Misura in dB dell'energia e della potenza dei segnali

Misura in dB

Ad un segnale di energia, come abbiamo visto in precedenza, è possibile associare una caratterizzazione sintetica del suo contenuto. Tale valore caratterizzante è l'energia che non ha una unità di misura, in quanto non rappresenta l'effettiva energia fisica di un segnale che dipende dalla sua natura (se è un segnale elettrico, acustico e così via). Tuttavia, l'energia di un segnale è comunque proporzionale all'energia fisica.

Allo stesso modo, ad un segnale di potenza è possibile associare la potenza media che è anch'essa priva di unità di misura. La potenza media di un segnale è proporzionale alla potenza fisica del segnale stesso.

Entrambe le due quantità non hanno unità di misura e possono variare tra di loro di molti ordini di grandezza. Motivo per cui, anziché adoperare il valore diretto, in ingegneria si è soliti usare una misura logaritmica per mettere in relazione energie e potenze di segnali diversi. Tale misura logaritmica è adimensionale e semplifica spesso i calcoli.

In particolare si usa il decibel (dB). Nel caso dell'energia, la misura in decibel è definita come:

E_{dB} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{E}{E_0} \right)

dove $E_0$ è un valore di riferimento che può essere scelto arbitrariamente. In genere si usa $E_0 = 1 \text{J}$ .

Nel caso della potenza, la misura in decibel è definita come:

P_{dB} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{P_0} \right)

dove $P_0$ è un valore di riferimento che può essere scelto arbitrariamente. In genere si usa $P_0 = 1 \text{W}$ .

In questo modo, il valore di $E_{dB}$ e $P_{dB}$ sono adimensionali e possono essere confrontati tra loro. Inoltre, la misura in decibel consente di esprimere valori molto piccoli o molto grandi in modo più semplice e comprensibile.

Nella tabella che segue sono riportati alcuni dei valori più comuni di potenza espressi in dB e il corrispondente rapporto tra potenza e potenza di riferimento:

**Tabella 1:** Confronto tra misura in dB e rapporto tra potenza e potenza di riferimento
Potenza (dB)	$P / P_0$
0	1
3	2
10	10
20	100
30	1000
-3	0.5
-10	0.1
-20	0.01
-30	0.001

La relazione tra la misura espressa in dB e il rapporto tra potenza e potenza di riferimento può essere invertito. Basta applicare la formula che segue:

P = P_0 \cdot 10^{\frac{P_{dB}}{10}}

In questo modo, è possibile calcolare la potenza a partire dalla misura in dB e dal valore di riferimento.

Ricapitolando:

Definizione

Misura in dB dell'energia e della potenza

Dato un segnale di energia $x(t)$ , la misura in dB dell'energia è definita come:

E_{dB} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{E}{E_0} \right)

dove $E_0$ è un valore di riferimento che può essere scelto arbitrariamente.

Per un segnale di potenza $x(t)$ , la misura in dB della potenza è definita come:

P_{dB} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{P_0} \right)

dove $P_0$ è un valore di riferimento che può essere scelto arbitrariamente.

dBW e dBm

La scelta del valore di riferimento, specialmente nel caso della potenza, risulta molto importante:

Nel caso il valore di riferimento è pari ad un watt, $P_0 = 1 \text{W}$ , si parla di decibel watt (dBW):

$P_{dBW} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{1 \text{W}} \right)$
Nel caso il valore di riferimento è pari ad un milliwatt, $P_0 = 1 \text{mW}$ , si parla di decibel milliwatt (dBm):

$P_{dBm} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{1 \text{mW}} \right)$

Il dBm è particolarmente usato nell'ambito delle telecomunicazioni e delle trasmissioni radio.

Dal momento che $1 \text{W} = 1000 \text{mW}$ , è possibile esprimere il dBW in dBm come:

P_{dBm} = P_{dBW} + 30

In questo modo si può convertire facilmente tra i due valori di riferimento.

Vediamo un semplice esempio.

Esempio

Supponiamo di avere un segnale di potenza $x(t)$ e che la sua potenza sia pari a:

P_x = 100 \text{W}

Calcoliamo, dapprima, la misura in dBW:

P_{dBW} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_x}{1 \text{W}} \right)

= 10 \cdot \log_{10} (100)

= 10 \cdot 2

P_{dBW} = 20 \text{dBW}

Ora calcoliamo la misura in dBm:

P_{dBm} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_x}{1 \text{mW}} \right)

= 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_x}{1 \text{W}} \cdot 1000 \right)

= 10 \cdot \log_{10} (100) + 10 \cdot \log_{10} (1000)

= 10 \cdot 2 + 10 \cdot 3

P_{dBm} = 20 + 30

P_{dBm} = 50 \text{dBm}

Come si può osservare la differenza tra i due valori è proprio di 30 dB come previsto.

