Introduzione ai Sistemi lineari di due equazioni e di tre equazioni

In questa lezione iniziamo ad affrontare lo studio dei sistemi di equazioni lineari o, più semplicemente, sistemi lineari.

In generale, un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni in due o più incognite per le quali si cercano le soluzioni che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni. Quando le equazioni che lo compongono sono equazioni lineari, ossia equazioni dove le incognite appaiono con esponente pari a 1, il sistema prende il nome di Sistema di equazioni lineari.

I sistemi di equazioni lineari sono un argomento complesso che viene studiato approfonditamente nell'ambito dell'Algebra Lineare. Per questo motivo, in questa serie di lezioni introduttive ci concentreremo sui sistemi lineari di due equazioni e due incognite, detti anche sistemi lineari 2x2, e sui sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite detti anche sistemi lineari 3x3. Inoltre, ci limiteremo al caso di sistemi con variabili e coefficienti reali.

In questa prima lezione sull'argomento, introdurremo alcuni concetti fondamentali. Nelle prossime lezioni vedremo come risolvere questi sistemi utilizzando diverse tecniche.

Equazioni lineari in due incognite

Prima di addentrarci nello studio dei sistemi lineari di equazioni, dobbiamo prima capire alcune proprietà delle equazioni lineari in più di un'incognita. Partiamo dal caso di un'equazione lineare in due incognite reali.

Un'equazione reale nelle incognite x \in \mathbb{R} e y \in \mathbb{R}, con coefficienti reali a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R} e termine noto reale c \in \mathbb{R} del tipo:

a \cdot x + b \cdot y = c

rappresenta un'equazione di primo grado sia rispetto all'incognita x che rispetto a y. Per questo motivo si parla di Equazione lineare in due incognite. Più precisamente, stiamo parlando di un'equazione reale lineare in due incognite, in quanto tutte le variabili e i termini noti appartengono ad \mathbb{R}.

L'equazione di sopra può essere riscritta riportando il termine noto c dall'altro lato, per cui:

a \cdot x + b \cdot y - c = 0

Per tale equazione le soluzioni sono tutte le coppie ordinate di valori, (x, y) con x \in \mathbb{R} e y \in \mathbb{R} tali per cui, sostituendone i valori al posto delle incognite, l'equazione risulta verificata.

Prendiamo ad esempio l'equazione:

7x + 8y - 9 = 0

Una possibile soluzione di questa equazione è data dalla coppia (0, \frac{9}{8}). Per verificarlo è semplice, basta sostituire nell'equazione 0 al posto della x e \frac{9}{8} al posto della y e verificare che l'uguaglianza sia soddisfatta:

7{\color{red}{x}} + 8{\color{red}{y}} - 9 = 0 |_{x = 0, y = \frac{9}{8}} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad 7 \cdot {\color{red}{0}} + 8 \cdot {\color{red}{\frac{9}{8}}} - 9 = 0 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad 9 - 9 = 0 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad 0 = 0

La coppia riportata, tuttavia, non è l'unica soluzione, anzi, ne possiamo trovare altre. Basta fissare il valore di una delle due incognite e risolvere l'equazione rispetto all'altra.

Ad esempio, ritornando all'equazione di prima, se fissiamo x = 5, abbiamo che l'equazione si trasforma in:

35 + 8y - 9 = 0

Risolvendo rispetto alla y otteniamo che:

35 + 8y - 9 = 0 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad 8y + 26 = 0 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad 8y = -26 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad y = -\frac{ \cancelto{13}{26} }{ \cancelto{4}{8} } \quad \rightarrow
\rightarrow \quad y = -\frac{13}{4}

Per cui anche la coppia (5, -\frac{13}{4}) è una soluzione della nostra equazione.

Intuitivamente, questo procedimento può essere ripetuto all'infinito. Basta fissare una delle due incognite ad un valore appartenente ad \mathbb{R} e risolvere l'equazione nell'altra incognita.

Di conseguenza, l'insieme delle coppie (x, y): x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R} che soddisfano un'equazione lineare in due incognite è infinito, ossia vi sono infinite soluzioni. Detto anche in altri termini, un'equazione lineare in due incognite è indeterminata.

Dire che un'equazione di questo tipo è indeterminata e che l'insieme delle sue soluzioni è infinito, non vuol dire affatto che qualunque coppia di numeri reali (x, y) è una soluzione. Ad esempio, tornando all'equazione di prima, se sostituiamo la coppia (2, 2) possiamo vedere che l'uguaglianza non è soddisfatta:

7x + 8y - 9 = 0 |_{x = 2, y = 2} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad 14 + 16 - 9 = 0 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad \color{red}{21 = 0} \quad \color{red}{!!!}

Sostituendo la coppia otteniamo un risultato assurdo e l'uguaglianza non è soddisfatta.

