Equazioni Parametriche di Primo Grado

Un'Equazione parametrica di primo grado, detta anche equazione letterale di primo grado, è un'equazione contenente altre lettere o parametri riconducibile ad un'equazione di primo grado.

Risolvere un'equazione parametrica tipo consiste nel trovare un'espressione dell'incognita in funzione dei parametri.

Il valore della soluzione varia al variare dei parametri, pertanto a seconda di tali valori l'equazione può essere determinata, e quindi ammettere soluzione, indeterminata o impossibile.

In questa lezione ci occuperemo delle equazioni parametriche di primo grado sia intere che fratte.

Concetti Chiave

Risolvere un'equazione parametrica significa trovare un'espressione della soluzione in termini dei parametri presenti;
Potrebbe essere necessario imporre delle condizioni di esistenza ai parametri;
A seconda dei valori che i parametri assumono l'equazione potrebbe essere determinata, indeterminata o impossibile;
Una volta trovata la soluzione bisogna verificare per quali valori dei parametri la soluzione viola le condizioni di esistenza.

Equazioni Parametriche

In un'equazione numerica non appare nessun altra quantità letterale se non l'incognita. Viceversa, in un'equazione letterale o parametrica appaiono anche altre lettere che prendono il nome di parametri.

Un esempio di equazione parametrica è il seguente:

a \cdot x + 2b - 5 = 3b

In questa equazione, oltre all'incognita $x$ appaiono anche le lettere $a$ e $b$ . La differenza sostanziale tra parametro ed incognita è che, nella risoluzione dell'equazione, siamo interessati a trovare la soluzione in termini dei parametri stessi. Ossia, la soluzione non sarà un semplice valore numerico come nel caso delle equazioni numeriche, ma un'espressione algebrica in funzione dei parametri.

Il secondo punto fondamentale è che, trovata la soluzione sotto forma di espressione algebrica, siamo interessati ad analizzare i valori che l'incognita può assumere al variare dei parametri.

Prendiamo un semplice esempio:

Esempio

Risolviamo l'equazione parametrica che segue:

5x - a = 7

Applicando il primo principio di equivalenza, possiamo trasportare il parametro $a$ al secondo membro:

\rightarrow \quad 5x = a + 7

Successivamente, applicando il secondo principio di equivalenza, dividiamo ambo i membri per $5$ :

\rightarrow \quad x = \frac{a + 7}{5}

La soluzione è, quindi, un'espressione algebrica in funzione del parametro $a$ .

Implicitamente, dato che non è stato specificato diversamente, assumiamo che il parametro $a$ possa variare in tutto l'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ , ossia il parametro può assumere un qualsiasi valore reale.

Quindi, assegnando un valore qualunque al parametro $a$ otteniamo il corrispondente valore dell'incognita $x$ .

Ad esempio:

a = 0 \quad \rightarrow \quad x = \frac{7}{5}

a = -1 \quad \rightarrow \quad x = \frac{-1 + 7}{5} = \frac{6}{5}

a = 2 \quad \rightarrow \quad x = \frac{2 + 7}{5} = \frac{9}{5}

Le equazioni parametriche compaiono spesso in fisica dove, ad esempio, l'incognita di un'equazione rappresenta una grandezza e i parametri rappresentano altre grandezze note.

Esempio

Supponiamo, ad esempio, di volere determinare la distanza percorsa in un certo tempo da un'automobile che si muove alla velocità costante di $120 \, \mathrm{Km}/\mathrm{h}$ .

Possiamo indicare la distanza percorsa in chilometri con l'incognita $x$ ed il tempo trascorso in ore con il parametro $t$ . Per cui, la distanza percorsa si può esprimere con l'equazione parametrica:

x = 120 \cdot t

Al variare di t, che indica le ore, possiamo conoscere la distanza percorsa in chilometri. Ad esempio dopo due ore la distanza diventa:

t = 2 \, \mathrm{h} \quad \rightarrow \quad x = 240 \, \mathrm{Km}

Dopo quattro ore la distanza risulta essere:

t = 4 \, \mathrm{h} \quad \rightarrow \quad x = 480 \, \mathrm{Km}

Come abbiamo visto nell'esempio precedente, tratto dalla cinematica, risolvere un'equazione parametrica consiste nel trovare un'espressione dell'incognita in termini dei parametri e, successivamente, ragionare sui valori che l'incognita assume al variare di tali parametri.

