Equazioni Fratte di Primo Grado

Un'Equazione Fratta di Primo Grado è un'equazione contenente frazioni algebriche in cui compare l'incognita al denominatore che possono essere ricondotte ad equazioni intere di primo grado.

Per risolvere un'equazione fratta di questo tipo si usano le stesse regole ricavate dai princìpi di equivalenza ma con un'accortenza in più. Bisogna, infatti, garantire che i denominatori in cui appare l'incognita siano diversi da zero. Per questo, nella risoluzione di tali equazioni bisogna imporre delle Condizioni di Esistenza.

In questa lezione vedremo lo schema risolutivo che ci permette di trovare la soluzione di equazioni fratte di primo grado.

Concetti Chiave

Le equazioni fratte di primo grado sono equazioni riconducibili ad equazioni intere di primo grado;
Per risolverle bisogna portare tutte le frazioni algebriche a denominatore comune;
Prima però vanno imposte delle Condizioni di esistenza affinché i denominatori siano diversi da zero;
Una volta trovata la soluzione bisogna verificare che essa soddisfi le condizioni di esistenza.

Equazioni fratte di Primo Grado

Dalla lezione introduttiva sulle equazioni sappiamo che esistono le equazioni intere e le equazioni fratte.

Un'equazione è intera se l'incognita non appare in nessun denominatore. Viceversa, in un'equazione fratta l'incognita appare almeno una volta in un denominatore.

In questa lezione ci concentreremo sulle equazioni fratte di primo grado ad una incognita, ossia equazioni fratte che possono essere ridotte ad equazioni di primo grado.

Definizione

Equazione fratta di Primo Grado

Un'equazione fratta di primo grado è un'equazione fratta ad una incognita che può essere ridotta ad un'equazione intera di primo grado.

Alcuni esempi di equazioni fratte di primo grado sono:

\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{3}{x - 2}

5 = \frac{3x}{x + 1}

Condizioni di Esistenza

In generale, il primo passaggio per poter risolvere un'equazione fratta di primo grado consiste nel cercare di rimuovere l'incognita dal denominatore.

Prendiamo un esempio:

\frac{x}{x + 1} = 2

Per rimuovere l'incognita al denominatore possiamo applicare il secondo principio di equivalenza e moltiplicare ambo i membri per il polinomio $x + 1$ , in questo modo:

\rightarrow \quad (x + 1) \cdot \frac{x}{x + 1} = 2 \cdot (x + 1)

A questo punto potremmo semplificare il primo membro dell'equazione rimuovendo il polinomio $x + 1$ sia al numeratore che al denominatore. Tuttavia, per poter fare questo, bisogna imporre la condizione che il polinomio sia diverso da zero, in altri termini bisogna imporre che:

x + 1 \neq 0

Questo perché, se tale polinomio valesse zero, la divisione non avrebbe significato:

(x + 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x + 1}{x + 1} = {\color{red}{\frac{0}{0}}}

Affinché il polinomio $x + 1$ sia diverso da zero l'incognita $x$ non dovrà mai assumere il valore $-1$ :

x + 1 \neq 0 \quad \rightarrow \quad x \neq -1

Questa condizione deve essere rispettata nel senso che, in caso contrario, l'equazione risulterebbe impossibile. In altre parole, se, risolvendo l'equazione, la soluzione dovesse violare questa condizione (cioè se $x$ dovesse valere $-1$ ) allora l'equazione risulterebbe impossibile.

Per questo motivo, questa condizione prende il nome di Condizione di esistenza.

Completiamo la risoluzione dell'equazione per verificare se la condizione viene rispettata. Avendo imposto la condizione possiamo, ora, semplificare la frazione al primo membro:

x \neq -1 \quad \rightarrow \quad \cancel{(x + 1)} \cdot \frac{x}{\cancel{x + 1}} = 2 \cdot (x + 1)

Quella che abbiamo ottenuto è, a tutti gli effetti, un'equazione di primo grado intera:

\rightarrow \quad x = 2 \cdot (x + 1)

Possiamo risolverla come una normale equazione di primo grado:

\rightarrow \quad x = 2x + 2

\rightarrow \quad x - 2x = 2

\rightarrow \quad -x = 2

\rightarrow \quad x = -2

Anche se abbiamo trovato una possibile soluzione manca un ultimo passaggio. Dobbiamo verificare che il valore appena ottenuto soddisfi la condizione di esistenza.

In effetti, la soluzione $x = -2$ è valida in quanto $-2 \neq -1$ . Dunque l'equazione ammette soluzione.

Definizione

Condizioni di Esistenza di un'Equazione fratta di Primo Grado

Le Condizioni di Esistenza di un'Equazione fratta di Primo Grado sono quelle condizioni da imporre alla soluzione affinché l'equazione sia determinata.

