Metodo di sostituzione per sistemi lineari di due equazioni in due incognite

Il metodo di sostituzione è la prima tecnica di risoluzione dei sistemi lineari. Esso è abbastanza generale da poter essere applicato a sistemi di equazioni qualsiasi, anche per sistemi non lineari.

L'idea di base è quella di isolare progressivamente le incognite per poterle esprimere in funzione delle altre fino ad arrivare ad un'unica equazione di primo grado nell'ultima incognita. Risolta quest'equazione, poi, si procede a ritroso per ottenere le altre incognite del sistema.

In questa lezione ci concentreremo al caso di sistemi di due equazioni in due incognite, ossia sistemi lineari 2x2. Nella prossima lezione estenderemo il metodo di sostituzione per sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.

Metodo di sostituzione

Dato un sistema di due equazioni in due incognite, il metodo di sostituzione consiste nell'isolare una delle due variabili del sistema in maniera tale da ottenere un'espressione in cui essa risulta essere espressa in termini dell'altra variabile. Per poter fare questo conviene sempre dapprima portare il sistema in forma normale:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1 & {\color{red}{(I)}} \\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.

Per rendere più chiaro il procedimento, abbiamo etichettato le due equazioni del sistema di sopra con le diciture (I) e (II).

Il primo passo del metodo di sostituzione consiste nello scegliere un'incognita da isolare e un'equazione in cui farlo.

Se scegliamo di isolare la x possiamo utilizzare la prima equazione, (I), per ottenere un'espressione del tipo:

{\color{red}{(I)}} \quad a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad x = \frac{c_1 - b_1 \cdot y}{a_1} \quad {\color{red}{(I^*)}}

Abbiamo, in questo modo, trovato un'espressione dell'incognita x in termini dell'incognita y e l'abbiamo etichettata come (I^*), cioè con un asterisco per indicare che, sostanzialmente, si tratta dell'equazione (I) modificata.

Il sistema può essere, quindi, riscritto in questa forma:

\left\{ \begin{array}{ll} x = \frac{c_1 - b_1 \cdot y}{a_1} & {\color{red}{(I^*)}} \\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.

Fatto questo possiamo, successivamente, sostituire l'espressione a destra dell'uguale al posto della x nella seconda equazione, ossia sostituire l'espressione della x risultante da (I^*) nell'equazione (II):

{\color{red}{(II)}} \quad a_2 \cdot {\color{red}{x}} + b_2 \cdot y = c_2 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad a_2 \cdot {\color{red}{\left( \frac{c_1 - b_1 \cdot y}{a_1} \right)}} + b_2 \cdot y = c_2 \quad {\color{red}{({II}^*)}}

A questo punto, abbiamo una semplice equazione di primo grado nella sola incognita y. Etichettiamo questa equazione con l'etichetta ({II}^*), per indicare che si tratta dell'equazione (II) modificata.

Risolvendo questa equazione possiamo ottenere il valore di y che indicheremo con \bar{y}.

Infine, l'ultimo passaggio consiste nel sostituire il valore di y appena trovato nell'espressione (I^*) per ottenere un'equazione nella sola incognita x che, una volta risolta, ci darà il valore finale di x:

{\color{red}{(I^*)}} \quad x = \frac{c_1 - b_1 \cdot {\color{red}{\bar{y}}}}{a_1} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad x = \bar{x}

La soluzione finale del sistema sarà la coppia:

(\bar{x}, \bar{y})

Ricapitolando, i passi da seguire per applicare il metodo di sostituzione ad un sistema lineare di due equazioni in due incognite sono:

Definizione

Metodo di sostituzione: passaggi

  • Passo 0. Si riporta il sistema lineare in forma normale nel caso in cui non lo fosse. Otteniamo, pertanto, un sistema di questo tipo:
\left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1 & {\color{red}{(I)}} \\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.
  • Passo 1. Si sceglie una delle due equazioni e una delle due incognite. Si isola quest'incognita nell'equazione scelta ottenendo una sua espressione nell'altra incognita. Ad esempio, si può scegliere di isolare l'incognita x nell'equazione (I). In questo modo si ottiene un'espressione, (I^*), dell'incognita x in termini dell'incognita y:
(I) \quad \rightarrow \quad (I^*)
  • Passo 2. All'interno dell'equazione (II) si sostituisce al posto dell'incognita isolata l'espressione (I^*) così ottenuta. Si ottiene un'equazione di primo grado nell'altra incognita che indichiamo con ({II}^*). Risolvendola, si ottiene il risultato per la seconda incognita. Se abbiamo isolato x, otterremo un'equazione in y e quindi, risolvendo ({II}^*), otteniamo il valore di y:
(II) \quad \xrightarrow{(I^*)} \quad ({II}^*) \quad \rightarrow \quad y = \bar{y}
  • Passo 3. L'ultimo passo consiste nel sostituire nell'espressione trovata al punto 1, (I^*), il valore della seconda incognita appena trovato. Si ottiene così un'equazione di primo grado nella sola prima incognita. Risolvendo tale equazione otteniamo il valore della prima incognita e il sistema è, così, risolto.
(I^*) \quad \xrightarrow{y = \bar{y}} \quad x = \bar{x}

Primo esempio

Per meglio chiarire come funziona il metodo, applichiamo i passaggi del metodo di sostituzione ad un esempio. Prendiamo il sistema lineare seguente:

\left\{ \begin{array}{ll} 2 \cdot x -5 \cdot y = -1 &\\ 3 \cdot x -7 \cdot y = 5 \end{array} \right.

Passo 0: Riportare il sistema in forma normale

Il sistema in esame è già in forma normale, quindi non è necessario nessuna trasformazione. Etichettiamo le due equazioni con (I) e (II):

\left\{ \begin{array}{ll} 2 \cdot x -5 \cdot y = -1 & {\color{red}{(I)}} \\ 3 \cdot x -7 \cdot y = 5 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.

Passo 1: Scegliere ed isolare un'incognita

Il passo successivo consiste nell'isolare una delle due incognite. Scegliamo, ad esempio, la x come incognita da isolare, e scegliamo la prima equazione, etichettata con (I).

A questo punto isoliamo la x nella prima equazione:

{\color{red}{(I)}} \quad 2 \cdot x -5 \cdot y = -1 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad x = \color{red}{\frac{5y - 1}{2}} \quad {\color{red}{(I^*)}}

Abbiamo ottenuto un'espressione della x in termini dell'incognita y che indichiamo con l'etichetta (I^*).

Il sistema può essere, così, riscritto:

\left\{ \begin{array}{ll} x = \color{red}{\frac{5y - 1}{2}} & {\color{red}{(I^*)}} \\ 3 \cdot x -7 \cdot y = 5 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.

Passo 2: Sostituire l'espressione trovata nella seconda equazione

Avendo trovato un'espressione dell'incognita x in termini dell'incognita y dalla prima equazione, possiamo sfruttarla sostituendo tale espressione nell'altra equazione.

{\color{red}{(II)}} \quad 3 \cdot {\color{red}{x}} -7 \cdot y = 5 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad 3 \cdot {\color{red}{\frac{5y - 1}{2}}} -7 \cdot y = 5 \quad {\color{red}{({II}^*)}}

Abbiamo ottenuto un'equazione nella sola incognita y che indichiamo con ({II}^*).

Risolvendo questa equazione, otteniamo il valore di y:

{\color{red}{(II^*)}} \quad 3 \cdot {\color{red}{\frac{5y - 1}{2}}} -7 \cdot y = 5 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad 15y -3 -14y = 10

Da cui otteniamo il valore di y:

\bar{y} = 13

Passo 3: Sostituire il valore della seconda incognita nella prima equazione

Abbiamo trovato la soluzione per l'incognita \bar{y} = 13.

Riportiamo questo valore nell'espressione (I^*) per ottenere un'equazione nella sola incognita x:

{\color{red}{(I^*)}} \quad x = \frac{5 \cdot {\color{red}{y}} - 1}{2} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad x = \frac{5 \cdot {\color{red}{13}} - 1}{2} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad x = \frac{64}{2}

Otteniamo in questo modo il valore finale per l'incognita x:

\bar{x} = 32

La soluzione finale del sistema, quindi, è la coppia:

(32, 13)

Secondo esempio

Proviamo a risolvere un secondo esempio con il metodo di sostituzione:

\left\{ \begin{array}{ll} 5 \cdot (5x - 2) = 20x - 2 \cdot (y - 3) &\\ 2 \cdot (x - 5) -12y = 21 \cdot (1 - y) \end{array} \right.