Equazioni lineari in tre incognite

Le stesse considerazioni fatte sopra le possiamo applicare anche al caso di equazioni lineari in tre incognite.

Date tre incognite reali x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R} e z \in \mathbb{R}, tre coefficienti reali a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R} e c \in \mathbb{R}, e un termine noto reale d \in \mathbb{R}, si chiama equazione lineare in tre incognite un'equazione del tipo:

a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d

In questo caso, le soluzioni dell'equazione sono tutte le triple ordinate di valori reali, (x, y, z) con x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R} e z \in \mathbb{R} tali per cui, sostituendone i valori nelle incognite, l'equazione è soddisfatta.

Anche in questo caso, l'insieme di soluzioni dell'equazione è infinito in quanto un'equazione lineare in tre incognite è indeterminata.

Un esempio è l'equazione seguente:

4 \cdot x + y - 2 \cdot z = 7

Una soluzione è la tripla (1, 7, 2). Infatti, se ne sostituiamo i valori nell'equazione, l'uguaglianza è soddisfatta:

4 \cdot 1 + 7 - 2 \cdot 2 = 7 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad \cancel{4} + 7 - \cancel{4} = 7 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad 7 = 7

Viceversa, la tripla (3, 2, 4) non è una soluzione:

4 \cdot 3 + 2 - 2 \cdot 4 = 7 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad 12 + 2 - 8 = 7 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad \color{red}{6 = 7} \quad \color{red}{!!!}

Sistemi lineari di due equazioni in due incognite

Se prendiamo due equazioni lineari reali in due incognite reali:

a_1 x + b_1 x + c_1 = 0,
a_2 x + b_2 y + c_2 = 0

sappiamo, dalla sezione precedente, che entrambe le equazioni hanno infinite soluzioni. A questo punto ci chiediamo se esistono soluzioni comuni ad ambo le equazioni. Ossia, se esistono coppie ordinate di valori (x, y) con x \in \mathbb{R} e y \in \mathbb{R} tali per cui le due equazioni sono contemporaneamente soddisfatte.

Si parla in tal caso di Sistema di equazioni:

Definizione

Sistema lineare di due Equazioni in due incognite

Un Sistema lineare di due Equazioni in due incognite, detto anche Sistema lineare di Ordine 2 o Sistema lineare 2x2, è un insieme di due equazioni lineari reali per le quali si cercano le soluzioni comuni, cioè, i valori reali da attribuire alle incognite tali per cui tutte le equazioni del sistema sono contemporaneamente soddisfatte.

La notazione utilizzata per indicare un sistema di equazioni è quella di riportare su righe differenti le singole equazioni e racchiuderle a sinistra da una parentesi graffa in questo modo:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 x + b_1 y = c_1 &\\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{array} \right.

dove x,y,a_i,b_i,c_i \in \mathbb{R}.

Le soluzioni del sistema sono le coppie di numeri reali che soddisfano allo stesso tempo le equazioni del sistema:

(\bar{x}, \bar{y}), \quad \bar{x}, \bar{y} \in \mathbb{R} :
a_1 \bar{x} + b_1 \bar{y} - c_1 = 0 \quad \wedge
\wedge \quad a_2 \bar{x} + b_2 \bar{y} - c_2 = 0

Nel caso di sistemi lineari di due equazioni in due incognite, affinché una coppia di numeri reali sia una soluzione del sistema, deve accadere che se sostituiamo i valori della coppia nelle incognite del sistema otteniamo due uguaglianze verificate.

Ad esempio, prendiamo il sistema:

\left\{ \begin{array}{ll} x + 2y - 7 = 0 &\\ 2x - y + 1 = 0 \end{array} \right.

La coppia (1, 3) è soluzione del sistema. Basta infatti sostituire alle incognite i valori x=1 e y=3 ottenendo due uguaglianze valide:

\left\{ \begin{array}{ll} 1 + 2 \cdot 3 - 7 = 0 &\\ 2 \cdot 1 - 3 + 1 = 0 \end{array} \right. \quad \rightarrow
\rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{ll} 0 = 0 &\\ 0 = 0 \end{array} \right.

Viceversa, la coppia (5, 8) non è soluzione. Infatti, se ne sostituiamo i valori nel sistema di sopra non otteniamo due uguaglianze:

\left\{ \begin{array}{ll} 5 + 2 \cdot 8 - 7 = 0 &\\ 2 \cdot 5 - 8 + 1 = 0 \end{array} \right. \quad \rightarrow
\rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{ll} \color{red}{14 = 0} &\\ \color{red}{3 = 0} \end{array} \right. \color{red}{!!!}

Le soluzioni comuni a tutte le equazioni del sistema rappresentano le soluzioni del sistema.

Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite

Possiamo estendere la definizione di sopra per il caso di tre equazioni in tre incognite.

Prendiamo tre equazioni lineari in tre incognite:

a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1,
a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2,
a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3

dove x,y,z,a_i,b_i,c_i,d_i \in \mathbb{R}, definiamo allora:

Definizione

Sistema lineare di tre Equazioni in tre incognite

Un Sistema lineare di tre Equazioni in tre incognite, detto anche Sistema lineare di Ordine 3 o Sistema lineare 3x3, è un insieme di tre equazioni per le quali si cercano le soluzioni comuni, cioè, i valori reali da attribuire alle incognite tali per cui tutte le equazioni del sistema sono allo stesso tempo soddisfatte:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 &\\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 &\\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{array} \right.

dove x,y,z,a_i,b_i,c_i,d_i \in \mathbb{R}.

Le soluzioni del sistema sono le triple di numeri reali che soddisfano allo stesso tempo le equazioni del sistema:

(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}), \quad \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} \in \mathbb{R} :
a_1 \bar{x} + b_1 \bar{y} + c_1 \bar{z} - d_1 = 0 \quad \wedge
\quad \wedge \quad a_2 \bar{x} + b_2 \bar{y} + c_2 \bar{z} - d_2 = 0 \quad \wedge
\quad \wedge \quad a_3 \bar{x} + b_3 \bar{y} + c_3 \bar{z} - d_3 = 0

Come per il caso di sistemi lineari di due equazioni, anche per il caso di tre equazioni, affinché una tripla di numeri reali sia soluzione del sistema, deve accadere che se ne sostituiamo i valori nel sistema dobbiamo ottenere tre uguaglianze verificate.

Ad esempio, se prendiamo il sistema:

\left\{ \begin{array}{llll} x & + 2y & -2 z & = 1\\ x & - y & - z & = 1\\ & - 2y & - z & = 1 \end{array} \right.

Possiamo verificare facilmente che la tripla (\frac{1}{5}, -\frac{1}{5}, -\frac{3}{5}) è soluzione del sistema. Basta sostiture alle incognite i valori x = \frac{1}{5}, y = -\frac{1}{5} e z = -\frac{3}{5} e otteniamo tre uguaglianze valide:

\left\{ \begin{array}{llllllll} \frac{1}{5} & + 2 & \cdot & \left( - \frac{1}{5} \right) & -2 & \cdot & \left( - \frac{3}{5} \right) & = 1\\ \frac{1}{5} & - & & \left( - \frac{1}{5} \right) & - & & \left( - \frac{3}{5} \right) & = 1\\ & - 2 & \cdot & \left( - \frac{1}{5} \right) & - & & \left( - \frac{3}{5} \right) & = 1 \end{array} \right. \quad \rightarrow
\rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{lll} 1 & = & 1 \\ 1 & = & 1 \\ 1 & = & 1 \end{array} \right.

Viceversa, la tripla (1, 1, 1) non è una soluzione. Infatti, sostituendone i valori nel sistema non otteniamo tre uguaglianze:

\left\{ \begin{array}{llllllll} 1 & + 2 & \cdot & 1 & -2 & \cdot & 1 & = 1\\ 1 & - & & 1 & - & & 1 & = 1\\ & - 2 & \cdot & 1 & - & & 1 & = 1 \end{array} \right. \quad \rightarrow
\rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{lllr} 1 & = & 1 & \\ {\color{red}{-1}} & {\color{red}{=}} & {\color{red}{1}} & {\color{red}{!!!}}\\ {\color{red}{-3}} & {\color{red}{=}} & {\color{red}{1}} & {\color{red}{!!!}} \end{array} \right.

Numero di soluzioni

Nelle sezioni precedenti abbiamo visto che le soluzioni dei sistemi lineari in due o tre equazioni sono le coppie o le triple di valori reali che soddisfano allo stesso tempo tutte le equazioni che compongono il sistema. A questo punto, ci poniamo la domanda: quante possono essere le soluzioni di un sistema lineare?

Per rispondere dobbiamo rimandare alle prossime lezioni. Nel frattempo, però, possiamo suddividere i sistemi lineari in tre categorie in base al numero di soluzioni che essi possiedono.

In particolare, un sistema può essere:

  • Sistema determinato: Il sistema ammette una e una sola soluzione.
  • Sistema indeterminato: Il sistema ammette infinite soluzioni.
  • Sistema impossibile: Il sistema non ammette nessuna soluzione.

Vedremo, infatti, nelle prossime lezioni che un sistema lineare, quando ammette soluzioni, ne può ammettere una o infinite, ma non un numero intermedio.

Questo risultato vale esclusivamente per i sistemi lineari.

