Metodo di Cramer per sistemi in due incognite

In questa lezione analizziamo la quarta tecnica di risoluzione dei sistemi lineari di equazioni in due incognite: il Metodo di Cramer.

Metodo di Cramer

Le due precedenti lezioni ci hanno fornito una velocissima infarinatura sulle matrici e sui determinanti. Questi due strumenti matematici, fortemente connessi tra di loro, sono alla base dell'ultima delle quattro tecniche risolutive dei sistemi lineari: il metodo di Cramer. In questa lezione, in particolare, ci concentreremo sull'applicazione di questo metodo ai sistemi lineari di due equazioni in due incognite.

Il metodo è abbastanza semplice e, per applicarlo, dobbiamo partire da un sistema lineare già in forma canonica:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1 &\\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2 \end{array} \right.

A partire dal sistema in forma canonica si definisce il determinante del sistema:

Definizione

Determinante di un sistema lineare di due equazioni in due incognite

Dato il sistema lineari di due equazioni in due incognite in forma canonica:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1 &\\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2 \end{array} \right.

Si definisce il determinante del sistema il determinante della matrice 2 \times 2 che si ottiene mettendo nella prima colonna i coefficienti della prima incognita (x) e nella seconda colonna i coefficienti della seconda incognita (y):

D = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 - b_1 \cdot a_2

Si può dimostrare che il sistema è determinato, ossia ammette un'unica soluzione, se e soltanto se D \neq 0, ossia il suo determinante è diverso da zero.

Oltre al determinante del sistema, si possono definire i determinanti D_x e D_y:

  • Il determinante D_x associato alla prima incognita si ottiene sostituendo i termini noti c_1 e c_2 nella colonna relativa alla prima incognita:
D_x = \begin{array}{|cc|} \color{red}{c_1} & b_1 \\ \color{red}{c_2} & b_2 \\ \end{array}
  • Il determinante D_y associato alla seconda incognita si ottiene sostituendo i termini noti c_1 e c_2 nella colonna relativa alla seconda incognita:
D_x = \begin{array}{|cc|} a_1 & \color{red}{c_1} \\ a_2 & \color{red}{c_2} \\ \end{array}

I tre determinanti, così ottenuti, ci permettono di risolvere il sistema con il metodo di Cramer:

Definizione

Metodo di Cramer per la soluzione di un sistema lineare in due incognite

  • Se il determinante del sistema D \neq 0 il sistema è determinato e le soluzioni sono:
x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}

  • Se il determinante del sistema D = 0 ma D_x \neq 0 oppure D_y \neq 0 allora il sistema è impossibile.

  • Se il determinante del sistema D = 0 ma D_x = 0 e D_y = 0 allora il sistema è indeterminato.

Esempio

Proviamo a chiarire le idee con un esempio. Prendiamo il seguente sistema già in forma canonica:

\left\{ \begin{array}{l} 2 \cdot x -5 \cdot y = -1 \\ 3 \cdot x -7 \cdot y = 5 \end{array} \right.

Per applicare il metodo di Cramer dobbiamo prima calcolare il determinante del sistema:

D = \begin{array}{|cc|} 2 & -5 \\ 3 & -7 \\ \end{array} = (2 \cdot -7) - (-5 \cdot 3) = 1

Il determinante del sistema vale 1 per cui, essendo diverso da zero, ne deduciamo che il sistema dell'esempio ammette soluzione.

Calcoliamo, a questo punto, i due determinanti D_x e D_y:

D_x = \begin{array}{|rr|} \color{red}{-1} & -5 \\ \color{red}{5} & -7 \\ \end{array} = (-1 \cdot -7) - (-5 \cdot 5) = 32
D_y = \begin{array}{|rr|} 2 & \color{red}{-1} \\ 3 & \color{red}{5} \\ \end{array} = (2 \cdot 5) - (-1 \cdot 3) = 13

Fatto questo, possiamo ricavare le soluzioni x e y:

x = \frac{D_x}{D} = \frac{32}{1} = 32
y = \frac{D_y}{D} = \frac{13}{1} = 13

E il sistema è risolto.

In sintesi

Con questa lezione abbiamo visto tutti e quattro le tecniche di risoluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite:

  1. Metodo di sostituzione
  2. Metodo del confronto
  3. Metodo di eliminazione (o di riduzione)
  4. Metodo di Cramer

Il metodo di Cramer, che abbiamo visto in questa lezione, consiste nel calcolare 3 determinanti, D, D_x e D_y per ottenere la soluzione in modo quasi meccanico. Nelle prossime lezioni proveremo ad estendere le tecniche finora viste a sistemi lineari con tre equazioni e tre incognite. Per casi con più di tre incognite, invece, è necessario rimandare a lezioni più avanzate di Algebra lineare.

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