Cenni sulle Matrici per i sistemi lineari

In questa lezione introduciamo alcuni concetti di base sulle Matrici. Le matrici sono fondamentali per poter studiare il metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Uno studio approfondito delle matrici è rimandato ad un'altra serie di lezioni.

Concetti base sulle matrici

Dato che le matrici richiedono un capitolo a parte, in questa lezione diamo una definizione operativa di matrice, sufficiente, cioè, a poter usarle nei nostri calcoli.

Presi due numeri naturali diversi da 0: m ed n, una matrice m \times n è una disposizione di numeri reali per m righe e m colonne secondo lo schema che segue:

A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}

Una matrice viene indicata sempre con una lettera maiuscola, nel caso precedente A, mentre i suoi elementi disposti per righe e colonne sono racchiusi tra parentesi quadre. Invece un suo qualunque elemento può essere indicato da una lettera piccola seguita da due indici pedici che indicano, rispettivamente, la riga e la colonna di appartenenza. Ad esempio a_{ij} indica l'elemento sulla riga i nella colonna j.

Prendiamo come esempio la matrice seguente:

A= \begin{bmatrix} 5 & 9 & 3 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 8 \\ \end{bmatrix}

Nell'esempio, A è una matrice 3 \times 3, in quanto composta da 3 righe e 3 colonne. Sempre nell'esempio, alcuni dei suoi elementi sono:

\begin{array}{ll} a_{11} & = & 5 \\ a_{12} & = & 9 \\ a_{13} & = & 3 \\ \cdots \\ a_{22} & = & 4 \\ a_{23} & = & 2 \\ \cdots \\ a_{33} & = & 8 \\ \end{array}

Di seguito vengono riportati una serie di concetti base che ci serviranno nello studiare il metodo di Cramer:

  • Due matrici A e B sono dello stesso tipo se hanno uguale numero di righe e colonne.

  • Due matrici dello stesso tipo sono uguali se gli elementi nelle stesse posizioni (ossia con gli stessi indici) sono uguali tra loro. Ad esempio:

A= \begin{bmatrix} 5 & 9 & 3 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 8 \\ \end{bmatrix} \quad B= \begin{bmatrix} 5 & 9 & 3 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 8 \\ \end{bmatrix}
  • Due matrici dello stesso tipo sono opposte se gli elementi nelle stesse posizioni (ossia con gli stessi indici) sono opposti in segno. Ad esempio:
A= \begin{bmatrix} 5 & 9 & 3 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 8 \\ \end{bmatrix} \quad B= \begin{bmatrix} -5 & -9 & -3 \\ -7 & -4 & -2 \\ -1 & -2 & -8 \\ \end{bmatrix}
  • Una matrice è quadrata se il numero di righe, m, è uguale al numero di colonne n. Ad esempio:
A= \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ \end{bmatrix}
  • Una matrice è rettangolare se il numero di righe, m, è diverso dal numero di colonne n. Ad esempio:
A= \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 & 8 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \\ 2 & 4 & 4 & 1 \\ \end{bmatrix}

  • Una matrice quadrata n \times n viene chiamata anche matrice di ordine n.

  • Data una matrice quadrata, gli elementi che hanno stesso indice di riga e colonna compongono la cosiddetta diagonale principale. In particolare, gli elementi che vanno da a_{11} a a_{nn} compongono la diagonale principale. Un esempio è il seguente:

A= \begin{bmatrix} \color{red}{5} & 9 & 3 \\ 7 & \color{red}{4} & 2 \\ 1 & 2 & \color{red}{8} \\ \end{bmatrix} \quad \rightarrow \quad (5; 4; 8)
  • Data una matrice quadrata, gli elementi che vanno da a_{n1} a a_{1n} compongono la cosiddetta diagonale secondaria. Un esempio è il seguente:
A= \begin{bmatrix} 5 & 9 & \color{red}{3} \\ 7 & \color{red}{4} & 2 \\ \color{red}{1} & 2 & 8 \\ \end{bmatrix} \quad \rightarrow \quad (3; 4; 1)
  • Una matrice identità, indicata con I, è una matrice per cui tutti gli elementi sulla diagonale principale sono uguali a 1, mentre i rimanenti sono uguali a 0. Di seguito le matrici identità 2 \times 2 e 3 \times 3:
I_{2 \times 2}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}
I_{3 \times 3}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}
  • Una matrice nulla è una matrice in cui tutti gli elementi sono pari a 0:
\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}
  • Una matrice riga, detta anche vettore riga, è una matrice composta da una sola riga:
A= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix}
  • Una matrice colonna, detta anche vettore colonna, è una matrice composta da una sola colonna:
A= \begin{bmatrix} 8 \\ 5 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

In sintesi

Questa lezione introduce una serie di concetti sulle matrici che risultano necessari, successivamente, per studiare il metodo di risoluzione di Cramer. Abbiamo visto una definizione operativa, ossia una definizione sufficiente a poterle usare per i nostri scopi. Prima di addentrarci nello studio del metodo di Cramer è, tuttavia, necessario introdurre, nella prossima lezione, il concetto di determinante di una matrice.

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