Un parametro non necessariamente può variare in tutto l'insieme dei numeri naturali. I valori che può assumere potrebbero appartenere ad un insieme ristretto. Tornando all'esempio di prima, infatti, abbiamo che il parametro $t$ rappresenta il tempo trascorso dalla partenza dell'auto, per cui non ha senso che esso assuma valori negativi. Non avrebbe senso, infatti, che tale parametro valga $-1$ o $-2$ , ad esempio, perché rappresenterebbero istanti di tempo precedenti alla partenza dell'auto stessa. Quindi il parametro $t$ può variare all'interno dell'insieme dei numeri reali positivi: $\mathbb{R^+}$ .

In generale, quando non specificato, si assume che l'insieme dei valori che un parametro possa assumere coincida con l'insieme dei numeri reali.

L'insieme entro cui un parametro può variare prende il nome di dominio del parametro.

Ricapitolando:

Definizione

Equazione Parametrica

Un'Equazione Parametrica o Equazione Letterale è un'equazione in cui, oltre all'incognita, appaiono anche altre quantità letterali che prendono il nome di parametri.

Risolvere un'Equazione Parametrica consiste nel trovare un'espressione dell'incognita in termini dei parametri presenti.

Definizione

Parametro

Un Parametro di un'equazione parametrica è una costante letterale che può assumere tutti i valori di un determinato insieme.

L'insieme dei valori che il parametro può assumere prende il nome di Dominio del Parametro.

Equazioni Parametriche di Primo Grado

Concentriamoci, adesso, sullo studio delle equazioni parametriche di primo grado. Tali equazioni sono equazioni intere e parametriche che possono essere ricondotte ad equazioni di primo grado.

Per questo motivo, tali equazioni possono essere ricondotte alla forma:

ax = b

dove però il coefficiente $a$ e il termine noto $b$ possono essere espressioni algebriche contenenti parametri. Ossia, può accadere che $a$ e $b$ non siano semplici valori numerici.

Prendiamo un esempio:

Esempio

Risolviamo la seguente equazione:

cx -3c = 2x

In questa equazione, oltre all'incognita, appare anche il parametro $c$ .

Proviamo a ricondurre l'equazione alla forma $ax=b$ :

\rightarrow \quad cx - 2x = 3c

\rightarrow \quad (c - 2) \cdot x = 3c

A questo punto la nostra equazione è stata ridotta alla forma $ax = b$ . In particolare, abbiamo che:

a = c - 2

b = 3c

Dalla teoria sulle equazioni di primo grado sappiamo che un'equazione è determinata se e solo se il coefficiente $a$ è diverso da zero. Per cui imponiamo che:

a \neq 0 \quad \rightarrow \quad c - 2 \neq 0

\rightarrow \quad c \neq 2

In altre parole, il parametro $c$ non può assumere qualsiasi valore reale. Se assumesse il valore $2$ l'equazione non sarebbe più determinata.

Imponendo, quindi, $c \neq 2$ possiamo dividere primo e secondo membro per $(c-2)$ :

x = \frac{3c}{c - 2}

Abbiamo ottenuto la soluzione in termini del parametro $c$ .

Cosa accade se il parametro $c$ vale $2$ ? Analizziamo questo caso separatamente:

(c - 2) \cdot x = 3c \quad c = 2 \quad \rightarrow

\rightarrow \quad 0 \cdot x = 3 \cdot 2

\rightarrow \quad 0 \cdot x = 6

Abbiamo, in questo caso, che il coefficiente $a$ è pari a zero, mentre il termine noto vale $6$ : l'equazione risulta impossibile e non ammette soluzione.

