Metodo di sostituzione per sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite

Il metodo di sostituzione può essere applicato efficacemente anche al caso di sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, detti anche sistemi lineari 3x3.

Anche in questo caso, l'idea di base è quella di isolare le incognite progressivamente per poterle esprimere in funzione delle altre. Questo procedimento viene applicato ricorsivamente fino ad arrivare ad ottenere un'unica equazione lineare nell'ultima incognita.

Risolta questa equazione ed ottenuto il valore dell'ultima incognita, si procede a ritroso mediante sostituzione per ottenere i valori delle altre incognite.

In questa lezione, estendiamo il metodo di sostituzione, visto nella lezione precedente, al caso di sistemi di tre equazioni in tre incognite.

Tuttavia, prima di mostrare i passaggi generali del metodo, ci concentriamo dapprima sul risolvere un esempio di sistema di tre equazioni.

Esempio

Il metodo di sostituzione applicato al caso di sistemi lineari di due equazioni in due incognite è abbastanza semplice.

Nell'applicazione del metodo al caso di sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, tuttavia, bisogna prestare attenzione.

Per comprendere come applicarlo partiamo da un esempio. Successivamente, ricaviamo la regola generale.

Partiamo da un sistema già in forma normale:

\left\{ \begin{array}{rrrcrr} 3x & + 2y & -5z & = & 0 & {\color{red}{(I)}}\\ x & - y & + z & = & -1 & {\color{red}{(II)}}\\ x & - 2y & -3z & = & 0 & {\color{red}{(III)}}\\ \end{array} \right.

Per semplificare la comprensione abbiamo etichettato le equazioni che compongono il sistema con le diciture (I), (II) e (III).

Come nel caso dei sistemi lineari di due equazioni, anche qui dobbiamo scegliere un'incognita da isolare e un'equazione in cui farlo. Per semplicità scegliamo di isolare la x nell'equazione (I):

{\color{red}{(I)}} \quad 3{\color{red}{x}} +2y -5z = 0 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad x = {\color{red}{\frac{-2y + 5z}{3}}} \quad {\color{red}{(I^*)}}

Abbiamo ottenuto un'espressione dell'incognita x in termini delle due incognite y e z. Indichiamo questa espressione con l'etichetta (I^*), con l'asterisco, per indicare che si tratta dell'espressione (I) modificata.

Possiamo riscrivere, a questo punto, il sistema in questo modo:

\left\{ \begin{array}{rrrcrr} x & & & = & {\color{red}{\frac{-2y + 5z}{3}}} & {\color{red}{(I^*)}}\\ x & - y & + z & = & -1 & {\color{red}{(II)}}\\ x & - 2y & -3z & = & 0 & {\color{red}{(III)}}\\ \end{array} \right.

Adesso, a differenza del caso di sistemi lineari di due equazioni, dobbiamo sostituire l'espressione trovata per l'incognita x, cioè l'espressione (I^*), in entrambe le equazioni (II) e (III).

Partiamo dal sostituire la x nell'equazione (II):

{\color{red}{(II)}} \quad {\color{red}{x}} -y +z = -1 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad {\color{red}{\frac{-2y + 5z}{3}}} -y +z = -1 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad -2y +5z -3y +3z = -3 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad -5y +8z = -3 \quad {\color{red}{(II^*)}}

Abbiamo ottenuto un'equazione lineare in due sole incognite: y e z. Etichettiamo questa nuova equazione con (II^*).

Applichiamo, ora, lo stesso procedimento all'equazione (III):

{\color{red}{(III)}} \quad {\color{red}{x}} -2y -3z = 0 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad {\color{red}{\frac{-2y + 5z}{3}}} -2y -3z = 0 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad -2y +5z -6y -9z = 0 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad -8y -4z = 0 \quad {\color{red}{(III^*)}}

Anche in questo caso abbiamo ottenuto un'equazione lineare in due sole incognite: y e z. Etichettiamo questa ulteriore equazione con (III^*).

Adesso, possiamo sostituire le equazioni (II) e (III) con queste due nuove equazioni e ottenere un sistema equivalente:

\left\{ \begin{array}{rrrcrr} x & & & = & \frac{-2y + 5z}{3} & (I^*)\\ & - 5y & +8z & = & -3 & {\color{red}{(II^*)}}\\ & - 8y & -4z & = & 0 & {\color{red}{(III^*)}}\\ \end{array} \right.

