Area di un Quadrilatero nel Piano Cartesiano

La potenza della geometria analitica sta nel fatto che possiamo calcolare le proprietà geometriche di una figura a partire dalle coordinate dei suoi vertici.

In questa lezione vedremo come calcolare l'area di un quadrilatero a partire dalle coordinate dei suoi vertici. Dimostreremo la formula e vedremo un metodo mnemonico per ricordarla facilmente.

Calcolo dell'area di un quadrilatero a partire dalle coordinate dei vertici

Estendiamo il risultato trovato nella lezione precedente e proviamo a ricavare la formula per calcolare l'area di un qualunque quadrilatero a partire dalle coordinate dei suoi vertici.

Supponiamo di avere un quadrilatero composto da quattro vertici:

$A = (x_1, y_1)$
$B = (x_2, y_2)$
$C = (x_3, y_3)$
$D = (x_4, y_4)$

Il quadrilatero è mostrato in figura:

Per ricavare la formula dobbiamo proiettare i vertici del nostro quadrilatero sull'asse delle ascisse. In realtà, il ragionamento funziona anche proiettando i vertici sull'asse delle ordinate, ma per semplicità di calcoli scegliamo l'asse delle ascisse.

Proiettiamo i vertici del quadrilatero sull'asse delle ascisse e otteniamo i punti $P$ , $Q$ , $R$ e $S$ con le seguenti coordinate:

$P = (x_1, 0)$
$Q = (x_2, 0)$
$R = (x_3, 0)$
$S = (x_4, 0)$

Il risultato è mostrato nella figura seguente:

**Figura 2:** Proiezioni dei vertici sull'asse delle ascisse'

Se osserviamo bene, l'area totale del quadrilatero $ABCD$ è composta dalla somma delle aree dei tre trapezi $APSD$ , $DSRC$ e $CRQB$ meno l'area del trapezio $APQB$ . Chiariamo con delle figure:

Area del trapezio $APSD$ :

Figura 3: Area del trapezio APSD

In tal caso, l'area del trapezio $APSD$ è data dalla formula:

$Area(APSD) = \frac{1}{2} \cdot \left( PA + SD\right) \cdot PS$

Ma sappiamo che:

$PA = y_1$

$SD = y_4$

$PS = x_4 - x_1$

Quindi:

$Area(APSD) = \frac{1}{2} \cdot \left( y_1 + y_4 \right) \cdot \left( x_4 - x_1 \right)$
Area del trapezio $DSRC$ :

Figura 4: Area del trapezio DSRC

In tal caso, l'area del trapezio $DSRC$ è data dalla formula:

$Area(DSRC) = \frac{1}{2} \cdot \left( SD + RC\right) \cdot RS$

Ma sappiamo che:

$SD = y_4$

$RC = y_3$

$RS = x_3 - x_4$

Quindi:

$Area(DSRC) = \frac{1}{2} \cdot \left( y_4 + y_3 \right) \cdot \left( x_3 - x_4 \right)$
Area del trapezio $CRQB$ :

Figura 5: Area del trapezio CRQB

In tal caso, l'area del trapezio $CRQB$ è data dalla formula:

$Area(CRQB) = \frac{1}{2} \cdot \left( CR + BQ \right) \cdot QR$

Ma sappiamo che:

$CR = y_3$

$BQ = y_2$

$QR = x_2 - x_3$

Quindi:

$Area(CRQB) = \frac{1}{2} \cdot \left( y_3 + y_2 \right) \cdot \left( x_2 - x_3 \right)$
Area del trapezio $APQB$ :

Figura 6: Area del trapezio APQB

In tal caso, l'area del trapezio $APQB$ è data dalla formula:

$Area(APQB) = \frac{1}{2} \cdot \left( AP + BQ\right) \cdot QP$

Ma sappiamo che:

$AP = y_1$

$BQ = y_2$

$QP = x_2 - x_1$

Quindi:

$Area(APQB) = \frac{1}{2} \cdot \left( y_1 + y_2 \right) \cdot \left( x_2 - x_1 \right)$

