Metodo del confronto per sistemi lineari di due equazioni in due incognite

Il metodo del confronto è la seconda tecnica di risoluzione dei sistemi di equazioni lineari.

L'idea alla base del metodo del confronto è quella di isolare contemporaneamente la stessa incognita nelle equazioni del sistema. In questo modo si ottengono delle espressioni che vanno poi eguagliate fra di loro. Si arriva, così, ad una equazione di primo grado in una sola incognita.

In questa lezione ci concentreremo al caso di sistemi di due equazioni in due incognite, ossia sistemi lineari 2x2. Nelle prossime lezioni passeremo, poi, al caso di sistemi di tre equazioni in tre incognite.

Metodo del confronto

Il metodo del confronto applicato al caso di sistemi lineari di due equazioni in due incognite è simile al metodo di sostituzione in quanto di base si tratta di isolare una delle due incognite. La differenza sta nel fatto che l'incognita deve essere isolata in entrambe le equazioni che compongono il sistema. Fatto questo, si ottengono due espressioni della stessa incognita che possono essere uguagliate ottenendo, così, un'equazione di primo grado in un'unica incognita.

Per capire il procedimento, partiamo da un sistema lineare in due equazioni in forma normale:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1 &amp;\\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2 \end{array} \right.

Scegliamo, ad esempio, di isolare la $x$ in tutte e due le equazioni che compongono il sistema:

\left\{ \begin{array}{ll} x = - \frac{b_1 \cdot y + c_1}{a_1} &amp;\\ x = - \frac{b_2 \cdot y + c_2}{a_2} &amp;\\ \end{array} \right.

A questo punto, abbiamo ricavato la stessa incognita $x$ in entrambe le equazioni e possiamo uguagliare le due espressioni dato che il valore di $x$ che soddisfa la prima equazione deve necessariamente soddisfare la seconda. Otteniamo, pertanto, un'unica equazione, nell'incognita $y$ , di primo grado:

- \frac{b_1 \cdot y + c_1}{a_1} = - \frac{b_2 \cdot y + c_2}{a_2}

Risolvendo questa equazione otteniamo il valore finale di $y = \bar{y}$ che, successivamente, possiamo sostituire in una delle due espressioni trovate all'inizio per ottenere il valore finale di $x = \bar{x}$ . In questo modo il sistema è risolto.

Esempio

Per meglio chiarire come funziona il metodo del confronto, analizziamo un esempio. Prendiamo il sistema già in forma normale:

\left\{ \begin{array}{ll} 2 \cdot x -5 \cdot y = -1 &amp;\\ 3 \cdot x -7 \cdot y = 5 \end{array} \right.

Utilizziamo il metodo del confronto e scegliamo l'incognita $x$ . Il primo passo consiste nell'isolare la $x$ sia nella prima che nella seconda equazione. Ricaviamo la $x$ dapprima nella prima equazione:

2 \cdot x - 5 \cdot y = -1 \quad \rightarrow \quad 2 \cdot x = 5 \cdot y - 1

\rightarrow \quad x = \frac{5y - 1}{2}

Successivamente ricaviamo la $x$ nella seconda equazione:

3 \cdot x - 7 \cdot y = 5 \quad \rightarrow \quad 3 \cdot x = 7 \cdot y + 5

\rightarrow \quad x = \frac{7y + 5}{3}

Il passo successivo consiste nell'eguagliare tra di loro le due espressioni appena trovate, ottenendo così un'equazione in un'unica incognita $y$ :

\frac{5y - 1}{2} = \frac{7y + 5}{3}

\rightarrow \quad 3 \cdot (5y - 1) = 2 \cdot (7y + 5)

\rightarrow \quad 15y - 3 = 14y + 10 \quad \rightarrow \quad y = 13

Abbiamo, così, ottenuto il valore finale di $y$ , ossia $13$ . Possiamo, a questo punto, sostituire questo valore in una delle due espressioni della $x$ trovate prima. Scegliamo, ad esempio, la prima:

x = \frac{5y - 1}{2} \quad \rightarrow \quad x = \frac{5 \cdot 13 - 1}{2}

x = \frac{65 - 1}{2} \quad \rightarrow \quad x = 32

La soluzione finale del sistema è la coppia:

(32, 13)

In sintesi

In questa lezione abbiamo visto come risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite attraverso il metodo del confronto.

Fondamentalmente questo metodo è molto simile al metodo di sostituzione. La differenza consiste nell'isolare una delle due incognite in entrambe le equazioni. Successivamente si eguagliano le due espressioni trovate ottenendo un'equazione nella seconda incognita che può essere facilmente risolta. Infine si sostituisce tale valore, appena trovato, in una delle due espressioni trovate prima.

Nella prossima lezione analizzeremo un terzo metodo per la risoluzione di un sistema lineare in due incognite: il metodo di riduzione.

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