Ricapitolando:

Se $c \neq 2$ l'equazione è determinata: $x = \frac{3c}{c - 2}$
Se $c = 2$ l'equazione è impossibile.

Dall'esempio risulta evidente che nel risolvere equazioni parametriche di primo grado bisogna fare attenzione ai valori che parametri possono assumere. In base a tali valori, un'equazione può risultare determinata, indeterminata o impossibile.

Un parametro potrebbe apparire anche al denominatore di una frazione algebrica per cui, in tal caso, bisogna anche ragionare sulle condizioni di esistenza.

Chiariamo con un esempio:

Esempio

Risolviamo l'equazione che segue:

\frac{x}{2 - s} = s + 3

In questa equazione appare il parametro $s$ . Tale parametro appare al denominatore di una frazione algebrica. Bisogna, pertanto, imporre che tale denominatore sia diverso da zero affinché la frazione abbia senso:

2 - s \neq 0

\rightarrow \quad s \neq 2

In altre parole, il parametro $s$ non può assumere valore $2$ affinché l'equazione possa avere soluzione.

Imposta questa condizione possiamo moltiplicare i due membri per $(2 - s)$ :

x = (s + 3) \cdot (s + 2)

\rightarrow \quad x = s^2 + 2s + 3s + 6

\rightarrow \quad x = s^2 + 5s + 6

Abbiamo trovato la soluzione in termini di $s$ . Tuttavia, sebbene possa sembrare che tale soluzione sia valida per qualunque valore di $s$ , dobbiamo escludere il caso $s=2$ . In tal caso l'equazione non ammette soluzione.

Ricapitolando:

Definizione

Equazione Parametrica di Primo Grado

Un'Equazione Parametrica di Primo Grado è un'equazione parametrica riconducibile ad un'equazione di primo grado nella forma:

ax = b

In tal caso il coefficiente $a$ e il termine noto $b$ possono essere espressioni algebriche in termini di uno o più parametri.

Il fatto che una equazione di questo tipo possa essere determinata, indeterminata o impossibile dipende dai valori che assumono tali parametri.

Schema risolutivo

Possiamo ricavare uno schema risolutivo per le equazioni parametriche di primo grado:

Consiglio

Schema risolutivo per le equazioni parametriche di primo grado

Se uno o più parametri appaiono ad uno o più denominatori di frazioni algebriche si impongono le condizioni di esistenza affinché tali denominatori siano diversi da zero.
Si riconduce l'equazione alla forma $ax = b$
Se il coefficiente $a$ contiene parametri si trovano i valori dei parametri per cui $a \neq 0$ .
Si trova la soluzione $x = \frac{b}{a}$
Per i valori dei parametri che annullano $a$ si verifica se per tali valori $b$ sia uguale a zero o meno:
1. Se per tali valori vale che $b=0$ allora l'equazione è indeterminata per tali valori dei parametri.
2. Se per tali valori vale che $b \neq 0$ allora l'equazione è impossibile per tali valori dei parametri.

Equazioni Parametriche Fratte di Primo Grado

Gli stessi ragionamenti che abbiamo fatto per le equazioni parametriche di primo grado possono essere applicati alle equazioni parametriche fratte di primo grado.

Un'equazione parametrica fratta di primo grado è un'equazione parametrica fratta riconducibile ad un'equazione di primo grado.

Anche per queste equazioni bisogna imporre delle condizioni di esistenza affinché i denominatori delle frazioni algebriche che compaiono siano diverse da zero. La complicazione aggiuntiva è che le condizioni di esistenza vanno imposte eventualmente anche ai parametri.

Proviamo a chiarire con un esempio.

Esempio

Risolviamo la seguente equazione:

\frac{2}{2 - x} - 1 = \frac{ax + 1}{2 - x}

In questa equazione, oltre all'incognita $x$ appare anche il parametro $a$ .