Se osserviamo bene, le equazioni (II^*) e (III^*) costituiscono un sistema lineare di due equazioni in due incognite a parte. Esse, infatti, sono equazioni nelle sole incognite y e z, motivo per cui possiamo risolvere il sistema composto da (II^*) e (III^*) separatamente:

\left\{ \begin{array}{rrcrr} -5y & +8z & = & -3 & {\color{red}{(II^*)}}\\ -8y & -4z & = & 0 & {\color{red}{(III^*)}}\\ \end{array} \right.

Basta osservare, infatti, che non vi è nessuna dipendenza dall'incognita x.

A questo sistema possiamo applicare il metodo di sostituzione per il caso di sistemi di due equazioni in due incognite. In sostanza, stiamo applicando ricorsivamente il metodo di sostituzione.

Per questo motivo, scegliamo la y e isoliamola nella prima equazione, la (II^*):

{\color{red}{(II^*)}} \quad - 5 \cdot y + 8 \cdot z = -3 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad -5y = -8z -3 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad y = {\color{red}{\frac{8z + 3}{5}}} \quad {\color{red}{(II^{**})}}

Abbiamo trovato un'espressione dell'incognita y in termini della sola incognita z. Etichettiamo questa espressione con (II^{**}).

Questa espressione della y in funzione di z va sostituita soltanto nell'equazione (III^*). Sostituire tale espressione nell'equazione (I^*) costituisce un grave errore. Questo perché ci porterebbe ad una situazione circolare in cui non potremmo più risolvere il sistema.

Proviamo, quindi, a sostituire l'espressione (II^{**}) nell'equazione (III^*). In questo modo otteniamo un'equazione in un'unica incognita z. Indichiamo questa equazione con la dicitura (III^{**}):

{\color{red}{(III^*)}} \quad -8 {\color{red}{y}} -4z = 0 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad -8 \cdot {\color{red}{\frac{8z + 3}{5}}} -4z = 0 \quad {\color{red}{(III^{**})}}

Risolvendo l'equazione (III^{**}) otteniamo il valore finale di z:

{\color{red}{(III^{**})}} \quad -8 \cdot {\color{red}{\frac{8z + 3}{5}}} -4z = 0 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad -64z -24 -20z = 0 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad -84z = 24 \quad \rightarrow
\rightarrow \quad z = -\frac{\cancelto{2}{24}}{\cancelto{7}{84}} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad z = {\color{red}{- \frac{2}{7}}}

Finalmente siamo giunti al valore finale di z:

\bar{z} = - \frac{2}{7}

Da questo punto in poi, dobbiamo andare a ritroso. Dapprima sostituiamo il valore di z appena trovato nell'espressione (II^{**}) in maniera tale da trovare il valore di y:

{\color{red}{(II^{**})}} \quad y = \frac{8 {\color{red}{z}} + 3}{5} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad y = \frac{8 \cdot {\color{red}{- \frac{2}{7}}} + 3}{5} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad y = \frac{1}{5} \cdot \frac{-16 + 21}{7} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad y = \frac{1}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}}{7} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad y = {\color{red}{\frac{1}{7}}}

Abbiamo, in questo modo, trovato anche il valore finale di y:

\bar{y} = \frac{1}{7}

Per completare il tutto, prendiamo i valori di y e z e sostituiamoli nell'espressione (I^*). In questo modo possiamo trovare il valore finale di x:

{\color{red}{(I^*)}} \quad x = \frac{-2 {\color{red}{y}} + 5{\color{red}{z}}}{3} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad x = \frac{ -2 \cdot {\color{red}{\frac{1}{7}}} + 5 \cdot \left( - {\color{red}{\frac{2}{7}}} \right) }{3} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad x = \frac{1}{3} \cdot \frac{-2 - 10}{7} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad x = \frac{1}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancelto{-4}{-12}}{7} \quad \rightarrow
\rightarrow \quad x = { \color{red}{-\frac{4}{7}} }

Anche per l'incognita x abbiamo trovato la soluzione:

\bar{x} = - \frac{4}{7}

Quindi la soluzione finale del sistema è la tripla:

\left( -\frac{4}{7}, \frac{1}{7}, -\frac{2}{7} \right)

Passaggi del metodo

Nella sezione precedente abbiamo visto come applicare ricorsivamente il metodo di sostituzione ad un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite. Adesso proviamo ad elencare i passaggi del metodo.