Adesso, si tratta di mettere insieme i pezzi:

Area(ABCD) = Area(APSD) + Area(DSRC) + Area(CRQB) - Area(APQB)

\begin{array}{cc} = &amp; \frac{1}{2} \cdot \left( y_1 + y_4 \right) \cdot \left( x_4 - x_1 \right) \\ + &amp; \frac{1}{2} \cdot \left( y_4 + y_3 \right) \cdot \left( x_3 - x_4 \right) \\ + &amp; \frac{1}{2} \cdot \left( y_3 + y_2 \right) \cdot \left( x_2 - x_3 \right) \\ - &amp; \frac{1}{2} \cdot \left( y_1 + y_2 \right) \cdot \left( x_2 - x_1 \right) \end{array}

Svolgendo i calcoli, che risultano abbastanza tediosi, otteniamo:

\begin{array}{crcl} = &amp; \frac{1}{2} \cdot \left( \right. &amp; \phantom{+}y_1 \cdot x_4 - y_1 \cdot x_1 + y_4 \cdot x_4 - y_4 \cdot x_1 &amp; \\ &amp; &amp; + y_4 \cdot x_3 - y_4 \cdot x_4 + y_3 \cdot x_3 - y_3 \cdot x_4 &amp; \\ &amp; &amp; +y_3 \cdot x_2 - y_3 \cdot x_3 + y_2 \cdot x_2 - y_2 \cdot x_3 &amp; \\ &amp; &amp; -y_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot x_1 - y_2 \cdot x_2 + y_2 \cdot x_1 &amp; \left. \right) \end{array}

Semplificando, otteniamo:

\begin{array}{crcl} = &amp; \frac{1}{2} \cdot \left( \right. &amp; \phantom{+}y_1 \cdot x_4 - \cancel{y_1 \cdot x_1} + \cancel{y_4 \cdot x_4} - y_4 \cdot x_1 &amp; \\ &amp; &amp; + y_4 \cdot x_3 - \cancel{y_4 \cdot x_4} + \cancel{y_3 \cdot x_3} - y_3 \cdot x_4 &amp; \\ &amp; &amp; +y_3 \cdot x_2 - \cancel{y_3 \cdot x_3} + \cancel{y_2 \cdot x_2} - y_2 \cdot x_3 &amp; \\ &amp; &amp; -y_1 \cdot x_2 + \cancel{y_1 \cdot x_1} - \cancel{y_2 \cdot x_2} + y_2 \cdot x_1 &amp; \left. \right) \end{array}

Da cui:

\begin{array}{crcl} = &amp; \frac{1}{2} \cdot \left[ \right. &amp; \phantom{+} \left(x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\right) &amp; \\ &amp; &amp; + \left(x_2 \cdot y_3 - x_3 \cdot y_2\right) &amp; \\ &amp; &amp; + \left(x_3 \cdot y_4 - x_4 \cdot y_3\right) &amp; \\ &amp; &amp; + \left(x_4 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_4\right) &amp; \left. \right] \end{array}

Come nel caso dell'area del triangolo, che abbiamo visto nella lezione precedente, anche nel caso di un quadrilatero dobbiamo fare attenzione all'ordine con cui prendiamo i vertici.

Infatti, nel caso di sopra abbiamo preso i vertici, partendo da $A$ , in senso anti-orario. Se avessimo preso i vertici in senso orario, il segno dell'area sarebbe stato negativo.

Per questo, per avere la formula finale dell'area, dobbiamo usare il valore assoluto. Quindi, l'area del quadrilatero $ABCD$ è data da:

\begin{array}{crcl} = &amp; \frac{1}{2} \cdot \left| \right. &amp; \phantom{+} x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1 &amp; \\ &amp; &amp; + x_2 \cdot y_3 - x_3 \cdot y_2 &amp; \\ &amp; &amp; + x_3 \cdot y_4 - x_4 \cdot y_3 &amp; \\ &amp; &amp; + x_4 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_4 &amp; \left. \right| \end{array}

Definizione

Area di un Quadrilatero a partire dalle Coordinate dei Vertici

Date le coordinate dei vertici di un quadrilatero:

$A = (x_1, y_1)$
$B = (x_2, y_2)$
$C = (x_3, y_3)$
$D = (x_4, y_4)$

L'area del quadrilatero $ABCD$ è data da:

\begin{array}{crcl} = &amp; \frac{1}{2} \cdot \left| \right. &amp; \phantom{+} x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1 &amp; \\ &amp; &amp; + x_2 \cdot y_3 - x_3 \cdot y_2 &amp; \\ &amp; &amp; + x_3 \cdot y_4 - x_4 \cdot y_3 &amp; \\ &amp; &amp; + x_4 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_4 &amp; \left. \right| \end{array}

Orientamento dei vertici

Un discorso particolare va fatto sull'orientamento dei vertici del quadrilatero.

Abbiamo già visto nella lezione sull'area di un triangolo che a seconda dell'ordine con cui prendiamo i vertici, l'area del triangolo può risultare positiva o negativa.

In particolare, se l'ordine è anti-orario, l'area risulta positiva, mentre se l'ordine è orario, l'area risulta negativa.

Nel caso del triangolo, però, non si pone un problema che, invece, si pone nel caso del quadrilatero.

In particolare, oltre all'ordine dei vertici, dobbiamo fare anche attenzione a prendere i vertici adiacenti.

Prendiamo il quadrilatero $ABCD$ :

Se partiamo dal vertice $A$ , andando in senso anti-orario, dobbiamo prendere il vertice ad esso adiacente, $B$ , e poi il vertice adiacente a $B$ , $C$ , e così via.

Nel caso di un triangolo, questo problema non si pone, perché abbiamo solo tre vertici e quindi non possiamo sbagliare l'adiacenza.

Nel caso del quadrilatero, invece, potremmo per errore prendere i vertici in modo errato, ossia non adiacenti.

Ad esempio, potremmo prendere per errore la sequenza $A$ , $C$ , $B$ , $D$ . Ma $C$ non è adiacente a $A$ , quindi la formula non funzionerebbe e il risultato che otteniamo sarebbe sbagliato.

Nota

Attenzione all'ordine dei vertici

Quando si usa la formula per calcolare l'area di un quadrilatero, bisogna fare attenzione all'ordine dei vertici e assicurarsi di prendere i vertici in maniera tale che siano in sequenza e adiacenti.

In caso contrario, il risultato ottenuto sarà sbagliato.

Metodo Mnemonico per Calcolare l'Area di un Quadrilatero

La formula vista sopra per calcolare l'area di un quadrilatero è abbastanza complessa e non è facile da ricordare.

Esiste, però, un trucchetto per ricordarla facilmente:

Per prima cosa disponiamo le coordinate dei vertici, partendo dal primo vertice, in colonna, mettendo a sinistra le ascisse e a destra le ordinate:

$\begin{array}{c|c} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ x_4 & y_4 \\ \end{array}$
Aggiungiamo al termine nuovamente le coordinate del primo punto:

$\begin{array}{c|c} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ x_4 & y_4 \\ \color{blue}{x_1} & \color{blue}{y_1} \\ \end{array}$
Sommiamo i termini positivi:

Partendo da $x_1$ , prendiamo i valori a coppie formate da un'ascissa e da un'ordinata presa alla riga successiva, li moltiplichiamo e li sommiamo tra loro:

Per cui, prendiamo prima $x_1$ e $y_2$ :

$\begin{array}{c|c} \color{red}{x_1} & y_1 \\ x_2 & \color{red}{y_2} \\ x_3 & y_3 \\ x_4 & y_4 \\ x_1 & y_1 \\ \end{array}$

Otteniamo così il primo termine della somma: $x_1 \cdot y_2$ .

Poi, prendiamo $x_2$ e $y_3$ :

$\begin{array}{c|c} x_1 & y_1 \\ \color{red}{x_2} & y_2 \\ x_3 & \color{red}{y_3} \\ x_4 & y_4 \\ x_1 & y_1 \\ \end{array}$

Otteniamo così il secondo termine della somma: $x_2 \cdot y_3$ .

