Metodo di riduzione per sistemi lineari di due equazioni in due incognite

In questa lezione analizziamo una terza tecnica di risoluzione dei sistemi lineari di equazioni in due incognite: il Metodo di eliminazione (detto anche di riduzione).

Metodo di eliminazione

Il metodo di eliminazione (o di riduzione) per la risoluzione dei sistemi lineari consiste nel trasformare il sistema in un equivalente (cioè con le stesse soluzioni) in maniera tale da semplificarlo. In pratica, applicando delle trasformazioni successive, si ottengono sistemi equivalenti via via più semplici, finché la soluzione risulta immediata.

Tra i vari metodi di risoluzione di sistemi lineari, il metodo di eliminazione è forse il più importante da un punto di vista teorico, in quanto sta alla base delle tecniche di risoluzione dei sistemi lineari al computer. Questo metodo fu inventato dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss e, infatti, a volte viene indicato come Metodo di eliminazione di Gauss. In questa lezione ne vedremo un'infarinatura, in quanto il metodo può essere applicato a sistemi lineari di più di due incognite ed equazioni.

Prima di capire quali trasformazioni è possibile applicare ad un sistema è necessario prima introdurre il principio di riduzione:

In sostanza, il principio di riduzione ci dice che se prendiamo l'equazione risultante dalla somma o dalla sottrazione membro a membro delle equazioni che compongono il sistema e, successivamente, la sostituiamo ad una delle due equazioni otteniamo un sistema equivalente. Possiamo sfruttare questo principio per ricavare un sistema più semplice.

Prendiamo un sistema nella sua forma canonica:

Le possibili trasformazioni che è possibile applicare su di esso sono riportate di seguito.

Moltiplicazione per una costante

Se scegliamo una costante e moltiplichiamo ambo i membri di un'equazione del sistema per essa otteniamo un sistema equivalente:

Somma membro a membro

In base al principio di riduzione prendiamo il sistema in forma canonica:

Sommiamo membro a membro le due equazioni ottenendone una terza:

E sostituire quest'ultima ad una delle due di partenza, ad esempio la prima:

Il sistema così ottenuto è equivalente a quello di partenza.

Sottrazione membro a membro

In base al principio di riduzione prendiamo il sistema in forma canonica:

Sottraendo membro a membro, ad esempio, la seconda equazione alla prima:

E sostituire quest'ultima ad una delle due di partenza, ad esempio la seconda:

Il sistema così ottenuto è equivalente a quello di partenza.

Esempi

Per meglio chiarire il concetto, analizziamo un esempio. Prendiamo il sistema già in forma normale:

Applichiamo una prima trasformazione moltiplicando ambo i membri della prima equazione per :

Poi moltiplichiamo ambo i membri della seconda equazione per :

Adesso, osserviamo che i coefficienti della sono e , quindi basta sommare membro a membro le due equazioni per eliminare l'incognita :

Abbiamo ottenuto l'equazione da cui ricaviamo immediatamente il valore per .

Fatto questo, risulta semplice sostituire il valore di appena trovato per ottenere la in una delle equazioni di partenza, ad esempio la prima:

Per cui la soluzione del sistema è la coppia:

In sintesi

In questa lezione abbiamo introdotto il metodo di eliminazione, detto anche di riduzione, per la risoluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Questo metodo fu inventato da Carl Friedrich Gauss ed è alla base delle tecniche di risoluzione di sistemi lineari implementate negli algoritmi numerici al computer.

Questo metodo, in sostanza, prevede di applicare delle trasformazioni successive ad un sistema per ottenerne un altro equivalente, cioè con le stesse soluzioni, in cui trovare una delle due incognite è immediato.

Nella prossime lezioni analizzeremo un quarto metodo per la risoluzione di un sistema lineare in due incognite: il metodo di Cramer. Tuttavia, per poter studiare questo metodo, dobbiamo prima dare una breve introduzione sulle matrici e i determinanti.