  • Passo 0. Prima di tutto, siamo partiti da un sistema lineare già in forma normale. Questo passaggio iniziale è fondamentale, per cui, se un sistema da risolvere non è in forma normale dobbiamo dapprima riportarlo in tale forma. Questo è il passo "0". Inoltre, etichettiamo le singole equazioni con le diciture (I), (II) e (III):
\left\{ \begin{array}{rrrrl} a_1 x & +b_1 y & +c_1 z & = d_1 & {\color{red}{(I)}} \\ a_2 x & +b_2 y & +c_2 z & = d_2 & {\color{red}{(II)}} \\ a_3 x & +b_3 y & +c_3 z & = d_3 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.
  • Passo 1. Scegliamo una variabile da isolare ed un'equazione in cui isolarla. Per semplicità nell'esempio abbiamo scelto la x nell'equazione (I). In questo modo otteniamo un'espressione di x in funzione di y e z che indichiamo con la dicitura (I^*), con l'asterisco, per segnalare che si tratta dell'equazione (I) modificata:
(I) \quad \xrightarrow{ \mbox{Isolare x} } \quad (I^*)
\left\{ \begin{array}{rrrrl} x & & & = \dots & {\color{red}{(I^*)}} \\ a_2 x & +b_2 y & +c_2 z & = d_2 & {\color{red}{(II)}} \\ a_3 x & +b_3 y & +c_3 z & = d_3 & {\color{red}{(III)}} \end{array} \right.
  • Passo 2. Avendo ottenuto l'espressione (I^*) di x, la sostituiamo sia nell'equazione (II) che nell'equazione (III) ottenendo, così, due nuove equazioni che etichettiamo con (II^*) e (III^*):
(II) \quad \xrightarrow{ \mbox{Sostituire x usando I*} } \quad (II^*)
(III) \quad \xrightarrow{ \mbox{Sostituire x usando I*} } \quad (III^*)
\left\{ \begin{array}{ll} x = \dots & (I^*) \\ [\mbox{Equazione in y e z}] & {\color{red}{(II^*)}} \\ [\mbox{Equazione in y e z}] & {\color{red}{(III^*)}} \end{array} \right.
  • Passo 3. Le due nuove equazioni (II^*) e (III^*), in quanto indipendenti dall'incognita x, costituiscono un sistema lineare di due equazioni in due incognite a se stante. Questo sistema può essere a sua volta risolto, ricorsivamente, con il metodo di sostituzione:
\left\{ \begin{array}{lr} [\mbox{Equazione in y e z}] & {\color{red}{(II^*)}} \\ [\mbox{Equazione in y e z}] & {\color{red}{(III^*)}} \end{array} \right.
  • Passo 4. Isoliamo, pertanto, la seconda incognita y nella nuova equazione (II^*), ottenendone, così, un'espressione in termini della sola incognita z. Etichettiamo questa espressione con II^{**}):
(II^*) \quad \xrightarrow{ \mbox{Isolare y} } \quad (II^{**})
\left\{ \begin{array}{lrr} y & = \dots & {\color{red}{(II^{**})}} \\ [\mbox{Equazione in y e z}] & & (III^*) \end{array} \right.
  • Passo 5. L'espressione (II^{**}) può essere, a sua volta, sostituita nell'espressione (III^{*}) per ottenere un'equazione lineare nella singola incognita z. Questa equazione, che indichiamo con (III^{**}), può essere risolta per ottenere il valore finale di z:
(III^*) \quad \xrightarrow{ \mbox{Sostituire y con II**} } \quad (III^{**})
(III^{**}) \quad \xrightarrow{ \mbox{Risolvere per z} } \quad z = \bar{z}
  • Passo 6. Dall'espressione (III^{**}) abbiamo ricavato il valore finale di z: \bar{z}. Possiamo sostituire questo valore nell'espressione (II^{**}) per ottenere il valore finale di y:
(II^{**}) |_{z = \bar{z}} \quad \xrightarrow{ \mbox{Risolvere per y} } \quad y = \bar{y}
  • Passo 7. Infine, sostituiamo i valori di \bar{y} e \bar{z} nell'espressione (I^*), ottenendo così un'equazione lineare nella sola incognita x. Risolvendola, otteniamo il valore finale di x, ossia \bar{x}:
(I^{*}) |_{y = \bar{y}, z = \bar{z}} \quad \xrightarrow{ \mbox{Risolvere per x} } \quad x = \bar{x}

Considerazioni

Come abbiamo visto, il metodo di sostituzione può essere applicato anche al caso di sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite. Bisogna, tuttavia, prestare attenzione all'ordine di sostituzione perché si potrebbe incappare in una serie di sostituzioni circolari che potrebbero portarci ad un vicolo cieco.

