Combinazioni Lineari

Un aspetto importante degli spazi vettoriale è il fatto che possiamo combinare gli elementi, o vettori, ad essi appartenenti in modo da ottenere altri vettori.

Combinando moltiplicazioni per scalari e somme di vettori otteniamo, infatti, un nuovo vettore che prende il nome di combinazione lineare.

In questa lezione daremo la definizione formale di combinazione lineare e vedremo alcuni esempi di combinazioni lineari in vari spazi vettoriali.

Combinazioni Lineari

Dati una serie di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale, possiamo applicare ripetutamente le operazioni di somma e prodotto per scalare per ottenere nuovi vettori. Questi nuovi vettori sono detti combinazioni lineari dei vettori originali.

Definizione

Definizione di Combinazione Lineare

Sia \mathbf{V} uno spazio vettoriale sul campo \mathbb{F}.

Siano \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n vettori in \mathbf{V} e \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n scalari in \mathbb{F}.

Si chiama Combinazione Lineare il vettore \mathbf{v} definito come:

\mathbf{v} = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2 \mathbf{v}_2 + \ldots + \alpha_n \mathbf{v}_n

Gli scalari \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n sono detti coefficienti della combinazione lineare.

Proviamo a vedere qualche esempio di combinazione lineare in vari spazi vettoriali.

Esempio: Combinazione Lineare in \mathbb{R}^2

Riprendiamo lo spazio vettoriale dei vettori colonna di \mathbb{R}^2 sul campo \mathbb{R}.

Prendiamo il vettore:

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \end{bmatrix}

Possiamo esprimere il vettore di sopra come combinazione lineare dei vettori:

\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}

Infatti:

\mathbf{v} = 2 \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}

Dove 2 e 3 sono i coefficienti della combinazione lineare.

Viceversa, se prendiamo il vettore:

\mathbf{v'} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}

Non possiamo esprimere \mathbf{v'} come combinazione lineare dei vettori \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2. Infatti non esistono due scalari \alpha_1 e \alpha_2 tali che:

\nexists \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R} \quad \text{tali che} \quad \mathbf{v'} = \alpha_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} + \alpha_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}

Esempio: Combinazione Lineare in \mathbb{R}^3

Prendiamo lo spazio vettoriale dei vettori colonna di \mathbb{R}^3 sul campo \mathbb{R}.

Prendiamo il vettore:

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Possiamo esprimere il vettore di sopra come combinazione lineare dei vettori:

\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

Infatti possiamo scrivere \mathbf{v} come:

\mathbf{v} = 2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

Dove 2 e 3 sono i coefficienti della combinazione lineare.

Esempio: Combinazione lineare tra matrici quadrate

Consideriamo lo spazio delle matrici quadrate \mathbb{M}_\mathbb{R}(2, 2) sul campo \mathbb{R}.

Prendiamo la matrice:

\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Possiamo esprimere la matrice di sopra come combinazione lineare delle matrici:

\mathbf{M}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \mathbf{M}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \quad \mathbf{M}_3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

Infatti, scegliendo come coefficienti 1, 3 e 2 possiamo scrivere:

\mathbf{M} = 1 \cdot \mathbf{M}_1 + 3 \cdot \mathbf{M}_2 + 2 \cdot \mathbf{M}_3
= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Esempio: Combinazione lineare di Polinomi

Consideriamo lo spazio dei polinomi a coefficienti reali nella sola variabile x: \mathbb{R}[x].

Prendiamo il polinomio:

p(x) = 2x^2 + 3x + 1

Possiamo esprimere il polinomio di sopra come combinazione lineare dei polinomi:

p_1(x) = x^2 \quad p_2(x) = x \quad p_3(x) = 1

Infatti, scegliendo i coefficienti 2, 3 e 1 possiamo scrivere:

p(x) = 2 \cdot p_1(x) + 3 \cdot p_2(x) + 1 \cdot p_3(x)

Prodotto Matrice per Vettore e Combinazioni Lineari

Riprendiamo l'operazione di prodotto di una matrice per un vettore. Sia \mathbf{A} una matrice m \times n a valori reali e \mathbf{v} un vettore colonna di \mathbb{R}^n.

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}

Possiamo vedere che il prodotto \mathbf{A} \mathbf{v} è una combinazione lineare delle colonne, o meglio dei vettori colonna, di \mathbf{A} con i coefficienti pari a v_1, v_2, \ldots, v_n.

In pratica, consideriamo le singole colonne di \mathbf{A} come vettori colonna:

\mathbf{c_1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} \quad \mathbf{c_2} = \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix} \quad \ldots \quad \mathbf{c_n} = \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix}

Abbiamo che il prodotto \mathbf{A} \mathbf{v} è:

\mathbf{A} \mathbf{v} = v_1 \mathbf{c_1} + v_2 \mathbf{c_2} + \ldots + v_n \mathbf{c_n}

La dimostrazione è semplice e si basa sulla definizione di prodotto di matrici. Se proviamo a calcolare il prodotto \mathbf{A} \mathbf{v} otteniamo:

\mathbf{A} \mathbf{v} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + \ldots + a_{1n} v_n \\ a_{21} v_1 + a_{22} v_2 + \ldots + a_{2n} v_n \\ \vdots \\ a_{m1} v_1 + a_{m2} v_2 + \ldots + a_{mn} v_n \end{bmatrix}
= v_1 \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} + v_2 \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix} + \ldots + v_n \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix}
= v_1 \mathbf{c_1} + v_2 \mathbf{c_2} + \ldots + v_n \mathbf{c_n}

Vediamo con un esempio numerico. Supponiamo di voler calcolare il seguente prodotto matrice per vettore:

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} =

Possiamo scrivere il prodotto come:

= 2 \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} + 4 \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 2 \\ 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 \\ 15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 \\ 24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 \\ 47 \end{bmatrix}

Questa proprietà è molto importante perché ci permette di esprimere il prodotto di una matrice per un vettore nei termini di operazioni che si effettuano in uno spazio vettoriale.

Definizione

Proprietà del Prodotto Matrice per Vettore

Sia \mathbf{A} una matrice m \times n a valori nel campo \mathbb{F} e \mathbf{v} un vettore colonna di \mathbb{F}^n.

Il prodotto \mathbf{A} \mathbf{v} è una combinazione lineare delle colonne di \mathbf{A} con i coefficienti pari ai valori del vettore \mathbf{v}:

\mathbf{A} \mathbf{v} = v_1 \mathbf{c_1} + v_2 \mathbf{c_2} + \ldots + v_n \mathbf{c_n}

Dove \mathbf{c_1}, \mathbf{c_2}, \ldots, \mathbf{c_n} sono le colonne di \mathbf{A}.

In Sintesi

Abbiamo visto cosa sono le combinazioni lineari in uno spazio vettoriale: si tratta di nuovi vettori ottenuti combinando altri vettori dello spazio tramite somme e prodotti per scalari.

Abbiamo anche esaminato alcuni esempi di combinazioni lineari in vari spazi vettoriali, come \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, lo spazio delle matrici quadrate e lo spazio dei polinomi.

Adesso, nella prossima lezione, analizzeremo il concetto di sotto-spazio vettoriale, ovvero sottoinsiemi di uno spazio vettoriale che sono essi stessi spazi vettoriali.

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