Area di un Triangolo nel Piano Cartesiano

In questa lezione sfrutteremo gli strumenti della Geometria Analitica per ricavare un importante risultato: la formula per calcolare l'area di un triangolo a partire dalle coordinate dei suoi vertici.

Questa formula ci permette, inoltre, di verificare se tre punti sono allineati e di verificare l'orientamento dei vertici del triangolo.

Calcolo dell'area di un triangolo a partire dalle coordinate dei suoi vertici

Un importante risultato della geometria analitica è la formula che ci permette di calcolare l'area di un triangolo a partire dalle coordinate dei suoi vertici. Questa formula è molto utile in quanto ci permette di calcolare l'area di un triangolo senza dover disegnare il triangolo stesso.

Proviamo a ricavare questa formula. Supponiamo di avere un triangolo i cui vertici sono:

  • A = (x_1, y_1);
  • B = (x_2, y_2);
  • C = (x_3, y_3).

Il triangolo è mostrato in figura:

Area di un Triangolo
Figura 1: Area di un Triangolo

Adesso, proiettiamo i singoli vertici sull'asse delle ascisse disegnando dei segmenti paralleli all'asse delle ordinate. In questo modo individuiamo tre punti sull'asse delle ascisse, L, M e N. Tali punti, essendo le proiezioni, rispettivamente, di A, B e C, avranno le seguenti coordinate:

  • L = (x_1, 0);
  • M = (x_2, 0);
  • N = (x_3, 0).

Il risultato è mostrato in figura:

Calcolo dell'area di un Triangolo
Figura 2: Calcolo dell'area di un Triangolo

Osservando bene la figura di sopra vediamo che l'area del triangolo ABC è uguale alla somma delle aree dei trapezi ALNC e CNMB meno l'area del trapezio ALMB:

  • Area del trapezio ALNC;

    Area del Trapezio ALNC
    Figura 3: Area del Trapezio ALNC

  • più l'area del trapezio CNMB:

    Area del Trapezio CNMB
    Figura 4: Area del Trapezio CNMB

  • Meno l'area del trapezio ALMB:

    Area del Trapezio ALMB
    Figura 5: Area del Trapezio ALMB

In altre parole, possiamo scrivere:

\text{Area}(ABC) = \text{Area}(ALNC) + \text{Area}(CNMB) - \text{Area}(ALMB)

L'area di un trapezio è data dalla formula:

\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot (b_1 + b_2) \cdot h

ossia, base maggiore più base minore moltiplicato per l'altezza diviso per due. In questo caso abbiamo tutti gli elementi per calcolare le aree dei trapezi in gioco. Infatti:

\text{Area}(ALNC) = \frac{1}{2} \cdot (LA + NC) \cdot LN
\text{Area}(CNMB) = \frac{1}{2} \cdot (CN + MB) \cdot NM
\text{Area}(ALMB) = \frac{1}{2} \cdot (LA + MB) \cdot LM

Sostituendo le coordinate dei punti otteniamo:

\text{Area}(ALNC) = \frac{1}{2} \cdot (y_1 + y_3) \cdot (x_3 - x_1)
\text{Area}(CNMB) = \frac{1}{2} \cdot (y_3 + y_2) \cdot (x_2 - x_3)
\text{Area}(ALMB) = \frac{1}{2} \cdot (y_1 + y_2) \cdot (x_2 - x_1)

Sostituendo le aree dei trapezi nella formula iniziale otteniamo:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left[ (y_1 + y_3) \cdot (x_3 - x_1) + (y_3 + y_2) \cdot (x_2 - x_3) - (y_1 + y_2) \cdot (x_2 - x_1) \right]

Svolgendo i calcoli otteniamo:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left( x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_3 - x_2 \cdot y_1 - x_3 \cdot y_2 \right)

Questa formula, appena trovata, può restituire un risultato positivo o negativo. Ciò dipende dall'ordine con cui prendiamo i vertici. In particolare dipende dal verso di percorrenza dei vertici. Se il verso è antiorario, allora il risultato è positivo, altrimenti è negativo.

Proviamo con un esempio. Supponiamo di avere il triangolo con vertici:

  • A = (6, 4);
  • B = (2, 1);
  • C = (3, 5).

Il triangolo risultante è mostrato in figura:

Triangolo di Esempio - Vertici presi in senso orario
Figura 6: Triangolo di Esempio - Vertici presi in senso orario

Se prendiamo i punti nell'ordine A, B, C, quindi in senso orario, otteniamo:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left( 6 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 - 6 \cdot 5 - 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1 \right) = -13

ossia un risultato negativo.

Adesso, invece, prendiamo i punti nell'ordine A, C, B, quindi in senso antiorario, come mostra la figura:

Triangolo di Esempio - Vertici presi in senso antiorario
Figura 7: Triangolo di Esempio - Vertici presi in senso antiorario

Otteniamo:

\text{Area}(ACB) = \frac{1}{2} \cdot \left( 6 \cdot 5 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 - 6 \cdot 1 - 3 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \right) = 13

ossia un risultato positivo.

Per ovviare a questo problema dobbiamo prendere il valore assoluto del risultato. In questo modo otteniamo sempre un valore positivo. Quindi la formula diventa:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left| x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_3 - x_2 \cdot y_1 - x_3 \cdot y_2 \right|
Definizione

Area di un triangolo nel piano cartesiano

Dato un triangolo con vertici A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2) e C=(x_3, y_3), l'area del triangolo è data da:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left| x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_3 - x_2 \cdot y_1 - x_3 \cdot y_2 \right|

Utilizzo del determinante

La formula appena trovata per il calcolo dell'area di un triangolo è molto utile ma può risultare difficile da ricordare.