Proseguiamo con $x_3$ e $y_4$ :

$\begin{array}{c|c} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \color{red}{x_3} & y_3 \\ x_4 & \color{red}{y_4} \\ x_1 & y_1 \\ \end{array}$

Otteniamo così il terzo termine della somma: $x_3 \cdot y_4$ .

Infine, prendiamo l'ultimo termine positivo dato da $x_4$ e $y_1$ :

$\begin{array}{c|c} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ \color{red}{x_4} & y_4 \\ x_1 & \color{red}{y_1} \\ \end{array}$

Otteniamo così l'ultimo termine della somma: $x_4 \cdot y_1$ .

Non possiamo più continuare, perché l'ultima ascissa presente nella tabella, $x_1$ , non ha righe successive.

La somma dei termini positivi risulta, quindi:

$x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_4 + x_4 \cdot y_1$
Sottraiamo i termini negativi:

In questo caso invertiamo le ascisse con le ordinate.

Per cui, partendo da $y_1$ , prendiamo i valori a coppie formate da un'ordinata e da un'ascissa presa alla riga successiva, li moltiplichiamo e li sommiamo tra loro:

Per cui, prendiamo prima $y_1$ e $x_2$ :

$\begin{array}{c|c} x_1 & \color{red}{y_1} \\ \color{red}{x_2} & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ x_4 & y_4 \\ x_1 & y_1 \\ \end{array}$

Otteniamo così il primo termine della somma: $x_2 \cdot y_1$ .

Poi, prendiamo $x_3$ e $y_2$ :

$\begin{array}{c|c} x_1 & y_1 \\ x_2 & \color{red}{y_2} \\ \color{red}{x_3} & y_3 \\ x_4 & y_4 \\ x_1 & y_1 \\ \end{array}$

Otteniamo così il secondo termine della somma: $x_3 \cdot y_2$ .

Proseguiamo con $x_4$ e $y_3$ :

$\begin{array}{c|c} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & \color{red}{y_3} \\ \color{red}{x_4} & y_4 \\ x_1 & y_1 \\ \end{array}$

Otteniamo così il terzo termine della somma: $x_4 \cdot y_3$ .

Concludiamo con l'ultimo termine, prendendo $y_4$ e $x_1$ :

$\begin{array}{c|c} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ x_4 & \color{red}{y_4} \\ \color{red}{x_1} & y_1 \\ \end{array}$

Otteniamo così l'ultimo termine della somma: $x_1 \cdot y_4$ .

Sottraendo i termini negativi, otteniamo:

$- x_1 \cdot y_4 - x_2 \cdot y_1 - x_3 \cdot y_2 - x_4 \cdot y_3$
Infine, mettiamo insieme i termini positivi e quelli negativi, ne prendiamo il valore assoluto e moltiplichiamo il tutto per $1/2$ :

$\frac{1}{2} \cdot \left| x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_4 + x_4 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_4 - x_2 \cdot y_1 - x_3 \cdot y_2 - x_4 \cdot y_3 \right|$

Schematicamente, possiamo riassumere il procedimento nella figura che segue:

**Figura 8:** Procedimento per calcolare l'area di un quadrilatero

I termini che otteniamo moltiplicando i fattori cerchiati in blu sono i termini positivi, mentre quelli moltiplicati in rosso sono i termini negativi.

Per come risulta dalla figura, questa formula prende anche il nome di Formula dei Lacci di Scarpe.