Detto questo, nulla vieta di applicare il metodo a sistemi lineari con un numero di equazioni superiore a tre. Tuttavia, man mano che il numero di equazioni e incognite aumenta, l'applicazione di questo metodo risulta sempre più complessa. In generale, nell'ambito dell'Algebra Lineare esistono tecniche molto più efficienti per risolvere i sistemi lineari.

Un vantaggio del metodo di sostituzione, invece, sta nel fatto che può essere applicato anche a sistemi non lineari.

Scelta dell'incognita e dell'equazione

Il metodo di sostituzione non impone nessun vincolo sulla scelta dell'incognita da isolare e su quale equazione scegliere. Infatti, non è necessario partire dalla prima incognita, x, e dalla prima equazione. A volte può essere conveniente scegliere un'altra incognita.

Nella scelta bisogna tener conto di vari fattori, come ad esempio il fatto che una scelta possa rendere più agevoli i calcoli. Proviamo un esempio:

\left\{ \begin{array}{rrrcr} 8x & + 2y & -3z & = & 10 \\ x & & + z & = & 0 \\ 9x & + 4y & +7z & = & 5 \\ \end{array} \right.

In questo caso, è più conveniente scegliere di isolare la x nella seconda equazione. Questo per due motivi:

  1. perché la x si presenta con coefficiente pari a 1, quindi nell'isolarla non otteniamo un'espressione frazionaria dall'altro lato.
  2. La seconda equazione è "più semplice", nel senso che, ad esempio, non presenta l'incognita y e il termine noto è pari a 0.

Scegliendo, quindi, di isolare la x nella seconda equazione otteniamo un'espressione di questo tipo:

x = -z

che risulta, effettivamente, molto più semplice da sostituire nelle altre due equazioni.

Inoltre, dato che abbiamo scelto la seconda equazione anziché la prima, possiamo riscrivere il sistema in questo modo, in maniera tale da semplificare la gestione dei calcoli del sistema che andremo ad effettuare:

\left\{ \begin{array}{rrrcrr} x & & & = & -z & {\color{red}{(I)}} \\ 8x & + 2y & -3z & = & 10 & {\color{red}{(II)}} \\ 9x & + 4y & +7z & = & 5 & {\color{red}{(III)}} \\ \end{array} \right.

In sostanza, abbiamo cambiato l'ordine delle equazioni, un'operazione del tutto lecita che non cambia il risultato del sistema ma che ci permette di gestire meglio i calcoli.

In sintesi

In questa lezione abbiamo esteso il metodo di sostituzione al caso di sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.

Nel far questo abbiamo visto come sia importante seguire un ordine di sostituzione per non incappare in situazioni circolari che ci porterebbero ad un vicolo cieco. Una volta scelta la prima incognita e la prima equazione, il trucco consiste nell'ottenere un sistema di due equazioni nelle sole altre due variabili. Tale sistema può essere a sua volta risolto con il metodo di sostituzione. Si ottiene così il valore dell'ultima incognita e, poi, si procede a ritroso fino ad ottenere i valori delle precedenti.

Estendere il metodo di sostituzione al caso di sistemi con più incognite e più equazioni non è molto utile, perché al crescere delle incognite e delle equazioni la complessità del metodo aumenta. Per sistemi di ordine maggiore di 3 esistono tecniche più efficienti di risoluzione che ricadono nell'ambito dell'Algebra Lineare.

Abbiamo visto anche quali criteri utilizzare per scegliere meglio le incognite da isolare e quali equazioni usare.

Adesso che conosciamo un primo metodo di risoluzione dei sistemi lineari di due e tre equazioni, sfrutteremo questa conoscenza nella prossima lezione per vedere quando un sistema lineare di due equazioni in due incognite ammette soluzione.

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