Tuttavia, osservandola per bene, essa può essere riscritta in modo più compatto utilizzando il concetto di determinante. Infatti, possiamo scrivere:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left| \det \left( \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{array} \right) \right|

In questo caso, abbiamo creato una matrice 3 \times 3 dove abbiamo incolonnato dapprima le ascisse dei vertici, poi le ordinate e infine una colonna di uno. Prendendo il valore assoluto del determinante e moltiplicando per \frac{1}{2} otteniamo lo stesso risultato di sopra.

Utilizzando la regola di Sarrus possiamo calcolare facilmente il determinante e quindi, successivamente, l'area del triangolo.

Dapprima si estende la matrice ripetendo le prime due colonne:

\begin{array}{|ccc|cc} x_1 & y_1 & 1 & x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 & 1 & x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 & 1 & x_3 & y_3 \\ \end{array}

Il determinante può essere ottenuto come la somma dei prodotti delle diagonali principali meno la somma dei prodotti delle diagonali secondarie. Quindi sommiamo dapprima i prodotti delle diagonali principali:

x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1

e poi sottraiamo i prodotti delle diagonali secondarie:

- \left( x_1 \cdot y_3 + x_2 \cdot y_1 + x_3 \cdot y_2 \right)

Mettiamo insieme senza dimenticare il valore assoluto e moltiplichiamo per \frac{1}{2}:

\text{Area}(ABC) = \left| \frac{1}{2} \cdot \left( x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_3 - x_2 \cdot y_1 - x_3 \cdot y_2 \right) \right|

Abbiamo ottenuto in questo modo lo stesso risultato di sopra.

Definizione

Area di un triangolo e determinante

Dato un triangolo con vertici A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2) e C=(x_3, y_3), l'area del triangolo è data da:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left| \det \left( \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{array} \right) \right|

Area di un triangolo con un vertice nell'origine

La formula di sopra può essere semplificata nel caso in cui uno dei vertici del triangolo corrisponde all'origine del sistema di riferimento. Supponiamo, ad esempio, che il vertice C coincida con l'origine, ossia C = (0, 0) come mostra la figura:

Area di un triangolo con un vertice nell'origine
Figura 8: Area di un triangolo con un vertice nell'origine

In questo caso, la formula per il calcolo dell'area del triangolo diventa:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left| \det \left( \begin{array}{cc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \right|

Svolgendo i calcoli otteniamo:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left| x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1 \right|
Definizione

Area di un triangolo con un vertice nell'origine

Dato un triangolo con vertici A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2) e C=(0, 0), l'area del triangolo è data da:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left| x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1 \right|

Criterio per verificare se tre punti sono allineati

La formula dell'area di un triangolo dati i vertici ha un'importante conseguenza.

Per comprendere studiamo l'esempio che segue. Supponiamo di avere tre punti:

  • A = (1, 1);
  • B = (2, 2);
  • C = (3, 3).

Calcoliamo l'area del triangolo ABC:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ \end{array} \right|

Svolgendo i calcoli otteniamo:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \right)
= \frac{1}{2} \cdot \left( 2 + 6 + 3 - 3 - 2 - 6 \right)
= \frac{1}{2} \cdot 0 = 0

L'area del triangolo è uguale a zero. Se proviamo a disegnare i tre punti vediamo che essi sono allineati:

Tre punti allineati
Figura 9: Tre punti allineati

Quindi possiamo concludere che se l'area di un triangolo è uguale a zero allora i tre punti sono allineati, ossia giacciono sulla stessa retta. Per cui l'area del triangolo che descrivono è pari, necessariamente, a zero.

Possiamo sfruttare questo criterio per verificare rapidamente, senza dover disegnare il triangolo, se tre punti sono allineati. In particolare, possiamo verificare semplicemente se il determinante della matrice dei vertici è uguale a zero.

Definizione

Criterio per verificare se tre punti sono allineati

Dati tre punti A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2) e C=(x_3, y_3), essi sono allineati se e solo se il determinante della matrice dei vertici è uguale a zero:

\det \left( \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{array} \right) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad A, B, C \text{ sono allineati}

Verifica dell'orientamento dei vertici

Un'altra proprietà della formula dell'area di un triangolo è quella di verificare l'orientamento dei vertici.

Se rimuoviamo, infatti, il valore assoluto dalla formula dell'area otteniamo una formula che è in grado di dirci se i vertici del triangolo sono presi in senso orario o antiorario.

Basta vedere infatti se:

x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_3 - x_2 \cdot y_1 - x_3 \cdot y_2

è positivo o negativo. Se è positivo allora i vertici sono presi in senso antiorario, altrimenti in senso orario.

Definizione

Verifica dell'orientamento dei vertici

Dati tre punti A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2) e C=(x_3, y_3), essi sono presi in senso antiorario se e solo se:

x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_3 - x_2 \cdot y_1 - x_3 \cdot y_2 > 0

altrimenti sono presi in senso orario.

Risulta ovvio che se la formula di sopra restituisce zero allora i vertici sono allineati.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo utilizzato la geometria analitica per calcolare l'area di un triangolo a partire dalle coordinate dei suoi vertici. Abbiamo visto che l'area di un triangolo è data da:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left| x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_3 - x_2 \cdot y_1 - x_3 \cdot y_2 \right|

oppure, in modo più compatto, utilizzando il determinante:

\text{Area}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot \left| \det \left( \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{array} \right) \right|

Abbiamo anche visto che possiamo utilizzare la formula dell'area di un triangolo per verificare se tre punti sono allineati e per verificare l'orientamento dei vertici.

Nella prossima lezione ricaveremo una formula analoga che ci permette di calcolare l'area di un qualunque quadrilatero date le coordinate dei suoi vertici.

Indice del capitolo