Passo 0: Riportare il sistema in forma normale

Questo sistema non è in Forma Normale. Pertanto, prima di applicare il metodo di sostituzione, ci conviene portare il sistema in forma normale.

\left\{ \begin{array}{l} 5 \cdot (5x - 2) = 20x - 2 \cdot (y - 3)\\ 2 \cdot (x - 5) -12y = 21 \cdot (1 - y) \end{array} \right. \quad \rightarrow
\rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} 25x - 10 = 20x - 2y + 6\\ 2x - 10 -12y = 21 - 21y \end{array} \right. \quad \rightarrow
\rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{ll} 5x +2y = 16 & {\color{red}{(I)}} \\ 2x +9y = 31 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.

Abbiamo riportato il sistema in forma normale ed etichettato le due equazioni con le diciture (I) e (II).

Passo 1: Scegliere ed isolare un'incognita

Adesso dobbiamo scegliere un'incognita da isolare ed un'equazione in cui farlo. Il metodo di sostituzione non impone nessuna scelta da questo punto di vista. Infatti, quale incognita o equazione scegliere è a discrezione di chi risolve.

In questo esempio, proviamo a selezionare come incognita da isolare la y nella prima equazione etichettata con (I):

{\color{red}{(I)}} \quad 5x + 2y = 16 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad y = \frac{16 - 5x}{2} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad y = \color{red}{8 - \frac{5}{2}x} \quad {\color{red}{(I^*)}}

Abbiamo ottenuto un'espressione della y in termini dell'incognita x. Indichiamo questa espressione con l'etichetta (I^*). Il sistema può essere, così, riscritto:

\left\{ \begin{array}{ll} y = \color{red}{8 - \frac{5}{2}x} & {\color{red}{(I^*)}} \\ 2x +9y = 31 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.

Passo 2: Sostituire l'espressione trovata nella seconda equazione

Sostituiamo, adesso, l'espressione della y, (I^*), nella seconda equazione indicata con (II):

{\color{red}{(II)}} \quad 2x +9 {\color{red}{y}} = 31 \quad \rightarrow \quad
\rightarrow \quad 2x + 9 \cdot \left({\color{red}{8 - \frac{5}{2}x}}\right) = 31 \quad {\color{red}{(II^*)}}

Abbiamo ottenuto un'equazione di primo grado nella sola incognita x che indichiamo con (II^*). Risolvendo questa equazione possiamo trovare la soluzione per la x:

{\color{red}{(II^*)}} \quad 2x + 72 - \frac{45}{2}x = 31 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad -\frac{41}{2} x = -41 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad \frac{\cancel{41}}{2} x = \cancel{41} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad x = 2

Otteniamo, così, la soluzione per x:

\bar{x} = 2

Passo 3: Sostituire il valore della seconda incognita nella prima equazione

Abbiamo trovato la soluzione per l'incognita \bar{x} = 2.

Riportiamo questo valore nell'espressione (I^*) per ottenere un'equazione nella sola incognita y:

{\color{red}{(I^*)}} \quad y = 8 - \frac{5}{2} \cdot {\color{red}{x}} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad y = 8 - \frac{5}{\cancel{2}} \cdot {\color{red}{\cancel{2}}} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad y = 8 - 5 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad y = 3

Otteniamo, in questo modo, la soluzione per y:

\bar{y} = 3

Per cui la soluzione finale del sistema è la coppia:

(2, 3)

In sintesi

In questa lezione abbiamo visto come risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite attraverso il metodo di sostituzione.

Fondamentalmente questo metodo consiste nell'isolare una delle due variabili per ottenerne un'espressione in termini dell'altra variabile. Successivamente si sostituisce l'espressione nella seconda equazione per ottenere il valore della seconda variabile. Infine si sostituisce tale valore, appena trovato, nella prima equazione per ottenere il valore della prima incognita.

Nella prossima lezione applicheremo il metodo di sostituzione al caso di sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.

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