In altre parole, sono quelle condizioni per cui i denominatori in cui appare l'incognita siano diversi da zero.

Risoluzione di un'equazione fratta di primo grado

Una volta trovate le condizioni di esistenza di un'equazione fratta di primo grado, conviene sempre portare tutte le frazioni algebriche presenti a denominatore comune. Così facendo, possiamo ricondurre l'equazione ad un'equazione intera.

Proviamo con un esempio più complesso. Risolviamo l'equazione che segue:

\frac{3x}{x+2} + \frac{2x}{x-7} = \frac{5x + 6}{x+2}

In questo caso abbiamo tre frazioni algebriche e altrettanti denominatori in cui compare l'incognita.

La prima cosa da fare è trovare le condizioni di esistenza di tali frazioni, ossia trovare quei valori che rendono nulli i denominatori. Andiamo per ordine:

x + 2 \neq 0 \quad \rightarrow \quad x \neq -2

x - 7 \neq 0 \quad \rightarrow \quad x \neq 7

Quindi le condizioni di esistenza sono:

x \neq -2 \, \wedge \, x \neq 7

Ossia, la soluzione dell'equazione deve appartenere all'insieme:

x \in \mathbb{R} - \{ -2, 7 \}

Avendo imposto tali condizioni, riportiamo tutte le frazioni algebriche a denominatore comune:

\frac{3x \cdot (x - 7)}{(x+2) \cdot (x - 7)} + \frac{2x \cdot (x + 2)}{(x+2) \cdot (x - 7)} = \frac{(5x + 6) \cdot (x - 7)}{(x+2) \cdot (x - 7)}

Dato che tutte le frazioni presenti hanno uguale denominatore, usando la regola della riduzione a coefficienti interi possiamo rimuovere tutti i denominatori in questo modo:

3x \cdot (x - 7) + 2x \cdot (x + 2) = (5x + 6) \cdot (x - 7)

A questo punto possiamo risolvere l'equazione normalmente come un'equazione di primo grado. Svolgiamo dapprima i calcoli in entrambe i membri:

\rightarrow \quad 3x^2 - 21x + 2x^2 + 4x = 5x^2 -35x + 6x - 42

Sommiamo i termini simili:

\rightarrow \quad 5x^2 -17x = 5x^2 -29x -42

Applicando la regola di cancellazione eliminiamo il termine $5x^2$ :

\rightarrow \quad \cancel{5x^2} -17x = \cancel{5x^2} -29x -42

Portiamo i termini con l'incognita al primo membro:

\rightarrow \quad 29x - 17x = -42

\rightarrow \quad 12x = -42

Abbiamo un'equazione di primo grado nella forma $ax=b$ . Il coefficiente $a$ è diverso da zero per cui l'equazione ha soluzione:

\rightarrow \quad x = -\frac{42}{12}

\rightarrow \quad x = - \frac{7}{2}

L'ultimo passaggio consiste nel verificare che la soluzione $x=- \frac{7}{2}$ soddisfi le condizioni di esistenza:

x \in \mathbb{R} - \{ -2, 7 \}

La soluzione $- \frac{7}{2}$ è diversa sia da $-2$ che da $7$ per cui è una soluzione ammissibile. L'equazione è dunque determinata.

Schema Risolutivo

Ricapitolando, lo schema risolutivo per la risoluzione di un'equazione fratta di primo grado è il seguente:

Consiglio

Si determinano le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche presenti nell'equazione. In particolare si determinano le condizioni affinché i denominatori siano diversi da zero;
Si portano tutte le frazioni algebriche a denominatore comune;
Si moltiplicano ambo i membri dell'equazione per tale denominatore in maniera tale da ricondurre l'equazione ad un'equazione intera;
Si trova la soluzione dell'equazione;
Si verifica che la soluzione dell'equazione sia accettabile, ossia si verifica che la soluzione soddisfi le condizioni di esistenza.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto le equazioni fratte di primo grado chiamate anche equazioni fratte di primo grado.

Tali equazioni contengono frazioni algebriche in cui l'incognita appare almeno in un denominatore. Sono di primo grado in quanto sono riconducibili ad equazioni intere di primo grado.

Per risolverle bisogna imporre delle condizioni di esistenza in maniera tale che i denominatori non valgano zero. Infatti, per ricondurle ad equazioni intere bisogna portare tutte le frazioni a denominatore comune. Nel far questo, però, bisogna dividere le frazioni per quantità che devono essere diverse da zero.

Una volta trovata la soluzione, bisogna controllare che le condizioni di esistenza siano soddisfatte altrimenti l'equazione risulta impossibile.

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