Potenza Mutua e Ortogonalità di Segnali

In questa lezione viene affrontato il concetto di potenza mutua, fondamentale per comprendere l'interazione tra segnali di potenza.

Si analizza come, attraverso l'additività della potenza, la somma di due segnali dipenda non solo dalle loro potenze individuali, ma anche dal loro grado di interferenza reciproca.

Vengono illustrati esempi pratici che mostrano come la presenza o l'assenza di potenza mutua influenzi il comportamento complessivo dei segnali. Inoltre, si evidenzia l'importanza della separazione tra componente continua e alternata, evidenziando le proprietà di ortogonalità.

Potenza Mutua

Nella lezione precedente abbiamo visto che l'insieme dei segnali di energia è chiuso rispetto alle operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare. Detto in altri termini, se $x(t)$ e $y(t)$ sono segnali di energia, allora anche $x(t) + y(t)$ e $ax(t)$ sono segnali di energia, dove $a$ è uno scalare.

Adesso mostriamo che anche l'insieme dei segnali di potenza è chiuso rispetto alle medesime operazioni.

Andiamo per ordine e consideriamo dapprima la moltiplicazione per uno scalare $\alpha \in \mathbb{C}$ . Sia $x(t)$ un segnale di potenza, quindi:

P_x = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt &lt; +\infty

Se consideriamo il segnale che otteniamo dal prodotto di $x(t)$ per lo scalare $\alpha$ , otteniamo:

P_{\alpha x} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |\alpha x(t)|^2 dt = |\alpha|^2 P_x

Quindi, il prodotto di un segnale di potenza per uno scalare è anch'esso un segnale di potenza.

Ora consideriamo la somma di due segnali di potenza $x(t)$ e $y(t)$ :

P_{x+y} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t) + y(t)|^2 dt

La funzione integranda risulta essere:

|x(t) + y(t)|^2

Sviluppando il quadrato, otteniamo:

|x(t) + y(t)|^2 = |x(t)|^2 + |y(t)|^2 + 2 \text{Re} \{ x(t) y^*(t) \}

Dove $y^*(t)$ è il complesso coniugato di $y(t)$ . Quindi, possiamo scrivere:

P_{x+y} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt + \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |y(t)|^2 dt + 2 \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} \text{Re} \{ x(t) y^*(t) \}

Dove i primi due termini sono finiti, in quanto $x(t)$ e $y(t)$ sono segnali di potenza e corrispondono alle potenze $P_x$ e $P_y$ :

P_{x+y} = P_x + P_y + 2 \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} \text{Re} \{ x(t) y^*(t) \}

Possiamo riscrivere il terzo termine come:

2 \Re \left\{ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x(t) y^*(t) \right\}

Dove il termine tra le parentesi graffe è definito come la potenza mutua tra i segnali $x(t)$ e $y(t)$ , che indichiamo con $P_{xy}$ :

P_{xy} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x(t) y^*(t)

Quindi, possiamo scrivere:

P_{x+y} = P_x + P_y + 2 \Re \left\{ P_{xy} \right\}

Definizione

Potenza Mutua

Siano dati due segnali di potenza, $x(t)$ e $y(t)$ definiti come:

x: \mathbb{R} \to \mathbb{C}

y: \mathbb{R} \to \mathbb{C}

La Potenza Mutua tra i segnali $x(t)$ e $y(t)$ è definita come:

P_{xy} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x(t) y^*(t)

In generale la potenza mutua è una quantità complessa. Infatti, dal momento che il secondo segnale è presente con l'operazione di coniugazione complessa, vale che:

P_{xy} = P_{yx}^*

Ossia, invertendo i segnali, otteniamo il coniugato complesso della potenza mutua originale.

Nel caso in cui i due segnali siano a valori reali, la potenza mutua risulta simmetrica:

P_{xy} = P_{yx}

Inoltre, in tal caso la potenza mutua risulta essere reale e può avere un segno qualsiasi.

Pertanto in questo caso possiamo riscrivere la potenza della somma dei due segnali come:

P_{x+y} = P_x + P_y + 2 P_{xy}

Ortogonalità di Segnali di Potenza

Così come per l'energia anche per la potenza, in generale, non vale la proprietà di additività. Infatti, se $x(t)$ e $y(t)$ sono segnali di potenza, non è detto che la potenza della somma dei due segnali sia uguale alla somma delle potenze dei singoli segnali.

L'unico caso in cui ciò accade è quando i due segnali hanno potenza mutua nulla, ossia:

P_{x+y} = P_x + P_y \quad \Leftrightarrow \quad P_{xy} = 0

In questo caso i due segnali sono ortogonali e si dice che sono ortogonali in potenza.

Definizione

Ortogonalità di Segnali di Potenza

Dati due segnali di Potenza $x(t)$ e $y(t)$ , essi si dicono ortogonali se:

P_{xy} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x(t) y^*(t) = 0

Il fatto che la potenza della somma di due segnali di potenza non equivalga, in generale, alla somma delle singole potenze è un risultato molto importante di cui bisogna sempre tenere conto. Anche perché, se due segnali non sono ortogonali, la potenza della somma potrebbe essere minore della somma delle potenze dei singoli segnali e quindi i due segnali interferirebbero tra di loro in maniera distruttiva.

Vediamo, ora, qualche esempio di calcolo della potenza mutua e di ortogonalità tra segnali di potenza.

