:

Esempio

Risolviamo la seguente equazione:

8x - 3 + 2x = 6x + 1 + 4x

Portiamo tutti i termini noti al secondo membro e tutti i termini con l'incognita al primo membro sfruttando la regola del trasporto:

\rightarrow \quad 8x + 2x - 6x - 4x = 3 + 1

Sommiamo i termini simili:

\rightarrow \quad 0x = 4

Abbiamo ricondotto l'equazione nella forma $ax=b$ . Tuttavia, mentre $a$ vale zero, il termine $b$ è diverso da zero. Per questo motivo l'equazione è impossibile.

a = 0, \, b = 4 \quad \rightarrow \quad S = \varnothing

Schema risolutivo

Riepilogando, per risolvere un'equazione di primo grado bisogna seguire lo schema seguente:

Consiglio

Applicando i princìpi di equivalenza si riporta l'equazione nella forma:

ax = b

Per farlo bisogna:
- Svolgere i calcoli;
- Riportare tutti i termini con l'incognita al primo membro;
- Riportare tutti i termini noti al secondo membro;
- Semplificare sommando tutti i termini simili.
Una volta che l'equazione è nella forma desiderata si ragiona sui valori di $a$ e $b$ :

Soluzione di un'equazione di primo grado

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto come risolvere un'equazione di primo grado. Il procedimento consiste dapprima nel riportare l'equazione nella forma:

ax = b

Successivamente, ragionando sui valori di $a$ e $b$ si determina se l'equazione è determinata, indeterminata o impossibile:

Se $a \neq 0$ allora la soluzione è $x = \frac{b}{a}$ ;
Se $a = 0$ e $b = 0$ allora l'equazione è indeterminata;
Se $a = 0$ e $b \neq 0$ allora l'equazione è impossibile.

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