Sistemi lineari di due equazioni in due incognite determinati

Un sistema lineare di due equazioni in due incognite si dice determinato quando ammette soluzione.

In questa lezione vediamo quando un sistema lineare è determinato, ossia quali sono le condizioni da soddisfare.

Sistemi lineari determinati

Riprendiamo il sistema lineare dell'esempio mostrato nella lezione precedente:

\left\{ \begin{array}{ll} 2 \cdot x -5 \cdot y = -1 &\\ 3 \cdot x -7 \cdot y = 5 \end{array} \right.

Come abbiamo visto, questo sistema ammette una soluzione:

(32, 13)

Se osserviamo bene, questo sistema è in forma normale:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1 &\\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2 \end{array} \right.

Proviamo, allora, a prendere i coefficienti delle due incognite e a farne il rapporto. Dapprima per la x:

\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}

Poi per la y:

\frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{-7} = \frac{5}{7}

Come si può osservare, questi due rapporti sono differenti fra loro:

\frac{2}{3} \neq \frac{5}{7}

Questo risultato non è casuale. Si può dimostrare infatti che:

Definizione

Sistema lineare di due equazioni in due incognite determinato

un Sistema lineare di due equazioni in due incognite in forma normale:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1 &\\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2 \end{array} \right.

dove i coefficienti sono diversi da zero:

a_1, a_2, b_1, b_2 \neq 0

è un sistema determinato, ossia ammette soluzione se e soltanto se il rapporto tra i coefficienti della x è diverso dal rapporto dei coefficienti della y:

\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}

Questa condizione si può esprimere anche in altri modi:

a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \neq 0 \quad \rightarrow \quad a_1 \cdot b_2 \neq a_2 \cdot b_1

Utilizzando l'espressione di sopra, infatti, possiamo anche rilassare il vincolo sul fatto che i coefficienti siano diversi da zero.

Inoltre si può dimostrare che

Definizione

Unicità della soluzione di un sistema lineare

Se un sistema lineare di due equazioni in due incognite è determinato esso ammette una e una sola soluzione

In sintesi

Ricapitolando, abbiamo visto in questa lezione che per capire se un sistema lineare di due equazioni in due incognite abbia o meno soluzione basta analizzare, una volta portato in forma normale, i coefficienti delle due incognite. In particolare, bisogna analizzarne il rapporto. Se i rapporti sono diversi tra loro, il sistema è determinato e in particolare ammette una e una sola soluzione.

Nella prossima lezione vedremo quando, invece, tali sistemi non ammettono soluzione.

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