Abbiamo visto che la potenza della somma di due segnali sinusoidali è pari alla somma delle potenze se le frequenze (o le pulsazioni) dei due segnali sono diverse. Pertanto, se consideriamo due segnali sinusoidali di potenza con frequenze diverse, sappiamo che essi sono ortogonali in potenza.

Adesso proviamo a considerare due segnali sinusoidali di potenza:

x(t) = A \cos(2 \pi f t)

y(t) = B \sin(2 \pi f t)

In questo caso abbiamo che le frequenze dei due segnali sono le stesse, $f$ , ma abbiamo che tra di essi esiste uno sfasamento di $\frac{\pi}{2}$ :

sin(2 \pi f t) = \cos(2 \pi f t - \frac{\pi}{2})

Proviamo a calcolare la potenza mutua tra i due segnali:

P_{xy} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x(t) y^*(t)

= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} A \cos(2 \pi f t) B \sin(2 \pi f t) dt

= \lim_{T \to \infty} \frac{AB}{2T} \int_{-T}^{T} \cos(2 \pi f t) \sin(2 \pi f t) dt

Abbiamo però che il prodotto tra coseno e seno è uguale a:

\cos(2 \pi f t) \sin(2 \pi f t) = \frac{1}{2} \sin(4 \pi f t)

Quindi, possiamo scrivere:

P_{xy} = \lim_{T \to \infty} \frac{AB}{4T} \int_{-T}^{T} \sin(4 \pi f t) dt

Ma poiché la funzione seno è una funzione dispari, l'integrale risulta essere nullo:

\int_{-T}^{T} \sin(4 \pi f t) dt = 0

Pertanto, abbiamo che:

P_{xy} = 0

Quindi, i due segnali sono ortogonali in potenza. Possiamo concludere che:

Se due segnali sinusoidali hanno la stessa frequenza, ma sono sfasati di $\frac{\pi}{2}$ , allora sono ortogonali in potenza.
Se due segnali sinusoidali hanno frequenze diverse, allora sono ortogonali in potenza.
Se due segnali sinusoidali hanno la stessa frequenza e non sono sfasati di $\frac{\pi}{2}$ , allora non sono ortogonali in potenza.

Adesso proviamo a considerare un generico segnale di potenza $x(t)$ . Tale segnale può essere scomposto in due contributi:

La componente continua: $x_{dc}$
La componente alternata: $x_{ac}(t)$

Per cui possiamo scrivere:

x(t) = x_{dc} + x_{ac}(t)

Dove la componente continua è definita come:

x_{dc} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x(t) dt

Ossia, la componente continua è pari alla media temportale del segnale $x(t)$ .

Proviamo a calcolare la potenza mutua tra la componente continua e la componente alternata di un generico segnale di potenza $x(t)$ :

P_{x_{dc} x_{ac}} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x_{dc} x_{ac}^*(t) dt

= x_{dc} \cdot \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x_{ac}^*(t) dt

= x_{dc} \cdot \left( \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x_{ac}(t) dt \right)^*

Ma il limite dell'integrale non rappresenta altro che la media temporale della componente alternata che, per definizione, è pari a zero:

\lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x_{ac}(t) dt = 0

Pertanto, abbiamo che:

P_{x_{dc} x_{ac}} = x_{dc} \cdot 0 = 0

Ne consegue che, dato un qualunque segnale di potenza $x(t)$ , la potenza mutua tra la sua componente continua e la sua componente alternata è sempre nulla. In altre parole, la componente continua e la componente alternata di un segnale di potenza sono sempre ortogonali in potenza.

Pertanto, possiamo concludere che:

La potenza mutua tra la componente continua e la componente alternata di un segnale di potenza è sempre nulla.
La potenza di un segnale può essere sempre espressa come la somma della potenza della sua componente continua e della potenza della sua componente alternata:

$P_x = P_{x_{dc}} + P_{x_{ac}}$

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto che:

L'insieme dei segnali di potenza rappresenta uno spazio vettoriale in quanto l'operazione di moltiplicazione per uno scalare e l'operazione di somma sono chiuse.
La potenza della somma di due segnali di potenza è data da tre contributi:

$P_{x+y} = P_x + P_y + 2 \Re \left\{ P_{xy} \right\}$
1. La potenza del primo segnale $P_x$ .
2. La potenza del secondo segnale $P_y$ .
3. La parte reale della potenza mutua $P_{xy}$ tra i due segnali.
La potenza mutua rappresenta una misura di quanto i due segnali interferiscano tra di loro. In termini algebrici si tratta di un prodotto scalare tra i due segnali.
Due segnali di potenza sono ortogonali se la loro potenza mutua è nulla:

$P_{xy} = 0$
La potenza mutua tra due segnali sinusoidali è nulla se:
1. I due segnali hanno frequenze diverse.
2. I due segnali hanno la stessa frequenza, ma sono sfasati di $\frac{\pi}{2}$ .
La potenza mutua tra la componente continua e la componente alternata di un segnale di potenza è sempre nulla:

$P_{x_{dc} x_{ac}} = 0$

Per cui la potenza di un segnale di potenza può essere sempre espressa come la somma della potenza della sua componente continua e della potenza della sua componente alternata:

$P_x = P_{x_{dc}} + P_{x_{ac}}$

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