Grado di un sistema

Definizione

Grado di un Sistema di Equazioni

Il grado di un sistema di equazioni si ottiene moltiplicando tra loro il grado delle equazioni che lo compongono.

Per questo motivo, un Sistema lineare è sempre un sistema di primo grado indipendentemente dal numero di incognite ed equazioni.

Viceversa, un sistema di grado diverso da 1 è un Sistema Non Lineare.

Prendiamo il sistema lineare di due equazioni dell'esempio precedente:

\left\{ \begin{array}{ll} x + 2y - 7 = 0 &\\ 2x - y + 1 = 0 \end{array} \right.

Questo sistema è un sistema di primo grado. Infatti, entrambe le equazioni che lo compongono sono di grado 1, per cui, moltiplicando 1 \cdot 1 otteniamo grado 1.

Analogamente il sistema lineare di tre equazioni in tre incognite:

\left\{ \begin{array}{llll} x & + 2y & -2 z & = 1\\ x & - y & - z & = 1\\ & - 2y & - z & = 1 \end{array} \right.

è un sistema di primo grado in quanto tutte le equazioni che lo compongono sono di primo grado.

Viceversa, il sistema seguente:

\left\{ \begin{array}{ll} x^2 + 2y - 7 = 0 &\\ 2x - y^2 + 1 = 0 \end{array} \right.

è un sistema di quarto grado, in quanto le due equazioni sono di secondo grado e moltiplicando i gradi tra loro otteniamo 2 \cdot 2 = 4. In quanto sistema di quarto grado si tratta di un sistema non lineare.

Ordine di un sistema lineare

Il numero di incognite di un sistema lineare determina anche l'ordine di un sistema:

Definizione

Ordine di un sistema lineare

L'ordine di un sistema lineare è pari al numero delle sue incognite.

Per questo motivo, un sistema lineare di due equazioni in due incognite è un sistema di ordine 2.

Viceversa, un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite è un sistema di ordine 3.

Equivalenza tra sistemi

Un'importante proprietà dei sistemi è l'equivalenza:

Definizione

Equivalenza tra sistemi

Due sistemi di equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Questa proprietà è di fondamentale importanza nello sviluppo di metodi di risoluzione dei sistemi, come vedremo nelle prossime lezioni.

Forma normale di un sistema lineare

Le singole equazioni che compongono un sistema lineare, in quanto tali, sono soggette ai principi di equivalenza delle equazioni. Pertanto, applicando i principi di equivalenza ad una o più delle equazioni che compongono un sistema otterremo un sistema equivalente.

Per questo motivo è sempre possibile ricondurre un sistema lineare alla sua forma normale, ossia con i termini noti portati oltre il segno di uguale nelle singole equazioni.

Di seguito riportiamo la forma normale per il caso di due equazioni in due incognite:

Definizione

Sistema lineare di due equazioni in due incognite in forma normale

un Sistema lineare di due equazioni in due incognite in forma normale è un sistema nella forma:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1 &\\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2 \end{array} \right.

Analogamente di seguito riportiamo la forma normale per il caso di tre equazioni in tre incognite:

Definizione

Sistema lineare di tre equazioni in tre incognite in forma normale

un Sistema lineare di tre equazioni in tre incognite in forma normale è un sistema nella forma:

\left\{ \begin{array}{l} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y + c_1 \cdot z = d_1\\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y + c_2 \cdot z = d_2\\ a_3 \cdot x + b_3 \cdot y + c_3 \cdot z = d_3 \end{array} \right.

La forma normale ci ritornerà utile nelle prossime lezioni per studiare le proprietà dei sistemi lineari.

In sintesi

In questa lezione abbiamo avuto un primo incontro con i sistemi lineari, in particolare con i sistemi lineari di due equazioni in due incognite e con i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.

Abbiamo visto che le soluzioni di un sistema di due equazioni sono le coppie di numeri che soddisfano contemporaneamente le equazioni che compongono il sistema stesso. Viceversa, per i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, le soluzioni sono le triple che soddisfano allo stesso tempo tutte le equazioni.

Infine abbiamo definito il grado di un sistema, l'equivalenza tra due sistemi, l'ordine di un sistema lineare e la forma normale di un sistema lineare.

Da adesso in poi, in questa serie di lezioni, ci concentreremo principalmente sui sistemi lineari di due equazioni in due incognite e sui sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.

Questa lezione ha lo scopo di introdurre i concetti fondamentali sui sistemi lineari. A questo punto possiamo passare a vedere come risolvere tali sistemi.

Esistono quattro tecniche di risoluzione dei sistemi lineari:

Nella prossima lezione introdurremo la prima tecnica di risoluzione dei sistemi applicata, dapprima, al caso di sistemi lineari di due equazioni in due incognite: il metodo di sostituzione.

Successivamente, estenderemo il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.

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