Valore Efficace e dB

Così come fatto per l'energia e la potenza, la misura in dB si può estendere anche al caso del valore efficace.

Sappiamo che dato un segnale di potenza $x(t)$ , il valore efficace è definito come:

x_{rms} = \sqrt{P_x}

Quindi, tra il valore efficace e la potenza esiste una relazione quadratica:

P_x = x_{rms}^2

Proprio a causa di questa relazione dobbiamo prestare attenzione al definire la misura in dB del valor efficace sostituendo, al posto del fattore 10, il fattore 20 nella definizione:

x_{dB} = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{x_{rms}}{x_0} \right)

dove $x_0$ è pari a:

x_0 = \sqrt{P_0}

ossia, $x_0$ è il valore efficace del segnale di riferimento.

Facendo così possiamo il valore espresso in dB della potenza e del valore efficace coincidono. Lo possiamo mostrare facilmente:

P_{dB} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_x}{P_0} \right)

= 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{x_{rms}^2}{x_0^2} \right)

= 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{x_{rms}}{x_0} \right)

= x_{dB}

Quindi, la misura in dB del valore efficace coincide con la misura in dB della potenza.

Definizione

Misura in dB del valore efficace

La misura in dB del valore efficace è definita come:

x_{dB} = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{x_{rms}}{x_0} \right)

dove $x_0$ è pari a:

x_0 = \sqrt{P_0}

Esempio

Un'esempio di applicazione della misura in dB riguarda il calcolo della potenza del segnale ricevuto in un sistema di telecomunicazione.

In generale, in sistemi di telecomunicazione, esistono due entità che comunicano tra di loro. Una di queste entità è il trasmettitore e l'altra è il ricevitore. Il trasmettitore invia un segnale al ricevitore attraverso un canale di comunicazione. Il ricevitore riceve il segnale e lo elabora per estrarre le informazioni trasmesse.

Il problema è che il canale attraverso cui il segnale viene trasmesso introduce delle perdite di potenza in quanto il segnale si attenua durante il suo percorso.

Volendo modellare questo fenomeno, possiamo considerare un segnale trasmesso $x_T(t)$ e un segnale ricevuto $x_R(t)$ .

Il segnale trasmesso ha una potenza $P_T$ e il segnale ricevuto ha una potenza $P_R$ . La potenza del segnale ricevuto è inferiore alla potenza del segnale trasmesso a causa delle perdite di potenza introdotte dal canale di comunicazione. Quindi, possiamo introdurre un termine di attenuazione $\gamma$ che rappresenta la perdita di potenza del segnale durante il suo percorso:

P_R = \gamma \cdot P_T \quad \text{con} \quad 0 &lt; \gamma &lt; 1

dove $\gamma$ è un numero compreso tra 0 e 1 in quanto rappresenta una frazione della potenza del segnale trasmesso.

Proviamo, ora, a esprimere la potenza ricevuta $P_R$ in dB:

\left[P_R\right]_{dB} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_R}{P_0} \right)

= 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{\gamma \cdot P_T}{P_0} \right)

= 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{\gamma}{P_0} \right) + 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_T}{P_0} \right)

= \left[\gamma\right]_{dB} + \left[P_T\right]_{dB}

Usando la misura in dB siamo passati da una relazione moltiplicativa a una relazione additiva. Questo è un vantaggio non da poco in quanto, ora, possiamo sommare i valori in dB e ottenere il valore della potenza ricevuta.

In particolare, dal momento che $\gamma$ è un numero compreso tra 0 e 1, il suo valore in dB sarà negativo. Quindi, la potenza ricevuta sarà sempre inferiore alla potenza trasmessa:

\left[P_R\right]_{dB} = \left[\gamma\right]_{dB} + \left[P_T\right]_{dB} &lt; \left[P_T\right]_{dB}

Conclusione

In questa lezione abbiamo introdotto un importantissimo strumento matematico nello studio dei segnali: la misura in dB dell'energia e della potenza dei segnali. Abbiamo visto che:

la misura in dB dell'energia è definita come:

$E_{dB} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{E}{E_0} \right)$
la misura in dB della potenza è definita come:

$P_{dB} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{P_0} \right)$
la misura in dB del valore efficace è definita come:

$x_{dB} = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{x_{rms}}{x_0} \right)$
la misura in dB del valore efficace coincide con la misura in dB della potenza:

$P_{dB} = x_{dB}$
Spesso si usa il dBW e il dBm per esprimere la potenza in dB:

$P_{dBW} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{1 \text{W}} \right)$

$P_{dBm} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{1 \text{mW}} \right)$
La misura in dB consente di semplificare i calcoli e di esprimere valori molto piccoli o molto grandi in modo più semplice e comprensibile.

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