Cenni sui Determinanti per i sistemi lineari

Dopo aver fornito alcuni concetti fondamentali sulle matrici nella lezione precedente, in questa lezione introduciamo un concetto correlato: il determinante. Anche in questo caso, il concetto di determinante è fondamentale per poter studiare il metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Uno studio approfondito delle matrici e dei determinanti è rimandato ad un'altra serie di lezioni.

Concetti base sui determinanti

In generale, il determinante può essere definito per ogni matrice quadrata di ordine n. In questa lezione, però, ci limitiamo a definire il determinante per il caso di matrici quadrate di ordine 2 e 3.

Definizione

Determinante di una matrice quadrata di ordine 2

Data una matrice quadrata di ordine 2:

A= \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \\ \end{bmatrix}

si definisce determinante quel numero che si ottiene sottraendo al prodotto degli elementi della diagonale principale il prodotto degli elementi della diagonale secondaria:

D = \begin{array}{|cc|} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \\ \end{array} = a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}

Nota bene: Nella definizione di sopra, per il determinante della matrice A, abbiamo usato una notazione diversa rispetto a quella di matrice. In particolare, per le matrici si racchiudono gli elementi tra parentesi quadre, mentre invece per i determinanti si racchiudono gli elementi tra linee verticali.

Vediamo con un esempio. Data una matrice quadrata di ordine 2:

A= \begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 7 & 4 \\ \end{bmatrix}

Il suo determinante è il numero:

D = 5 \cdot 4 - 9 \cdot 7 = -43

Adesso passiamo alle matrici quadrate di ordine 3:

Definizione

Determinante di una matrice quadrata di ordine 3

Data una matrice quadrata di ordine 3:

A= \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix}

si definisce determinante quel numero che si ottiene nel modo seguente:

\begin{array}{lccl} D & = & & a_{1} \cdot b_{2} \cdot c_{3} \\ & & + & b_1 \cdot c_2 \cdot a_3 \\ & & + & c_1 \cdot a_2 \cdot b_3 \\ & & - & a_3 \cdot b_2 \cdot c_1 \\ & & - & b_3 \cdot c_2 \cdot a_1 \\ & & - & c_3 \cdot a_2 \cdot b_1 \\ \end{array}

Ora, effettivamente la formula per il calcolo del determinante nel caso di matrici quadrate di ordine 3 è abbastanza complessa da ricordare...

Per questo motivo, un modo semplice per ricavarla è quello di usare la regola di Sarrus.

Regola di Sarrus

Per spiegare la regola di Sarrus usiamo un esempio. Prendiamo la matrice di cui vogliamo calcolare il determinante:

A= \begin{bmatrix} 5 & 9 & 3 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 8 \\ \end{bmatrix}

Ricopiamo a destra la prima e la seconda colonna in questo modo:

\begin{array}{|ccc|cc} 5 & 9 & 3 & 5 & 9 \\ 7 & 4 & 2 & 7 & 4 \\ 1 & 2 & 8 & 1 & 2 \\ \end{array}

Sommiamo tra di loro i prodotti delle diagonali primarie rossa, verde e blu:

\begin{array}{|ccc|cc} \color{red}{5} & \color{green}{9} & \color{blue}{3} & 5 & 9 \\ 7 & \color{red}{4} & \color{green}{2} & \color{blue}{7} & 4 \\ 1 & 2 & \color{red}{8} & \color{green}{1} & \color{blue}{2} \\ \end{array}

Ottenendo, così, un primo pezzo del risultato:

d_1 = 5 \cdot 4 \cdot 8 + 9 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 7 \cdot 2 = 220

Successivamente sommiamo tra di loro i prodotti delle diagonali secondarie rossa, verde e blu:

\begin{array}{|ccc|cc} 5 & 9 & \color{red}{3} & \color{green}{5} & \color{blue}{9} \\ 7 & \color{red}{4} & \color{green}{2} & \color{blue}{7} & 4 \\ \color{red}{1} & \color{green}{2} & \color{blue}{8} & 1 & 2 \\ \end{array}

Ottenendo così il secondo pezzo del risultato:

d_2 = 3 \cdot 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 \cdot 2 + 9 \cdot 7 \cdot 8 = 536

Il determinante si ottiene dalla differenza tra d_1 e d_2:

D = d_1 - d_2 = 220 - 536 = -316

In sintesi

In questa lezione abbiamo introdotto il concetto di determinante di una matrice quadrata, anche se ci siamo limitati al caso di matrici quadrate di ordine 2 e 3. Queste informazioni unite ai concetti introdotti nella lezione precedente sulle matrici ci consentono, adesso, di affrontare il quarto metodo per la risoluzione dei sistemi lineari: il metodo di Cramer.

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