Per prima cosa, imponiamo le condizioni di esistenza affinché i denominatori siano diversi da zero:

2 - x \neq 0

\rightarrow \quad x \neq 2

Quindi la soluzione deve essere diversa da $2$ .

Risolviamo l'equazione riconducendola alla forma $ax = b$ :

\rightarrow \quad (2 - x) \cdot \frac{2}{2 - x} - (2 - x) = (2 - x) \cdot \frac{ax + 1}{2 - x}

\rightarrow \quad 2 - 2 + x = ax

\rightarrow \quad x = ax + 1

\rightarrow \quad x - ax = 1

\rightarrow \quad (1 - a) \cdot x = 1

Adesso l'equazione è nella forma $ax = b$ . Per poter ammettere soluzione dobbiamo avere che il coefficiente dell'incognita sia diverso da zero, per cui:

1 - a \neq 0

\rightarrow \quad a \neq 1

Detto questo, possiamo calcolare la soluzione:

x = \frac{1}{1 - a}

Tale soluzione deve, però, rispettare la condizione di esistenza: $x \neq 2$ . Per cui:

\frac{1}{1 - a} \neq 2

\rightarrow \quad 1 \neq 2 \cdot (1 - a)

\rightarrow \quad 1 \neq 2 - 2a

\rightarrow \quad 2a \neq 2 - 1

\rightarrow \quad a \neq \frac{1}{2}

Quindi l'equazione ammette soluzione se e soltanto se $a \neq 1$ e $a \neq \frac{1}{2}$ :

x = \frac{1}{1 - a} \quad \forall a \in \mathbb{R} - \left\{ 1, \frac{1}{2} \right\}

Quello che ci mostra questo esempio è che nel risolvere le equazioni parametriche fratte di primo grado la verifica della soluzione richiede un passaggio aggiuntivo. Ossia, bisogna controllare, una volta trovata la soluzione, per quali valori dei parametri le condizioni di esistenza sono rispettate.

Ricapitolando:

Definizione

Equazione parametrica fratta di Primo Grado

Un'equazione parametrica fratta di primo grado è un'equazione parametrica fratta ad una incognita che può essere ridotta ad un'equazione intera di primo grado.

Definizione

Condizioni di Esistenza di un'Equazione parametrica fratta di Primo Grado

Le Condizioni di Esistenza di un'Equazione parametrica fratta di Primo Grado sono quelle condizioni da imporre alla soluzione affinché l'equazione sia determinata. Trovata la soluzione in termini dei parametri, bisogna verificare per quali valori dei parametri le condizioni sono rispettate.

Schema risolutivo

Lo schema risolutivo per la risoluzione di un'equazione parametrica fratta di primo grado è il seguente:

Consiglio

Si determinano le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche presenti nell'equazione. In particolare si determinano le condizioni affinché i denominatori siano diversi da zero. Tali condizioni possono riguardare sia i parametri che l'incognita;
Si portano tutte le frazioni algebriche a denominatore comune;
Si moltiplicano ambo i membri dell'equazione per tale denominatore in maniera tale da ricondurre l'equazione ad un'equazione intera;
Si trova la soluzione dell'equazione;
Si verifica per quali valori dei parametri la soluzione dell'equazione sia accettabile, ossia si verifica per quali valori dei parametri la soluzione soddisfi le condizioni di esistenza.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo studiato le equazioni parametriche di primo grado. La differenza rispetto a normali equazioni è che esse contengono anche altre quantità letterali che prendono il nome di parametri.

Risolvere un'equazione parametrica non è molto differente dalla risoluzione di un'equazione intera. Bisogna prestare però attenzione ai valori che i parametri possono assumere.

Prima di tutto, bisogna verificare se i parametri appaiono al denominatore di una o più frazioni algebriche. In tal caso è necessario imporre delle condizioni di esistenza anche ai parametri affinché tali denominatori siano diversi da zero.

Successivamente, bisogna analizzare per quali valori dei parametri l'equazione ammette soluzione, ossia per quali valori l'equazione risulta determinata.

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