Esempio

Proviamo a calcolare l'area del quadrilatero avente i seguenti vertici:

$A = (2, 1)$
$B = (7, 3)$
$C = (5, 5.5)$
$D = (3, 6)$

Il quadrilatero è mostrato in figura:

Se prendiamo i vertici in senso anti-orario, le coordinate corrispondono a:

\begin{array}{c|c} x_1 = 2 &amp; y_1 = 1 \\ x_2 = 7 &amp; y_2 = 3 \\ x_3 = 5 &amp; y_3 = 5.5 \\ x_4 = 3 &amp; y_4 = 6 \\ \end{array}

Costruiamoci la tabella Lacci di Scarpe, inserendo nuovamente le coordinate del primo punto:

\begin{array}{c|c} 2 &amp; 1 \\ 7 &amp; 3 \\ 5 &amp; 5.5 \\ 3 &amp; 6 \\ 2 &amp; 1 \\ \end{array}

Adesso prendiamo i termini positivi:

\begin{array}{crcl} = &amp; 2 \cdot 3 + 7 \cdot 5.5 + 5 \cdot 6 + 3 \cdot 1 &amp; \\ = &amp; 6 + 38.5 + 30 + 3 &amp; \\ = &amp; 77.5 &amp; \\ \end{array}

Poi, prendiamo i termini negativi:

\begin{array}{crcl} = &amp; 1 \cdot 7 + 3 \cdot 5 + 5.5 \cdot 3 + 6 \cdot 2 &amp; \\ = &amp; 7 + 15 + 16.5 + 12 &amp; \\ = &amp; 50.5 &amp; \\ \end{array}

Infine, calcoliamo l'area del quadrilatero:

Area(ABCD) = \frac{1}{2} \cdot \left| 77.5 - 50.5 \right| = \frac{1}{2} \cdot 27 = 13.5

Quindi, l'area del quadrilatero $ABCD$ è $13.5$ .

Ordine Errato dei Vertici

Giusto per fare un esempio, proviamo a prendere i vertici in ordine errato, ad esempio $A$ , $C$ , $B$ , $D$ e mostriamo che il risultato è completamente diverso.

Le coordinate in questo caso sono:

\begin{array}{c|c} x_1 = 2 &amp; y_1 = 1 \\ x_3 = 5 &amp; y_3 = 5.5 \\ x_2 = 7 &amp; y_2 = 3 \\ x_4 = 3 &amp; y_4 = 6 \\ \end{array}

Costruiamoci la tabella Lacci di Scarpe, inserendo nuovamente le coordinate del primo punto:

\begin{array}{c|c} 2 &amp; 1 \\ 5 &amp; 5.5 \\ 7 &amp; 3 \\ 3 &amp; 6 \\ 2 &amp; 1 \\ \end{array}

Adesso prendiamo i termini positivi:

\begin{array}{crcl} = &amp; 2 \cdot 5.5 + 5 \cdot 3 + 7 \cdot 6 + 3 \cdot 1 &amp; \\ = &amp; 11 + 15 + 42 + 3 &amp; \\ = &amp; 71 &amp; \\ \end{array}

Poi, prendiamo i termini negativi:

\begin{array}{crcl} = &amp; 1 \cdot 5 + 5.5 \cdot 7 + 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2 &amp; \\ = &amp; 5 + 38.5 + 9 + 12 &amp; \\ = &amp; 64.5 &amp; \\ \end{array}

Infine, calcoliamo l'area errata del quadrilatero:

Area(ACBD) = \frac{1}{2} \cdot \left| 71 - 64.5 \right| = \frac{1}{2} \cdot 6.5 = {\color{red}{3.25 \quad \text{ERRATO}}}

Come si può notare, il risultato è completamente diverso e sbagliato.

Per cui, è fondamentale prendere i vertici in ordine corretto.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto come calcolare l'area di un quadrilatero a partire dalle coordinate dei suoi vertici.

Per calcolare l'area, abbiamo ricavato una formula proiettando i vertici del quadrilatero sull'asse delle ascisse e scomponendo il quadrilatero in trapezi. L'area finale è data dalla somma delle aree dei trapezi meno l'area del trapezio interno.

La formula risultante dipende dall'ordine con cui prendiamo i vertici del quadrilatero. Infatti, se prendiamo i vertici in senso orario, l'area risulta negativa. Per cui dobbiamo usare il valore assoluto.

Infine, abbiamo visto un metodo mnemonico per ricordare facilmente la formula, chiamato Lacci di Scarpe.

Nella prossima lezione estenderemo il metodo per calcolare l'area di una figura chiusa avente un numero qualsiasi di vertici.

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